स्थिर वक्र

See also: Stable map of curves

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक स्थिर वक्र एक बीजगणितीय वक्र होता है जो ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत के अर्थ में असम्बद्ध रूप से स्थिर होता है।

यह इस स्थिति के समतुल्य है कि यह एक पूर्ण रूप से जुड़ा हुआ वक्र है, जिसकी एकमात्र विलक्षणताएँ साधारण दोहरे बिंदु हैं और जिसका ऑटोमोर्फिज्म समूह परिमित है। ऑटोमोर्फिज्म समूह परिमित होने की स्थिति को इस शर्त से बदला जा सकता है कि यह अंकगणितीय जीनस का नहीं है और प्रत्येक गैर-एकवचन तर्कसंगत वक्र घटक कम से कम 3 बिंदुओं में अन्य घटकों से मिलता है (Deligne & Mumford 1969).

एक अर्ध-स्थिर वक्र एक समान स्थितियों को संतुष्ट करता है, सिवाय इसके कि ऑटोमोर्फिज़्म समूह को परिमित होने के बजाय रिडक्टिव होने की अनुमति है (या समतुल्य रूप से इसका जुड़ा हुआ घटक एक टोरस हो सकता है)। वैकल्पिक रूप से शर्त यह है कि गैर-एकवचन तर्कसंगत घटक कम से कम तीन बिंदुओं में अन्य घटकों से मिलते हैं, उन्हें इस शर्त से बदल दिया जाता है कि वे कम से कम दो बिंदुओं पर मिलते हैं।

इसी तरह चिह्नित बिंदुओं की एक परिमित संख्या के साथ एक वक्र को स्थिर कहा जाता है यदि यह पूर्ण है, जुड़ा हुआ है, इसमें विलक्षणता के रूप में केवल साधारण दोहरे बिंदु हैं, और इसमें परिमित ऑटोमोर्फिज़्म समूह है। उदाहरण के लिए, एक अण्डाकार वक्र (एक गैर-एकवचन जीनस 1 वक्र 1 चिह्नित बिंदु के साथ) स्थिर है।

सम्मिश्र संख्याओं पर, एक जुड़ा हुआ वक्र स्थिर होता है यदि और केवल तभी, जब सभी एकवचन और चिह्नित बिंदुओं को हटाने के बाद, इसके सभी घटकों के सार्वभौमिक कवर यूनिट डिस्क के लिए आइसोमोर्फिक होते हैं।

परिभाषा

एक मनमानी योजना दी $S$ और सेटिंग $g\geq 2$ एक स्थिर जीनस जी कर्व ओवर $S$ एक उचित फ्लैट morphism के रूप में परिभाषित किया गया है $\pi :C\to S$ जैसे कि ज्यामितीय तंतुओं को कम किया जाता है, 1-आयामी योजनाओं को जोड़ा जाता है $C_{s}$ ऐसा है कि

1. $C_{s}$ केवल साधारण द्वि-बिन्दु विलक्षणताएँ हैं
2. हर तर्कसंगत घटक $E$ से अधिक पर अन्य घटकों को पूरा करता है $2$ अंक
3. $\dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g$

ये तकनीकी स्थितियां आवश्यक हैं क्योंकि (1) तकनीकी जटिलता को कम करती है (यहां पिकार्ड-लेफ्सचेट्ज़ सिद्धांत का भी उपयोग किया जा सकता है), (2) वक्रों को कठोर बनाता है ताकि बाद में निर्मित मोडुली स्टैक के अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज़्म न हों, और (3) गारंटी देता है कि हर फाइबर का अंकगणितीय जीन समान है। ध्यान दें कि (1) अण्डाकार सतहों में पाए जाने वाले विलक्षणताओं के प्रकारों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण

स्थिर वक्रों के एक परिवार का एक शास्त्रीय उदाहरण वक्रों के वीयरस्ट्रैस परिवार द्वारा दिया गया है

${\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}$

जहां हर बिंदु पर रेशे होते हैं $\neq 0,1$ चिकने होते हैं और पतित बिंदुओं में केवल एक द्वि-बिंदु विलक्षणता होती है। इस उदाहरण को चिकने हाइपरेलिप्टिक वक्रों के एक-पैरामीटर परिवार के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो कई बिंदुओं पर पतित होता है।

गैर-उदाहरण

एक से अधिक पैरामीटर के सामान्य मामले में उन कर्व्स को हटाने के लिए देखभाल की जानी चाहिए जो डबल-पॉइंट सिंगुलैरिटी से भी बदतर हैं। उदाहरण के लिए, परिवार पर विचार करें $\mathbb {A} _{s,t}^{2}$ बहुपदों से निर्मित

$y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)$

चूंकि विकर्ण के साथ $s=t$ गैर-डबल-पॉइंट विलक्षणताएं हैं। एक और गैर-उदाहरण परिवार खत्म हो गया है $\mathbb {A} _{t}^{1}$ बहुपदों द्वारा दिया गया

$x^{3}-y^{2}+t$

जो अण्डाकार वक्रों का एक परिवार है जो एक पुच्छल के साथ एक परिमेय वक्र में पतित होता है।

गुण

स्थिर वक्रों के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक तथ्य यह है कि वे स्थानीय पूर्ण चौराहे हैं। इसका तात्पर्य है कि मानक सेरे-द्वैत सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक स्थिर वक्र के लिए $\omega _{C/S}^{\otimes 3}$ एक अपेक्षाकृत बहुत-पर्याप्त शीफ है; इसका उपयोग वक्र को एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है $\mathbb {P} _{S}^{5g-6}$. मानक हिल्बर्ट योजना सिद्धांत का उपयोग करके हम जीनस के घटता की एक मोडुली योजना का निर्माण कर सकते हैं $g$ कुछ प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेडेड। हिल्बर्ट बहुपद द्वारा दिया जाता है

$P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)$

हिल्बर्ट स्कीम में निहित स्थिर वक्रों का एक सबलोकस है

$H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}$

यह कारक का प्रतिनिधित्व करता है

${\mathcal {M}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})$

कहाँ $\sim$ स्थिर वक्रों के समरूपता हैं। एम्बेडिंग (जो प्रोजेक्टिव स्पेस के आइसोमोर्फिज्म द्वारा एन्कोड किया गया है) के संबंध में वक्र के मॉड्यूलि स्पेस को बनाने के लिए हमें इसे मॉड आउट करना होगा $PGL(5g-6)$. यह हमें मोडुली स्टैक देता है

${\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]$

यह भी देखें

• बीजगणितीय वक्रों का मापांक
• स्थिर नक्शा

संदर्भ

• Artin, M.; Winters, G. (1971-11-01). "Degenerate fibres and stable reduction of curves". Topology. 10 (4): 373–383. doi:10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN 0040-9383.
• Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), "The irreducibility of the space of curves of given genus", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, doi:10.1007/BF02684599, MR 0262240, S2CID 16482150
• Gieseker, D. (1982), Lectures on moduli of curves (PDF), Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics, vol. 69, Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, ISBN 978-3-540-11953-1, MR 0691308
• Harris, Joe; Morrison, Ian (1998), Moduli of curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 187, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98429-2, MR 1631825