वैंडरमोंड मैट्रिक्स

रेखीय बीजगणित में, एक वेंडरमोंड आव्यूह जिसका नाम एलेक्जेंडर थियोफाइल वेंडरमोंड के नाम पर रखा गया है, इसमें एक आव्यूह होता है जिसमें प्रत्येक पंक्ति में गुणोत्तर अनुक्रम वाले $(m+1)\times (n+1)$ के रूप में आव्यूह होते है

$V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}$

या

$V_{i,j}=x_{i}^{j}$

सभी शून्य-आधारित सूचकांक के लिए $i$ और $j$ के रूप में होते है. अधिकांश लेखक वैंडरमोंड आव्यूह को उपरोक्त आव्यूह के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित करते हैं।

असतत फूरियर रूपांतरण आव्यूह वैंडरमोंड आव्यूह का एक बहुत ही महत्वपूर्ण उदाहरण के रूप में है।

एक वर्ग वैंडरमोंड आव्यूह के सारणिक को वैंडरमोंड बहुपद या वैंडरमोंड सारणिक कहा जाता है। इसका मान बहुपद के रूप में इस प्रकार दिखाया जाता

है

$\det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$ के रूप में है

जो अशून्य रूप में होते है और यदि सभी $x_{i}$ विशिष्ट रूप में हैं।

वैंडरमोंड सारणिक को कभी-कभी विवेचक कहा जाता था, चूंकि वर्तमान में बहुपद का विवेचक, बहुपद के रुट के वैंडरमोंड सारणिक का वर्ग होता है। और इस प्रकार वैंडरमोंड सारणिक $x_{i}$ केवैकल्पिक रूप में होता है, जिसका अर्थ है कि $x_{i}$ का आदान-प्रदान करने से चिह्न बदल जाता है जबकि $x_{i}$ एक समान क्रमपरिवर्तन द्वारा क्रमबद्ध करने से सारणिक का मान नहीं बदलता है। यह इस प्रकार के लिए एक क्रमबद्ध की पसंद पर निर्भर करता है $x_{i}$, जबकि इसका वर्ग विवेचक किसी भी क्रम पर निर्भर नहीं करता है और इसका तात्पर्य गैलोइस सिद्धांत से है, जो कि विवेचक बहुपद के गुणांकों का एक बहुपद फलन के रूप में है जिसमें $x_{i}$ रुट के रूप में होता है।

प्रमाण

एक वर्ग वेंडरमोंड आव्यूह की मुख्य गुणधर्म के रूप होते है

$V={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}$

यह इसके सारणिक का सरल रूप है, जिसे इस प्रकार दिखाया गया है

$\det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$

इस समानता के तीन प्रमाण नीचे दिए गए हैं। पहला वाला बहुपद गुणों का उपयोग करता है और इस प्रकार विशेष रूप से बहुभिन्नरूपी बहुपदो के अद्वितीय गुणनखंड डोमेन के रूप में होता है। चूंकि वैचारिक रूप से इसमें सार बीजगणित की गैर-प्रारंभिक अवधारणाओ के रूप में सम्मलित हैं। और इसके दूसरे प्रमाण के लिए किसी स्पष्ट कम्प्यूटेशन की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन इसमें एक रेखीय मानचित्र के सारणिक और आधार के परिवर्तन की अवधारणा के रूप में सम्मलित होता है। यह वैंडरमोंड आव्यूह के लू अपघटन की संरचना भी प्रदान करता है। मात्र प्राथमिक आव्यूह का उपयोग करते हुए तीसरा एक अधिक प्राथमिक और अधिक जटिल रूप में है।

बहुपद गुणों का प्रयोग

लीबनिज सूत्र (सारणिक ) द्वारा, $\det(V)$ में एक बहुपद है $x_{i}$, पूर्णांक गुणांक के साथ सभी प्रविष्टियाँ $i$वें कॉलम शून्य के रूप में आधारित कुल घात के रूप में होती है $i$. इस प्रकार फिर से लीबनिज सूत्र द्वारा सारणिक के सभी पदों की कुल घात होती है

