फलन क्षेत्र (योजना सिद्धांत)

योजना के तर्कसंगत कार्यों का K_X शीफ (गणित) X मौलिक बीजगणितीय ज्यामिति में बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र की धारणा के योजना सिद्धांत का सामान्यीकरण है। विविधताओं की स्थितियों में, इस प्रकार का पुलिंदा प्रत्येक विवृत समुच्चय U को उस विवृत समुच्चय पर सभी तर्कसंगत कार्य के रिंग (गणित) से जोड़ता है, दूसरे शब्दों में, K_X(U), U पर नियमित कार्यों के अंशों का समुच्चय है। इसके नाम के अतिरिक्त, K_X सामान्य योजना X के लिए सदैव कोई क्षेत्र (गणित) नहीं देता है।

साधारण स्थितियां

सरलतम स्थितियों में, K_X की परिभाषा सीधी है। यदि X (अलघुकरणीय) संबद्ध बीजगणितीय विविधता है और यदि U, X का विवृत उपसमुच्चय है, तो K_X(U), U पर नियमित कार्यों की अंगूठी के अंशों का क्षेत्र होगा। चूंकि X संबद्ध है, U पर नियमित कार्यों की अंगूठी X के वैश्विक वर्गों का स्थानीयकरण होगा और इसके परिणामस्वरूप K_X निरंतर शीफ होगा जिसका मान X के वैश्विक खंडों का अंश क्षेत्र है।

यदि X अभिन्न की शब्दावली है, किन्तु संबद्ध नहीं है, तो कोई भी गैर-खाली संबद्ध विवृत समुच्चय X में घना समुच्चय होगा। इसका अर्थ है कि U के बाहर कुछ भी रोचक करने के लिए नियमित कार्य के लिए पर्याप्त जगह नहीं है और इसके परिणामस्वरूप U पर तर्कसंगत कार्यों का व्यवहार X पर तर्कसंगत कार्यों के व्यवहार को निर्धारित करना चाहिए। वास्तव में, किसी भी विवृत समुच्चय पर नियमित कार्यों के छल्ले के अंश क्षेत्र समान होंगे, इसलिए हम परिभाषित करते हैं, किसी भी यू, के के लिए_X(U) X के किसी भी ओपन एफाइन सबसेट पर नियमित कार्यों के किसी भी रिंग का सामान्य अंश क्षेत्र होना। वैकल्पिक रूप से, इस स्थितियों में फ़ंक्शन क्षेत्र को सामान्य बिंदु के स्थानीय रिंग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

सामान्य मामला

समस्या तब शुरू होती है जब X अभिन्न नहीं रह जाता है। फिर नियमित कार्यों की अंगूठी में शून्य विभाजक होना संभव है, और परिणामस्वरूप अंश क्षेत्र मौजूद नहीं है। भोली समाधान अंश क्षेत्र को कुल भागफल वलय द्वारा प्रतिस्थापित करना है, अर्थात प्रत्येक तत्व को उलटना है जो शून्य भाजक नहीं है। दुर्भाग्य से, सामान्य तौर पर, कुल भागफल वलय शीफ की तुलना में प्रीशेफ का उत्पादन नहीं करता है। ग्रंथ सूची में सूचीबद्ध क्लेमन का प्रसिद्ध लेख ऐसा उदाहरण देता है।

सही समाधान इस प्रकार आगे बढ़ना है:

प्रत्येक विवृत समुच्चय U के लिए, मान लीजिए S_UΓ(यू, ओ.) में सभी तत्वों का समुच्चय हो_X) जो किसी डंठल O में शून्य विभाजक नहीं हैं_X,x. चलो K_X^pre presheaf हो जिसके U पर खंड रिंग S का स्थानीयकरण हैं_U⁻¹Γ(यू, ओ_X) और जिनके प्रतिबंध मानचित्र O के प्रतिबंध मानचित्रों से प्रेरित हैं_Xस्थानीयकरण की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा। तब K_X प्रीशेफ K से संबंधित पूला है_X^प्री.

आगे के मुद्दे

बार K_X परिभाषित है, तो X के गुणों का अध्ययन करना संभव है जो केवल K पर निर्भर करते हैं_X. यह द्विभाजित ज्यामिति का विषय है।

यदि X क्षेत्र k पर बीजगणितीय विविधता है, तो प्रत्येक विवृत समुच्चय U पर हमारे पास क्षेत्र एक्सटेंशन K है_X(U) के के। U का आयाम इस क्षेत्र विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री के बराबर होगा। कश्मीर के सभी परिमित पारगमन डिग्री क्षेत्र विस्तार कुछ प्रकार के तर्कसंगत कार्य क्षेत्र के अनुरूप हैं।

बीजगणितीय वक्र C के विशेष स्थितियों में, अर्थात, आयाम 1, यह अनुसरण करता है कि C पर कोई भी दो गैर-निरंतर कार्य F और G बहुपद समीकरण P(F, G) = 0 को संतुष्ट करते हैं।

ग्रन्थसूची

• Kleiman, S., "Misconceptions about K_X", Enseign. Math. 25 (1979), 203–206, available at https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1979:25::101