छद्म-अनोसोव मानचित्र

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी में, एक छद्म-एनोसोव मानचित्र एक प्रकार का एक भिन्नता या एक सतह (टोपोलॉजी) का होमियोमोर्फिज्म है। यह टोरस्र्स के एक रेखीय एनोसोव डिफियोमोर्फिज्म का सामान्यीकरण है। इसकी परिभाषा विलियम थर्स्टन द्वारा शुरू की गई एक मापित पत्ते की धारणा पर निर्भर करती है, जिन्होंने अपने नीलसन-थर्स्टन वर्गीकरण को साबित करते समय छद्म-अनोसोव डिफोमोर्फिज्म शब्द भी गढ़ा था।

एक मापा पत्ते की परिभाषा

एक बंद सतह एस पर एक मापा पत्तियों से सजाना एफ एस पर एक ज्यामितीय संरचना है जिसमें एक विलक्षण फोलिएशन और अनुप्रस्थ दिशा में एक माप होता है। एफ के एक नियमित बिंदु के पड़ोस में, एक प्रवाह बॉक्स φ: यू → आर है² जो F की पत्तियों को 'R' में क्षैतिज रेखाओं में भेजता है^{2</उप>। यदि ऐसे दो पड़ोस U_i और आप_j ओवरलैप तो एक संक्रमण समारोह φ है_ij φ पर परिभाषित_j(में_j), मानक संपत्ति के साथ}

$\phi _{ij}\circ \phi _{j}=\phi _{i},$

जिसका स्वरूप होना चाहिए

$\phi (x,y)=(f(x,y),c\pm y)$

कुछ निरंतर सी के लिए। यह आश्वासन देता है कि एक साधारण वक्र के साथ, y-निर्देशांक में भिन्नता, प्रत्येक चार्ट में स्थानीय रूप से मापी जाती है, एक ज्यामितीय मात्रा है (अर्थात चार्ट से स्वतंत्र) और S पर एक साधारण बंद वक्र के साथ कुल भिन्नता की परिभाषा की अनुमति देती है। एक परिमित p-आयामी काठी के प्रकार, p≥3, की F की विलक्षणताओं की संख्या की अनुमति है। इस तरह के एक विलक्षण बिंदु पर, सतह की अलग-अलग संरचना को बिंदु को एक शंक्वाकार बिंदु में कुल कोण πp के साथ संशोधित करने के लिए संशोधित किया जाता है। इस संशोधित अलग-अलग संरचना के संबंध में एस के डिफियोमोर्फिज्म की धारणा को फिर से परिभाषित किया गया है। कुछ तकनीकी संशोधनों के साथ, ये परिभाषाएँ सीमा के साथ सतह के मामले में विस्तारित होती हैं।

एक छद्म-एनोसोव मानचित्र की परिभाषा

एक होमियोमॉर्फिज्म

$f:S\to S$

एक बंद सतह एस को 'छद्म-एनोसोव' कहा जाता है यदि एस, एफ पर मापा पर्णों की एक अनुप्रस्थ जोड़ी मौजूद है^s (स्थिर) और F^यू (अस्थिर), और एक वास्तविक संख्या λ > 1 जैसे कि पत्ते f द्वारा संरक्षित होते हैं और उनके अनुप्रस्थ उपायों को 1/λ और λ से गुणा किया जाता है। संख्या λ को f का 'स्ट्रेच फैक्टर' या 'डिलेटेशन' कहा जाता है।

महत्व

थर्स्टन ने एक सतह एस के टीचमुलर स्पेस टी (एस) के एक कॉम्पैक्टिफिकेशन का निर्माण किया, जैसे कि एस के किसी भी भिन्नता एफ द्वारा टी (एस) पर प्रेरित कार्रवाई थर्स्टन कॉम्पैक्टिफिकेशन के होमोमोर्फिज्म तक फैली हुई है। इस होमियोमॉर्फिज्म की गतिशीलता सबसे सरल है जब एफ एक छद्म-एनोसोव मानचित्र है: इस मामले में, थर्स्टन सीमा पर दो निश्चित बिंदु हैं, एक आकर्षित और एक प्रतिकर्षित, और होमोमोर्फिज्म पॉइंकेयर हाफ के हाइपरबोलिक ऑटोमोर्फिज्म के समान व्यवहार करता है। -विमान। कम से कम दो जीनस की सतह का एक सामान्य अंतर एक छद्म-एनोसोव डिफियोमोर्फिज्म के लिए समस्थानिक है।

सामान्यीकरण

ट्रेन पटरियों के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, एक छद्म-एनोसोव मानचित्र की धारणा को ग्राफ़ के स्व-नक्शे (सामयिक पक्ष पर) और मुक्त समूहों के बाहरी ऑटोमोर्फिम्स (बीजीय पक्ष पर) तक बढ़ा दिया गया है। यह म्लादेन बेस्टविना और हैंडेल द्वारा विकसित मुक्त समूहों के ऑटोमोर्फिज्म के मामले के लिए थर्स्टन वर्गीकरण के एक एनालॉग की ओर जाता है।

संदर्भ

• A. Casson, S. Bleiler, "Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston", (London Mathematical Society Student Texts 9), (1988).
• A. Fathi, F. Laudenbach, and V. Poénaru, "Travaux de Thurston sur les surfaces," Asterisque, Vols. 66 and 67 (1979).
• R. C. Penner. "A construction of pseudo-Anosov homeomorphisms", Trans. Amer. Math. Soc., 310 (1988) No 1, 179–197
• Thurston, William P. (1988), "On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 19 (2): 417–431, doi:10.1090/S0273-0979-1988-15685-6, ISSN 0002-9904, MR 0956596