$0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}};$

अर्थात सारणिक इस घात का एक सजातीय बहुपद के रूप में है।

यदि $i\neq j$ , के लिए एक स्थानापन्न $x_{i}$ के लिए $x_{j}$ के रूप में होता है और इस प्रकार हमें दो समान पंक्तियों वाला एक आव्यूह मिलता है, जिसमें एक शून्य सारणिक होता है। इस प्रकारगुणनखंड प्रमेय द्वारा, $x_{j}-x_{i}$ का भाजक $\det(V)$.के रूप में होता है और इस प्रकार बहुभिन्नरूपी बहुपदों के अद्वितीय गुणनखंड डोमेन द्वारा होता है और सभी का गुणनफल $x_{j}-x_{i}$ का विभाजित $\det(V)$ के रूप में है

$\det(V)=Q\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),$

जहाँ $Q$ एक बहुपद के रूप में है और इस प्रकार सभी के गुणनफल के रूप में $x_{j}-x_{i}$ और $\det(V)$ की समान घात $n(n+1)/2$ के रूप में होती है और इस प्रकार बहुपद $Q$ वस्तुत: एक स्थिरांक के रूप में है। यह स्थिरांक एक है, क्योंकि विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल $V$ का $x_{1}x_{2}^{2}\cdots x_{n}^{n}$, के रूप में है, जो एकपदी बहुपद के रूप में है, जो सभी गुणनखंडों के प्रथम पद को लेकर प्राप्त किया जाता है $\textstyle \prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$ इससे यह सिद्ध होता है

$\det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$

रेखीय नक्शों का प्रयोग

मान लीजिए कि F एक ऐसा गणित क्षेत्र है, जिसमें सभी $x_{i},$ हैं और $P_{n}$ , F में गुणांक वाले n से कम घात वाले बहुपदों की F सदिश स्थान के रूप में है। और इस प्रकार इसे दिखाया जाता है,

$\varphi :P_{n}\to F^{n}$

रैखिक नक्शा द्वारा परिभाषित हैं

$p(x)\mapsto (p(x_{1}),\ldots ,p(x_{n}))$.

वेंडरमोंड आव्यूह $P_{n}$ और $F^{n}.$के विहित आधारों के संबंध में $\varphi$ का मैट्रिक्स है।

$P_{n}$ के आधार को बदलने से वैंडरमोंड आव्यूह को दाईं ओर से आधार आव्यूह M के परिवर्तन से गुणा किया जाता है। यदि M का सारणिक 1 है तो यह सारणिक नहीं बदलता है।

बहुपद $1$, $x-x_{0}$, $(x-x_{0})(x-x_{1})$, …, $(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})$ संबंधित घात के एकपद बहुपद हैं 0, 1, …, n. एकपदी आधार पर उनका आव्यूह एक ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह U के रूप में है यदि एकपदी को बढ़ती घात के रूप में क्रमबद्ध किया जाता है और इस प्रकार सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ के बराबर होती हैं। इस प्रकार यह आव्यूह सारणिक का परिवर्तन आधार आव्यूह के रूप में होता है। इस नए आधार पर $\varphi$ का मैट्रिक्स है

$L={\begin{bmatrix}1&0&0&\ldots &0\\1&x_{1}-x_{0}&0&\ldots &0\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})&\ldots &(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{n})\end{bmatrix}}$.

इस प्रकार वैंडरमोंड सारणिक इस आव्यूह सारणिक के बराबर है, जो इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का उत्पाद के रूप में है।

यह वांछित समानता सिद्ध करता है। इसके अतिरिक्त किसी लू का अपघटन V की तरह $V=LU^{-1}$.के रूप में होता है

पंक्ति और स्तंभ संचालन द्वारा

यह तीसरा प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि कोई आव्यूह के एक स्तंभ में गुणनफल को दूसरे स्तंभ के अदिश गुणज को जोड़ता है तो सारणिक अपरिवर्तित रहता है।

इसलिए, प्रत्येक कॉलम को घटाकर पहले वाले को छोड़कर और पूर्ववर्ती कॉलम को गुणा करके $x_{0}$, सारणिक अपरिवर्तित रहता है। ये घटाव अंतिम कॉलम से प्रारंभ करके किया जाता है और इस प्रकार एक कॉलम घटाता जो अभी तक नहीं बदला गया है। यह इस रूप में आव्यूह को दिखाता है,

