प्रसार समीकरण

प्रसार समीकरण एक परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण है। भौतिकी में, यह एक प्रकार कि गति में कई सूक्ष्म-कणों के मैक्रोस्कोपिक व्यवहार का वर्णन करता है, जिसके परिणामस्वरूप कणों के यादृच्छिक आंदोलनों और टकराव होते हैं (फिक के प्रसार के नियम देखें)। गणित में, यह मार्कोव प्रक्रिया से संबंधित है, जैसे यादृच्छिक चाल , और कई अन्य क्षेत्रों में लागू होता है, जैसे सामग्री विज्ञान, सूचना सिद्धांत और जीव पदाथ-विद्य प्रसार समीकरण संवहन-प्रसार समीकरण का एक विशेष मामला है, जब थोक वेग शून्य होता है। यह कुछ परिस्थितियों में ऊष्मा समीकरण के समतुल्य है।

कथन

समीकरण आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},$

कहाँ ϕ(r, t) स्थान पर फैलने वाली सामग्री का घनत्व है r और समय t और D(ϕ, r) घनत्व के लिए सामूहिक प्रसार गुणांक है ϕ स्थान पर r; और ∇ वेक्टर अंतर ऑपरेटर की का प्रतिनिधित्व करता है। यदि प्रसार गुणांक घनत्व पर निर्भर करता है तो समीकरण अरैखिक होता है, अन्यथा यह रैखिक होता है।

उपरोक्त समीकरण लागू होता है जब प्रसार गुणांक आइसोट्रॉपी होता है; अनिसोट्रोपिक प्रसार के मामले में, D एक सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है, और समीकरण (तीन आयामी प्रसार के लिए) के रूप में लिखा गया है:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]$

अगर D अचर है, तो समीकरण निम्नलिखित रेखीय अवकल समीकरण में परिवर्तित हो जाता है:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),$

जो ऊष्मा समीकरण के समान है।

ऐतिहासिक उत्पत्ति

फ़िक का प्रसार का नियम मूल रूप से 1855 में एडॉल्फ फिक द्वारा प्राप्त किया गया था।

व्युत्पत्ति

प्रसार समीकरण को निरंतरता समीकरण से तुच्छ रूप से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि सिस्टम के किसी भी हिस्से में घनत्व में परिवर्तन सिस्टम के उस हिस्से में सामग्री के प्रवाह और बहिर्वाह के कारण होता है। प्रभावी रूप से, कोई सामग्री निर्मित या नष्ट नहीं होती है:

$${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$$

जहां जे विसरित सामग्री का प्रवाह है। फेनोमेनोलॉजिकल फिक के कानून के साथ संयुक्त होने पर प्रसार समीकरण आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। फिक का पहला कानून, जिसमें कहा गया है कि सिस्टम के किसी भी हिस्से में फैलाने वाली सामग्री का प्रवाह स्थानीय घनत्व ढाल के समानुपाती होता है:

$$\mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).$$

अगर बहाव को ध्यान में रखा जाना चाहिए, फोकर-प्लैंक समीकरण एक उचित सामान्यीकरण प्रदान करता है।

विवेचन

See also: Discrete Gaussian kernel

प्रसार समीकरण अंतरिक्ष और समय दोनों में निरंतर है। कोई स्थान, समय, या स्थान और समय दोनों को अलग कर सकता है, जो अनुप्रयोग में उत्पन्न होता है। अकेले समय का विवेकीकरण केवल निरंतर प्रणाली के समय के स्लाइस से मेल खाता है, और कोई नई घटना उत्पन्न नहीं होती है। अकेले अंतरिक्ष को विसर्जित करने में, ग्रीन का कार्य निरंतर गॉसियन कर्नेल के बजाय असतत गॉसियन कर्नेल बन जाता है। समय और स्थान दोनों का विवेक करते हुए, एक यादृच्छिक चलना प्राप्त करता है।

विवेक (छवि)

उत्पाद नियम का उपयोग मानक विवेकीकरण योजनाओं में अनिसोट्रोपिक टेंसर डिफ्यूजन समीकरण को फिर से लिखने के लिए किया जाता है, क्योंकि केवल पहले क्रम के स्थानिक केंद्रीय अंतर के साथ प्रसार समीकरण के प्रत्यक्ष विवेक से चेकरबोर्ड की कलाकृतियां बन जाती हैं। छवि फ़िल्टरिंग में प्रयुक्त पुनर्लेखित प्रसार समीकरण:

$${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{T}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}$$

जहां tr दूसरे रैंक टेन्सर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है, और सुपरस्क्रिप्ट टी खिसकाना को दर्शाता है, जिसमें इमेज फ़िल्टरिंग में D(ϕ, 'r') इमेज संरचना टेंसर के egenvectors से निर्मित सममित मैट्रिसेस हैं। स्थानिक डेरिवेटिव को तब दो पहले क्रम और दूसरे क्रम के केंद्रीय परिमित अंतरों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। परिणामी प्रसार एल्गोरिथ्म को 2D में 3 × 3 और 3D में 3 × 3 × 3 आकार के भिन्न कर्नेल (स्टैंसिल) के साथ एक छवि कनवल्शन के रूप में लिखा जा सकता है।

यह भी देखें

• सातत्य समीकरण
• ऊष्मा समीकरण
• फोकर-प्लैंक समीकरण
• फिक के प्रसार के नियम
• मैक्सवेल-स्टीफन समीकरण
• जैविक ऊतक में फोटॉन परिवहन के लिए विकिरण अंतरण समीकरण और प्रसार सिद्धांत
• सुव्यवस्थित प्रसार
• संवहन-प्रसार समीकरण का संख्यात्मक समाधान

अग्रिम पठन

• Carslaw, H. S. and Jaeger, J. C. (1959). Conduction of Heat in Solids. Oxford: Clarendon Press
• Crank, J. (1956). The Mathematics of Diffusion. Oxford: Clarendon Press
• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
• Thambynayagam, R. K. M (2011). The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. McGraw-Hill

बाहरी संबंध

• Diffusion Calculator for Impurities & Dopants in Silicon Archived 2009-05-02 at the Wayback Machine
• A tutorial on the theory behind and solution of the Diffusion Equation.
• Classical and nanoscale diffusion (with figures and animations)