वियोज्य बहुपद

गणित में, एक दिए गए क्षेत्र (गणित) K पर एक बहुपद P(X) 'पृथक्करणीय' होता है, यदि बहुपद की इसकी जड़ K के बीजगणितीय समापन में अलग (गणित) होती है, अर्थात अलग-अलग जड़ों की संख्या बराबर होती है बहुपद के बहुपद की डिग्री। यह अवधारणा वर्ग-मुक्त बहुपद से निकटता से संबंधित है। यदि K एक पूर्ण क्षेत्र है तो दो अवधारणाएँ मेल खाती हैं। सामान्य तौर पर, P(X) वियोज्य है अगर और केवल अगर यह K युक्त किसी भी क्षेत्र पर वर्ग-मुक्त है, जो धारण करता है यदि और केवल यदि P(X) इसके औपचारिक व्युत्पन्न D P(X) के सहअभाज्य बहुपद हैं।

पुरानी परिभाषा

एक पुरानी परिभाषा में, पी(एक्स) को वियोज्य माना जाता था यदि के [एक्स] में इसके प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद कारक आधुनिक परिभाषा में वियोज्य हैं। इस परिभाषा में, पृथक्करणीयता क्षेत्र K पर निर्भर करती है; उदाहरण के लिए, किसी पूर्ण क्षेत्र पर किसी भी बहुपद को वियोज्य माना जाएगा। यह परिभाषा, हालांकि यह गैलोज़ सिद्धांत के लिए सुविधाजनक हो सकती है, अब उपयोग में नहीं है।

वियोज्य फील्ड एक्सटेंशन

वियोज्य बहुपदों का उपयोग वियोज्य एक्सटेंशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है: एक फ़ील्ड एक्सटेंशन K ⊂ L एक वियोज्य एक्सटेंशन है अगर और केवल अगर हर के लिए α में L जो कि बीजगणितीय तत्व है K, न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)। α ऊपर K एक वियोज्य बहुपद है।

अविभाज्य एक्सटेंशन (अर्थात, ऐसे एक्सटेंशन जो वियोज्य नहीं हैं) केवल सकारात्मक विशेषता (बीजगणित) में हो सकते हैं।

उपरोक्त मानदंड त्वरित निष्कर्ष की ओर ले जाता है कि यदि पी अप्रासंगिक है और वियोज्य नहीं है, तो डी-पी (एक्स) = 0। इस प्रकार हमारे पास होना चाहिए

पी (एक्स) = क्यू (एक्स^{&हेयरस्प;प})

K पर कुछ बहुपद Q के लिए, जहाँ अभाज्य संख्या p विशेषता है।

इस सुराग से हम एक उदाहरण बना सकते हैं:

पी (एक्स) = एक्स^p − टी

K के साथ p तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर अनिश्चित T में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र। यहां कोई गणितीय प्रमाण सीधे तौर पर दे सकता है कि P(X) अप्रासंगिक है और वियोज्य नहीं है। यह वास्तव में एक विशिष्ट उदाहरण है कि अविभाज्यता क्यों मायने रखती है; ज्यामितीय शब्दों में P परिमित क्षेत्र पर प्रक्षेप्य रेखा पर मानचित्रण का प्रतिनिधित्व करता है, जो उनकी pth शक्ति के लिए समन्वय करता है। ऐसे मानचित्रण परिमित क्षेत्रों की बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मौलिक हैं। दूसरा तरीका रखो, उस सेटिंग में ऐसे आवरण हैं जिन्हें गैलोज़ सिद्धांत द्वारा 'देखा' नहीं जा सकता है। (उच्च स्तरीय चर्चा के लिए रेडिकल आकारिकी देखें।)

यदि L क्षेत्र विस्तार है

के (टी^{&हेयरस्प;1/p}),

दूसरे शब्दों में, P का विभाजन क्षेत्र, फिर L/K विशुद्ध रूप से अविभाज्य क्षेत्र विस्तार का एक उदाहरण है। यह डिग्री पी का है, लेकिन पहचान के अलावा, के को ठीक करने वाला कोई automorphism नहीं है, क्योंकि टी^1/p P का अनूठा मूल है। यह सीधे तौर पर दिखाता है कि गैल्वा सिद्धांत को यहाँ टूटना चाहिए। ऐसा क्षेत्र जिसमें ऐसा कोई विस्तार न हो, उत्तम कहलाता है। यह परिमित क्षेत्र अपनी ज्ञात संरचना से एक पोस्टरियोरी का अनुसरण करता है।

कोई यह दिखा सकता है कि इस उदाहरण के लिए K के ऊपर L के क्षेत्रों के टेन्सर उत्पाद में गैर-शून्य तत्व हैं। यह अविभाज्यता की एक और अभिव्यक्ति है: अर्थात्, खेतों पर टेंसर उत्पाद संचालन को एक अंगूठी (गणित) उत्पन्न करने की आवश्यकता नहीं है जो कि खेतों का एक उत्पाद है (इसलिए, एक क्रमविनिमेय अंगूठी अर्द्ध साधारण अंगूठी नहीं)।

यदि P(x) वियोज्य है, और इसकी जड़ें एक समूह (गणित) (क्षेत्र K का एक उपसमूह) बनाती हैं, तो P(x) एक योगात्मक बहुपद है।

गाल्वा सिद्धांत में अनुप्रयोग

गैलोज़ सिद्धांत में वियोज्य बहुपद अक्सर होते हैं।

उदाहरण के लिए, पी को पूर्णांक गुणांक के साथ एक अलघुकरणीय बहुपद होने दें और पी एक अभाज्य संख्या हो जो पी के प्रमुख गुणांक को विभाजित नहीं करता है। क्यू को पी तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर बहुपद होने दें, जो मॉड्यूलर अंकगणितीय पी को कम करके प्राप्त किया जाता है। पी के गुणांक। फिर, यदि क्यू वियोज्य है (जो कि प्रत्येक पी के लिए मामला है लेकिन एक परिमित संख्या है) तो क्यू के अलघुकरणीय कारकों की डिग्री पी के गैलोइस समूह के कुछ क्रमपरिवर्तन के चक्रीय क्रमपरिवर्तन की लंबाई है।

एक अन्य उदाहरण: P जैसा कि ऊपर है, समूह G के लिए एक 'रिज़ॉल्वेंट' R एक बहुपद है जिसके गुणांक P के गुणांकों में बहुपद हैं, जो P के गैलोज़ समूह पर कुछ जानकारी प्रदान करता है। अधिक सटीक रूप से, यदि R वियोज्य है और है एक परिमेय संख्या मूल है तो P का Galois समूह G में निहित है। उदाहरण के लिए, यदि D, P का विविक्तकर है तो $X^{2}-D$ वैकल्पिक समूह के लिए एक विलायक है। यह विलायक हमेशा वियोज्य होता है (यह मानते हुए कि विशेषता 2 नहीं है) यदि पी अलघुकरणीय है, लेकिन अधिकांश विलायक हमेशा वियोज्य नहीं होते हैं।

यह भी देखें

• फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म

संदर्भ

• Pages 240-241 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001