${\begin{bmatrix}1&0&0&0&\cdots &0\\1&x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\1&x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}$

लाप्लास विस्तार को पहली पंक्ति के साथ लागू करने पर $\det(V)=\det(B)$ के रूप में प्राप्त करते हैं

$B={\begin{bmatrix}x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}$

सभी प्रविष्टियों के रूप में $i$-वीं पंक्ति $B$ का कारक है $x_{i+1}-x_{0}$, कोई इन कारकों को निकाल सकता है और प्राप्त कर सकता है

$\det(V)=(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})\cdots (x_{n}-x_{0}){\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1<i\leq n}(x_{i}-x_{0})\det(V')$,

जहाँ $V'$ में वैंडरमोंड आव्यूह $x_{1},\ldots ,x_{n}$.के रूप में है इस प्रक्रिया को इस छोटे वेंडरमोंड आव्यूह पर दोहराते हुए, अंततः वांछित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है $\det(V)$ सभी उत्पाद के रूप में है $x_{j}-x_{i}$ ऐसा है कि $i<j$.के रूप में प्राप्त करते हैं

परिणामी गुण

एक m × n आयताकार वेंडरमोंड आव्यूह जैसे कि m ≤ n में आव्यूह की अधिकतम क्रम है m यदि और मात्र यदि सभी x_i भिन्न के रूप में हैं।

एक m × n आयताकार वेंडरमोंड आव्यूह जैसे कि m ≥ n में आव्यूह की अधिकतम क्रम है n यदि और मात्र यदि n की x_i जो भिन्न के रूप में हैं।

एक वर्ग वेंडरमोंड आव्यूह प्रतिलोम आव्यूह के रूप में हैं यदि और मात्र यदि x_i भिन्न हैं। तो व्युत्क्रम के लिए एक स्पष्ट सूत्र ज्ञात है।

अनुप्रयोग

वैंडरमोंड आव्यूह $V$ एक बहुपद का मूल्यांकन करता है $p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}$ बिंदुओं के एक समुच्चय पर अर्थात $x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}$ वंडरमोंड प्रणाली के रूप में है, $Va=f$; औपचारिक रूप से $V$ रेखीय मानचित्र का आव्यूह है जो एक बहुपद के गुणांकों के सदिश को मैप करता है $a={\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$ और इस प्रकार वेंडरमोंड आव्यूह में दिखाई देने वाले बहुपद के मूल्यों के सदिश के लिए इस रूप में दिखता है, $f={\begin{bmatrix}p(x_{0})\\p(x_{1})\\\vdots \\p(x_{m})\end{bmatrix}}$.

भिन्न -भिन्न बिंदुओं $x_{i}$ के लिए वैंडरमोंड सारणिक का गैर लुप्त होना दर्शाता है कि, भिन्न -भिन्न बिंदुओं के लिए गुणांक से लेकर उन बिंदुओं पर मूल्यों तक का नक्शा एक से एक पत्राचार के रूप में है और इस प्रकार बहुपद प्रक्षेप समस्या एक अद्वितीय समाधान के साथ हल करने योग्य है; इस परिणाम को एकरूपता प्रमेय कहा जाता है और बहुपदों के लिए चाइनीस शेष प्रमेय एक विशेष स्थिति के रूप में है।

यह बहुपद इंटरपोलेशन में उपयोगी रूप में होता है, क्योंकि वेंडरमोंड आव्यूह को बदलने से बहुपद के गुणांक को व्यक्त करने की अनुमति मिलती है $x_{i}$ और पर बहुपद के मान $x_{i}$ अर्थात $a=V^{-1}f$).के रूप में प्राप्त करते हैं

वैंडरमोंड सारणिक का उपयोग सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में किया जाता है।

जब मान $x_{i}$ एक परिमित क्षेत्र से संबंधित होता है, तो वैंडरमोंडे सारणिक को मूर सारणिक भी कहा जाता है और इसमें विशिष्ट गुण होते है, जो उदाहरण के लिए बीसीएच कोड और रीड-सोलोमन त्रुटि सुधार कोड के सिद्धांत में उपयोग किए जाते हैं।

