सार अवकल समीकरण

गणित में, एक सार अंतर समीकरण एक अंतर समीकरण है जिसमें अज्ञात फ़ंक्शन (गणित) और इसके डेरिवेटिव कुछ सामान्य अमूर्त स्थान (एक हिल्बर्ट स्पेस, एक बानाच स्पेस, आदि) में मान लेते हैं। इस तरह के समीकरण उत्पन्न होते हैं उदा। आंशिक अवकल समीकरणों के अध्ययन में: यदि किसी एक चर को विशेषाधिकार प्राप्त स्थिति दी जाती है (उदाहरण के लिए, ऊष्मा समीकरण या तरंग समीकरण समीकरणों में) और अन्य सभी को एक साथ रखा जाता है, तो चर के संबंध में एक साधारण अंतर समीकरण जो था प्रमाण में प्राप्त होता है। कुछ सुविधाजनक फ़ंक्शन रिक्त स्थान में समाधान पर विचार करने के संदर्भ में सीमा शर्तों को जोड़ना अक्सर अनुवादित किया जा सकता है।

शास्त्रीय सार अंतर समीकरण जो सबसे अधिक बार सामना किया जाता है वह समीकरण है :${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f$ जहां अज्ञात समारोह $u=u(t)$ कुछ समारोह स्थान के अंतर्गत आता है $X$, $0\leq t\leq T\leq \infty$ और $A:X\to X$ इस स्थान पर कार्यरत एक ऑपरेटर (गणित) (आमतौर पर एक रैखिक ऑपरेटर) है। सजातीय का एक संपूर्ण उपचार ($f=0$) स्थिर ऑपरेटर वाला मामला C0-semigroup|C के सिद्धांत द्वारा दिया गया है₀-अर्धसमूह। बहुत बार, इस समीकरण के अध्ययन के लिए अन्य अमूर्त अंतर समीकरणों के अध्ययन (उदाहरण के लिए पहले क्रम के समीकरणों के एक सेट में कमी)।

एब्स्ट्रैक्ट डिफरेंशियल इक्वेशन के सिद्धांत की स्थापना एइनर हिले ने कई पेपर्स और अपनी किताब फंक्शनल एनालिसिस एंड सेमी-ग्रुप्स में की है। अन्य मुख्य योगदानकर्ता थे कोसाकु योसिदा, राल्फ एस. फिलिप्स, इसाओ मियादेरा, और सेलिम ग्रिगोरिविच क्रेन।

सार कॉची समस्या

परिभाषा

होने देना $A$ और $B$ डोमेन के साथ दो रैखिक ऑपरेटर बनें $D(A)$ और $D(B)$, बनच अंतरिक्ष में अभिनय $X$. एक समारोह $u(t):[0,T]\to X$ कहा जाता है कि बिंदु पर मजबूत व्युत्पन्न (या फ्रीचेट व्युत्पन्न या बस अलग-अलग) होना चाहिए $t_{0}$ अगर कोई तत्व मौजूद है $y\in X$ ऐसा है कि

$\lim _{h\to 0}\left\|{\frac {u(t_{0}+h)-u(t_{0})}{h}}-y\right\|=0$

और इसका व्युत्पन्न है $u'(t_{0})=y$.

समीकरण का हल

$B{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au$

एक कार्य है $u(t):[0,\infty )\to D(A)\cap D(B)$ ऐसा है कि:

• $(Bu)(t)\in C([0,\infty );X),$
• मजबूत व्युत्पन्न $u'(t)$ मौजूद $\forall t\in [0,\infty )$ और $u'(t)\in D(B)$ ऐसे किसी के लिए $t$, और
• पिछली समानता रखती है $\forall t\in [0,\infty )$.

कॉची समस्या में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले समीकरण का हल खोजना शामिल है $u(0)=u_{0}\in D(A)\cap D(B)$.

अच्छी मुद्रा

जैक्स हैडमार्ड द्वारा अच्छी तरह से प्रस्तुत समस्या की परिभाषा के अनुसार, कॉची समस्या को अच्छी तरह से प्रस्तुत (या सही) कहा जाता है $[0,\infty )$ अगर:

• किसी के लिए $u_{0}\in D(A)\cap D(B)$ इसका एक अनूठा समाधान है, और
• यह समाधान प्रारंभिक डेटा पर इस अर्थ में निरंतर निर्भर करता है कि यदि $u_{n}(0)\to 0$ ($u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)$), तब $u_{n}(t)\to 0$ प्रत्येक पर संबंधित समाधान के लिए $t\in [0,\infty ).$

एक अच्छी तरह से पेश की गई कॉची समस्या को समान रूप से अच्छी तरह से पेश किया गया कहा जाता है $u_{n}(0)\to 0$ तात्पर्य $u_{n}(t)\to 0$ समान रूप से $t$ प्रत्येक परिमित अंतराल पर $[0,T]$.

