फिन्सलर कई गुना

"Finsler" redirects here. For the mathematician this manifold is named after, see Paul Finsler.

गणित में, विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति, एक फिन्सलर मैनिफोल्ड एक भिन्नात्मक मैनिफोल्ड है M जहां एक (संभवतः असममित मानदंड) Minkowski कार्यात्मक F(x, −) प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर प्रदान किया गया है T_xM, जो किसी भी चिकने वक्र की लंबाई को परिभाषित करने में सक्षम बनाता है γ : [a, b] → M जैसा

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} t.$

रीमैनियन कई गुना की तुलना में फिन्सलर मैनिफोल्ड्स अधिक सामान्य हैं क्योंकि स्पर्शरेखा मानदंडों को आंतरिक उत्पादों द्वारा प्रेरित करने की आवश्यकता नहीं है।

प्रत्येक फिन्सलर मैनिफोल्ड एक आंतरिक मीट्रिक क्वासिमेट्रिक स्पेस # क्वासिमेट्रिक्स बन जाता है जब दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके साथ जुड़ने वाले घटता की न्यूनतम लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है।

Élie Cartan (1933) पॉल फिन्सलर के नाम पर फिन्सलर मैनिफोल्ड्स नाम दिया गया, जिन्होंने अपने शोध प्रबंध में इस ज्यामिति का अध्ययन किया था (Finsler 1918).

परिभाषा

एक फिन्सलर मैनिफोल्ड एक अलग करने योग्य मैनिफोल्ड है M फिन्सलर मीट्रिक के साथ, जो एक निरंतर गैर-नकारात्मक कार्य है F: TM → [0, +∞) स्पर्शरेखा बंडल पर परिभाषित किया गया है ताकि प्रत्येक बिंदु के लिए x का M,

• F(v + w) ≤ F(v) + F(w) हर दो वैक्टर के लिए v,w स्पर्शरेखा M पर x (उप-विषमता)।
• F(λv) = λF(v) सभी के लिए λ ≥ 0 (लेकिन जरूरी नहीं कि इसके लिएλ < 0) (सजातीय कार्य)।
• F(v) > 0 जब तक v = 0 (सकारात्मक-निश्चित कार्य)।

दूसरे शब्दों में, F(x, −) प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक असममित मानदंड है T_xM. द फिन्सलर मेट्रिक F चिकनी होने की भी आवश्यकता है, अधिक सटीक:

• F के शून्य खंड के पूरक पर सुचारू कार्य है TM.

उप-योगात्मकता स्वयंसिद्ध को निम्नलिखित मजबूत उत्तल स्थिति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

• प्रत्येक स्पर्शरेखा वेक्टर के लिए v ≠ 0, का हेसियन मैट्रिक्स F² पर v सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है।

यहाँ का हेसियन F² पर v सममित टेन्सर द्विरेखीय रूप है

$\mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0},$

के मूलभूत काल के रूप में भी जाना जाता है F पर v. की प्रबल उत्तलता F एक सख्त असमानता के साथ उप-विषमता का तात्पर्य है यदि u⁄F(u) ≠ v⁄F(v). अगर F दृढ़ता से उत्तल है, तो यह प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर मिंकोव्स्की मानदंड है।

एक Finsler मीट्रिक उत्क्रमणीय है, यदि इसके अतिरिक्त,

• F(−v) = F(v) सभी स्पर्शरेखा सदिशों के लिए v.

एक प्रतिवर्ती फिन्सलर मीट्रिक प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक मानदंड (गणित) (सामान्य अर्थ में) को परिभाषित करता है।

उदाहरण

• परिमित आयाम के एक आदर्श सदिश स्थान के चिकने सबमनीफोल्ड (खुले उपसमुच्चय सहित) फिन्सलर मैनिफोल्ड हैं यदि सदिश स्थान का मानदंड मूल के बाहर चिकना है।
• रीमैनियन मैनिफोल्ड्स (लेकिन स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स नहीं) फिन्सलर मैनिफोल्ड्स के विशेष मामले हैं।

रेंडर कई गुना

आसान $(M,a)$ एक Riemannian कई गुना हो और बी एक अंतर रूप | एम के साथ विभेदक एक-रूप

$\|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,$

कहाँ $\left(a^{ij}\right)$ का व्युत्क्रम मैट्रिक्स है $(a_{ij})$ और आइंस्टीन संकेतन का उपयोग किया जाता है। तब

$F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}$

'एम' पर एक रैंडर्स मीट्रिक को परिभाषित करता है और $(M,F)$ एक रैंडर्स मैनिफोल्ड है, एक गैर-प्रतिवर्ती फिन्सलर मैनिफोल्ड का एक विशेष मामला।