समीकरण को हल करना $Va=f$ अर्थात् इंटरपोलेटिंग बहुपद की गणना करने से ${\mathcal {O}}(n^{3})$ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को समय जटिलता के साथ हल करना एक कलन विधि का परिणाम होता है। वैंडरमोंड आव्यूह की संरचना का उपयोग करते हुए, कोई भी न्यूटन की विभाजित अंतर विधि का उपयोग किया जा सकता है या लैग्रेंज बहुपद इंटरपोलेशन फॉर्मूला का उपयोग ${\mathcal {O}}(n^{2})$ समीकरण को हल करने के लिए कर सकता है और इस प्रकार $V^{-1}$. के यूएल फैक्टराइजेशन की शांतिपूर्वक गणना कर सकता है। और इसमें परिणामी कलन विधि बेहद सटीक समाधान उत्पन्न करता है, यदि $V$ खराब स्थिति में हो।

असतत फूरियर रूपांतरण एक विशिष्ट वेंडरमोंड आव्यूह , डीएफटी आव्यूह द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां संख्याएं $x_{i}$ एकता के मूल सिद्धांत के रूप में चुने जाते है। और इस प्रकार त्वरित फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके $O(n\log ^{2}n)$ समय में वेक्टर के साथ वैंडरमोंड आव्यूह के उत्पाद को एक सदिश के साथ गणना करना संभव है।

वेंडरमोंड सारणिक के सूत्र के अनुसार फिलिंग फैक्टर वन क्वांटम हॉल प्रभाव में प्रकट होने वाले लाफलिन तरंग फलन को स्लेटर सारणिक के रूप में देखा जा सकता है। अर्थात भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव में यह अब एक भिन्न कारकों को भरने के लिए सत्य नहीं है।

यह बहुपद प्रतिगमन का आव्यूह डिजाइन है।

यह चक्रीय पॉलीटॉप्स के यादृच्छिक $k$ फेसेस का सामान्यीकृत आयतन के रूप में है। विशेष रूप से, यदि $F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}})$ एक चक्रीय बहुशीर्ष का $k$-फेसेस के रूप में है। $C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}$ (जहाँ $T=\{t_{1},\dots ,t_{N}\}_{<}\subset \mathbb {Z}$), तब यह इस रूप में होता है

$$\mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.$$

कंफ्लुएंट वैंडरमोंड मेट्रिसेस

जैसा कि पहले बताया गया है, वैंडरमोंड आव्यूह एक बहुपद के गुणांकों को खोजने के रैखिक बीजगणित बहुपद प्रक्षेप का वर्णन करता है $p(x)$ घात का $n-1$ मूल्यों के आधार पर $p(\alpha _{1}),\,...,\,p(\alpha _{n})$, जहाँ $\alpha _{1},\,...,\,\alpha _{n}$ पृथक बिंदु हैं। यदि $\alpha _{i}$ भिन्न नहीं हैं, तो इस समस्या का कोई अनूठा समाधान नहीं है (जो इस तथ्य से परिलक्षित होता है कि संबंधित वैंडरमोंड आव्यूह एकवचन है)। चूंकि , यदि हम दोहराए गए बिंदुओं पर डेरिवेटिव का मान देते हैं, तो समस्या का एक अनूठा समाधान हो सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या

${\begin{cases}p(0)=a\\p'(0)=b\\p(1)=c\end{cases}}$

जहाँ $p$ घात ≤ 2 का बहुपद है, सभी के लिए एक अनूठा समाधान है $a,b,c$. सामान्यतः , मान लीजिए $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ (आवश्यक नहीं कि भिन्न -भिन्न हों) संख्याएं हैं, और अंकन में आसानी के लिए मान लें कि समान मान सूची में निरंतर क्रम में आते हैं। वह है

$\alpha _{1}=\cdots =\alpha _{m_{1}},\ \alpha _{m_{1}+1}=\cdots =\alpha _{m_{2}},\ \ldots ,\ \alpha _{m_{k-1}+1}=\cdots =\alpha _{m_{k}}$

