पतित द्विरेखीय रूप

For other uses, see Degeneracy.

गणित में, विशेष रूप से रेखीय बीजगणित, एक पतित द्विरेखीय रूप f (x, y ) सदिश समष्टि V पर एक द्विरेखीय रूप है जैसे कि V से V तक का नक्शा^∗ (V  का दोहरा स्थान) द्वारा दिया गया v ↦ (x ↦ f (x, v )) एक तुल्याकारिता नहीं है। एक समतुल्य परिभाषा जब V आयाम (वेक्टर स्थान) है | परिमित-आयामी यह है कि इसमें एक गैर-तुच्छ कर्नेल है: V में कुछ गैर-शून्य x मौजूद हैं जैसे कि

$f(x,y)=0\,$ सभी के लिए $\,y\in V.$

नॉनडिजेनरेट फॉर्म

एक nondegenerate या nonsingular रूप एक द्विरेखीय रूप है जो पतित नहीं है, जिसका अर्थ है $v\mapsto (x\mapsto f(x,v))$ एक समरूपता है, या समान रूप से परिमित आयामों में, यदि और केवल यदि

$f(x,y)=0$ सभी के लिए $y\in V$ इसका आशय है $x=0$.

अविकृत रूपों के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण आंतरिक उत्पाद और सहानुभूतिपूर्ण रूप हैं। सममित द्विरेखीय रूप नॉनडिजेनरेट फॉर्म आंतरिक उत्पादों के महत्वपूर्ण सामान्यीकरण हैं, जिसमें अक्सर केवल यह आवश्यक होता है कि मानचित्र $V\to V^{*}$ एक समरूपता बनें, सकारात्मकता नहीं। उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा रिक्त स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद संरचना के साथ एक मैनिफोल्ड एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड है, जबकि इसे एक सममित नॉनडीजेनेरेट फॉर्म में आराम करने से एक छद्म-[[ रीमैनियन कई गुना ]] उत्पन्न होता है।

निर्धारक का प्रयोग

यदि V परिमित-आयामी है, तो V के लिए कुछ आधार (रैखिक बीजगणित) के सापेक्ष, एक द्विरेखीय रूप पतित होता है यदि और केवल यदि संबद्ध मैट्रिक्स (गणित) का निर्धारक शून्य है - यदि और केवल यदि मैट्रिक्स एकवचन मैट्रिक्स है, और तदनुसार पतित रूपों को 'एकवचन रूप' भी कहा जाता है। इसी तरह, एक गैर-डीजेनेरेट फॉर्म वह है जिसके लिए संबंधित मैट्रिक्स गैर-एकवचन मैट्रिक्स है। ये कथन चुने हुए आधार से स्वतंत्र हैं।

संबंधित धारणाएं

यदि एक द्विघात रूप Q के लिए एक शून्येतर सदिश v ∈ V ऐसा है कि Q(v) = 0 है, तो Q एक समदैशिक द्विघात रूप है। यदि सभी गैर-शून्य सदिशों के लिए Q का चिह्न समान है, तो यह एक निश्चित द्विघात रूप या 'अनिसोट्रोपिक द्विघात रूप' है।

एक-मॉड्यूलर रूप और एक पूर्ण जोड़ी की बारीकी से संबंधित धारणा है; ये क्षेत्र (गणित) पर सहमत हैं लेकिन सामान्य रिंग (गणित) पर नहीं।

उदाहरण

वास्तविक, द्विघात बीजगणित का अध्ययन द्विघात रूपों के प्रकारों के बीच अंतर को दर्शाता है। गुणनफल zz* प्रत्येक सम्मिश्र संख्या, विभक्त-जटिल संख्या और दोहरी संख्या के लिए एक द्विघात रूप है। z = x + ε y के लिए, दोहरी संख्या का रूप x है² जो कि एक पतित द्विघात रूप है। विभाजित-जटिल मामला एक आइसोट्रोपिक रूप है, और जटिल मामला एक निश्चित रूप है।

अविकृत रूपों के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण आंतरिक उत्पाद और सहानुभूतिपूर्ण रूप हैं। सममित गैर-डीजेनेरेट रूप आंतरिक उत्पादों के महत्वपूर्ण सामान्यीकरण हैं, जिसमें अक्सर यह आवश्यक होता है कि मानचित्र $V\to V^{*}$ एक समरूपता बनें, सकारात्मकता नहीं। उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा रिक्त स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद संरचना के साथ एक मैनिफोल्ड एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड है, जबकि इसे एक सममित नॉनडीजेनेरेट फॉर्म में आराम करने से एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड उत्पन्न होता है।

अनंत आयाम

ध्यान दें कि एक अनंत-आयामी स्थान में, हमारे पास एक द्विरेखीय रूप ƒ हो सकता है जिसके लिए $v\mapsto (x\mapsto f(x,v))$ इंजेक्शन है लेकिन विशेषण नहीं है। उदाहरण के लिए, एक बंद परिबद्ध अंतराल (गणित) पर निरंतर कार्यों के स्थान पर, प्रपत्र

$f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)\,dx$ विशेषण नहीं है: उदाहरण के लिए, डायराक डेल्टा कार्यात्मक दोहरी जगह में है लेकिन आवश्यक रूप में नहीं है। दूसरी ओर, यह द्विरेखीय रूप संतुष्ट करता है

$f(\phi ,\psi )=0$ सभी के लिए $\phi$ इसका आशय है $\psi =0.\,$

ऐसे मामले में जहां ƒ इंजेक्टिविटी को संतुष्ट करता है (लेकिन आवश्यक रूप से विशेषण नहीं), ƒ को कमजोर रूप से नॉनडिजेनरेट कहा जाता है।

शब्दावली

यदि f सभी सदिशों पर समान रूप से लुप्त हो जाता है तो इसे 'पूर्णतः पतित' कहा जाता है। सदिशों के समुच्चय V पर किसी द्विरेखीय रूप f को दिया गया है

$\{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ for all }}y\in V\}$

वी के एक पूरी तरह से पतित रैखिक उप-स्थान बनाता है। नक्शा एफ गैर-अपघटित है अगर और केवल अगर यह उप-स्थान तुच्छ है।

ज्यामितीय रूप से, द्विघात रूप की एक आइसोट्रोपिक रेखा प्रक्षेप्य स्थान में संबद्ध चतुर्भुज सतह के एक बिंदु से मेल खाती है। ऐसी रेखा द्विरेखीय रूप के लिए अतिरिक्त रूप से आइसोट्रोपिक है यदि और केवल यदि संबंधित बिंदु एक विलक्षण विविधता है। इसलिए, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्स गारंटी देता है कि द्विघात रूप में हमेशा आइसोट्रोपिक रेखाएं होती हैं, जबकि द्विरेखीय रूप में वे होती हैं यदि और केवल अगर सतह एकवचन है।

यह भी देखें

• Dual system
• Linear form