कॉची समस्या से जुड़े ऑपरेटरों का अर्धसमूह

एक सार कॉची समस्या के लिए ऑपरेटरों के एक सेमिग्रुप को जोड़ा जा सकता है $U(t)$, यानी एक पैरामीटर के आधार पर परिबद्ध संचालिका का परिवार $t$ ($0<t<\infty$) ऐसा है कि

$U(t_{1}+t_{2})=U(t_{1})U(t_{2})\quad (0<t_{1},t_{2}<\infty ).$

ऑपरेटर पर विचार करें $U(t)$ जो तत्व को असाइन करता है $u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)$ समाधान का मूल्य $u(t)$ कॉची समस्या ($u(0)=u_{0}$) समय के क्षण में $t>0$. यदि कॉची समस्या अच्छी तरह से उत्पन्न होती है, तो संकारक $U(t)$ पर परिभाषित किया गया है $D(A)\cap D(B)$ और एक अर्धसमूह बनाता है।

इसके अतिरिक्त, अगर $D(A)\cap D(B)$ सघन रूप से स्थापित है $X$, परिचालक $U(t)$ संपूर्ण स्थान पर परिभाषित परिबद्ध रैखिक संचालिका तक विस्तारित किया जा सकता है $X$. ऐसे में कोई किसी से भी जुड़ सकता है $x_{0}\in X$ कार्यक्रम $U(t)x_{0}$, किसी के लिए $t>0$. इस तरह के एक समारोह को कॉची समस्या का सामान्यीकृत समाधान कहा जाता है।

अगर $D(A)\cap D(B)$ में घना है $X$ और कॉची समस्या समान रूप से अच्छी तरह से सामने आई है, फिर संबद्ध अर्धसमूह $U(t)$ C0-सेमीग्रुप है|C₀-अर्धसमूह में $X$.

इसके विपरीत यदि $A$ C का C0-सेमीग्रुप#इनफिनिटिमल जेनरेटर है₀-अर्धसमूह $U(t)$, फिर कॉची समस्या

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au\quad u(0)=u_{0}\in D(A)$

समान रूप से अच्छी तरह से प्रस्तुत किया गया है और इसके द्वारा समाधान दिया गया है

$u(t)=U(t)u_{0}.$

विषम समस्या

कॉची समस्या

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A)$

साथ $f:[0,\infty )\to X$, जब विषम कहा जाता है $f(t)\neq 0$. निम्नलिखित प्रमेय समाधान के अस्तित्व के लिए कुछ पर्याप्त शर्तें देता है:

प्रमेय। अगर $A$ C का एक अपरिमेय जनक है₀-अर्धसमूह $T(t)$ और $f$ निरंतर अवकलनीय है, तो फलन

$u(t)=T(t)u_{0}+\int _{0}^{t}T(t-s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0$

(अमूर्त) असमांगी कॉची समस्या का अनूठा समाधान है।

दाईं ओर का समाकल बोचनर समाकल के रूप में अभिप्रेत है।

समय पर निर्भर समस्या

समस्या प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान खोजने के लिए

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A),$

जहां अज्ञात एक कार्य है $u:[0,T]\to X$, $f:[0,T]\to X$ दिया जाता है और प्रत्येक के लिए $t\in [0,T]$, $A(t)$ एक दिया हुआ, बंद संकारक, रैखिक संकारक है $X$ डोमेन के साथ $D[A(t)]=D$, स्वतंत्र $t$ और घना है $X$, समय पर निर्भर कौशी समस्या कहलाती है।

एक ऑपरेटर मूल्यवान फ़ंक्शन $U(t,\tau )$ मूल्यों के साथ $B(X)$ (से सभी बाउंडेड ऑपरेटर का स्थान $X$ को $X$), परिभाषित और दृढ़ता से संयुक्त रूप से निरंतर $t,\tau$ के लिए $0\leq \tau \leq t\leq T$, को समय-निर्भर समस्या का मूलभूत समाधान कहा जाता है यदि:

• आंशिक व्युत्पन्न ${\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}$ के मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी में मौजूद है $X$, से संबंधित $B(X)$ के लिए $0\leq \tau \leq t\leq T$, और दृढ़ता से निरंतर है $t$ के लिए $0\leq \tau \leq t\leq T$;
• की सीमा $U(t,\tau )$ में है $D$;
• ${\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}+A(t)U(t,\tau )=0,\quad 0\leq \tau \leq t\leq T,$ और
• $U(\tau ,\tau )=I$.

$U(\tau ,\tau )$ इसे इवोल्यूशन ऑपरेटर, प्रोपेगेटर, सॉल्यूशन ऑपरेटर या ग्रीन का कार्य भी कहा जाता है।

एक समारोह $u:[0,T]\to X$ समय-निर्भर समस्या का हल्का समाधान कहा जाता है यदि यह अभिन्न प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है

$u(t)=U(t,0)u_{0}+\int _{0}^{t}U(t,s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0.$

विकास संचालक के अस्तित्व के लिए विभिन्न ज्ञात पर्याप्त शर्तें हैं $U(t,\tau )$. व्यावहारिक रूप से साहित्य में सभी मामलों पर विचार किया जाता है $-A(t)$ C का अत्यल्प जनक माना जाता है₀-सेमीग्रुप ऑन $X$. मोटे तौर पर बोल रहा हूँ, अगर $-A(t)$ अर्धसंकुचन अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म जनक है, समीकरण को अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकार का कहा जाता है; अगर $-A(t)$ एक विश्लेषणात्मक अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म जनरेटर है, समीकरण को परवलयिक प्रकार का कहा जाता है।

गैर रेखीय समस्या

समस्याया तो समाधान खोजने के लिए

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad u(0)=u_{0}\in X$

कहाँ $f:[0,T]\times X\to X$ दिया जाता है, या

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u\quad u(0)=u_{0}\in D(A)$

कहाँ $A$ डोमेन के साथ एक नॉनलाइनियर ऑपरेटर है $D(A)\in X$, अरैखिक कौशी समस्या कहलाती है।

यह भी देखें

• कॉची समस्या
• C0-सेमीग्रुप