जहाँ $m_{k}=n,$ $m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k},$ और $\alpha _{m_{1}},\ldots ,\alpha _{m_{k}}$ विशिष्ट हैं। तब संबंधित प्रक्षेप समस्या है

${\begin{cases}p(\alpha _{1})=\beta _{1},&p'(\alpha _{1})=\beta _{2},&\ldots ,&p^{(m_{1}-1)}(\alpha _{1})=\beta _{m_{1}}\\p(\alpha _{m_{1}+1})=\beta _{m_{1}+1},&p'(\alpha _{m_{1}+1})=\beta _{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(\alpha _{m_{2}})=\beta _{m_{2}}\\\qquad \vdots \\p(\alpha _{m_{k-1}+1})=\beta _{m_{k-1}+1},&p'(\alpha _{m_{k-1}+2})=\beta _{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(\alpha _{m_{k}})=\beta _{m_{k}}\end{cases}}$

और इस समस्या के लिए संबंधित आव्यूह को कंफ्लुएंट वैंडरमोंड मैट्रिसेस कहा जाता है। हमारे स्थिति में (जो सामान्य स्थिति है, आव्यूह की पंक्तियों को अनुमति देने तक) इसके लिए सूत्र निम्नानुसार दिया गया है: यदि $1\leq i,j\leq n$, तब $m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}$ कुछ के लिए (अद्वितीय) $0\leq \ell \leq k-1$ (हमें विचार विमर्श करना है $m_{0}=0$). तो हमारे पास हैं

$V_{i,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}j<i-m_{\ell };\\[6pt]{\dfrac {(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell }))!}}\alpha _{i}^{j-(i-m_{\ell })},&{\text{if }}j\geq i-m_{\ell }.\end{cases}}$

वैंडरमोंड आव्यूह का यह सामान्यीकरण इसे प्रतिलोम आव्यूह बनाता है | गैर-एकवचन (जैसे कि समीकरणों की प्रणाली के लिए एक अनूठा समाधान उपस्थित है) जबकि वेंडरमोंड आव्यूह के अधिकांश गुणों को बनाए रखते हैं। इसकी पंक्तियाँ मूल वेंडरमोंड पंक्तियों के डेरिवेटिव (कुछ क्रम के) हैं।

इस सूत्र को प्राप्त करने का दूसरा विधि ा यह है कि कुछ को जाने दिया जाए $\alpha _{i}$मनमाने ढंग से एक दूसरे के निकट जाना। उदाहरण के लिए, यदि $\alpha _{1}=\alpha _{2}$, फिर दे रहा है $\alpha _{2}\to \alpha _{1}$ मूल वैंडरमोंड आव्यूह में, पहली और दूसरी पंक्तियों के बीच का अंतर कंफ्लुएंट वेंडरमोंड आव्यूह में संबंधित पंक्ति उत्पन्न करता है। यह हमें सामान्यीकृत इंटरपोलेशन समस्या (दिए गए मूल्य और डेरिवेटिव को एक बिंदु पर) को मूल स्थिति से जोड़ने की अनुमति देता है जहां सभी बिंदु भिन्न हैं: दिया जा रहा है $p(\alpha ),p'(\alpha )$ दिए जाने के समान है $p(\alpha ),p(\alpha +\varepsilon )$ जहाँ $\varepsilon$ बहुत छोटी है।

यह भी देखें

• Companion matrix § Diagonalizability
• शुर बहुपद - एक सामान्यीकरण
• वैकल्पिक आव्यूह
• लैग्रेंज बहुपद
• Wronskian
• मैट्रिसेस की सूची
• एक परिमित क्षेत्र पर मूर सारणिक
• वीटा के सूत्र

अग्रिम पठन

• Ycart, Bernard (2013), "A case of mathematical eponymy: the Vandermonde determinant", Revue d'Histoire des Mathématiques, 13, arXiv:1204.4716, Bibcode:2012arXiv1204.4716Y.

बाहरी संबंध

• वैंडरमोंड मैट्रिक्स at ProofWiki