औपचारिक योजना

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, एक औपचारिक योजना एक प्रकार का स्थान है जिसमें इसके परिवेश के बारे में डेटा शामिल होता है। एक सामान्य योजना (गणित) के विपरीत, एक औपचारिक योजना में अतिसूक्ष्म डेटा शामिल होता है, जो वास्तव में, योजना की दिशा में इंगित करता है। इस कारण से, विरूपण सिद्धांत जैसे विषयों में औपचारिक योजनाएँ अक्सर दिखाई देती हैं। लेकिन अवधारणा का उपयोग एक प्रमेय को सिद्ध करने के लिए भी किया जाता है जैसे कि औपचारिक कार्यों पर प्रमेय, जिसका उपयोग सामान्य योजनाओं के लिए ब्याज के प्रमेयों को निकालने के लिए किया जाता है।

एक स्थानीय रूप से नोएथेरियन योजना विहित तरीके से एक स्थानीय रूप से नोएथेरियन औपचारिक योजना है: स्वयं के साथ औपचारिक समापन। दूसरे शब्दों में, स्थानीय रूप से नोथेरियन औपचारिक योजनाओं की श्रेणी में सभी स्थानीय रूप से नोथेरियन योजनाएं शामिल हैं।

औपचारिक योजनाएँ ज़ारिस्की के औपचारिक होलोमॉर्फिक कार्यों के सिद्धांत से प्रेरित और सामान्य थीं।

औपचारिक योजनाओं पर आधारित बीजगणितीय ज्यामिति को औपचारिक बीजगणितीय ज्यामिति कहा जाता है।

परिभाषा

औपचारिक योजनाओं को आमतौर पर केवल नोथेरियन योजना मामले में ही परिभाषित किया जाता है। जबकि गैर-नोथेरियन औपचारिक योजनाओं की कई परिभाषाएँ हैं, ये तकनीकी समस्याओं का सामना करती हैं। नतीजतन, हम केवल स्थानीय रूप से नोएथेरियन औपचारिक योजनाओं को परिभाषित करेंगे।

सभी रिंगों को क्रमविनिमेय अंगूठी और एकात्मक अंगूठी के साथ माना जाएगा। मान लीजिए A एक (नोथेरियन) टोपोलॉजिकल रिंग है, यानी एक रिंग A जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जैसे कि जोड़ और गुणा के संचालन निरंतर होते हैं। A 'रैखिक टोपोलॉजी' है यदि शून्य का आधार (टोपोलॉजी) है जिसमें आदर्श (रिंग थ्योरी) शामिल हैं। एक 'परिभाषा का आदर्श' ${\mathcal {J}}$ रैखिक रूप से टोपोलॉजीज रिंग के लिए एक खुला आदर्श है जैसे कि 0 के प्रत्येक खुले पड़ोस वी के लिए, एक सकारात्मक पूर्णांक एन मौजूद है जैसे कि ${\mathcal {J}}^{n}\subseteq V$. यदि यह परिभाषा के एक आदर्श को स्वीकार करता है, तो एक रैखिक रूप से टोपोलॉजीज्ड रिंग पूर्वाभास योग्य है, और यह स्वीकार्य है यदि यह पूर्णता (रिंग थ्योरी) भी है। (निकोलस बोरबाकी की शब्दावली में, यह पूर्ण और अलग है।)

मान लें कि 'ए' स्वीकार्य है, और चलो ${\mathcal {J}}$ परिभाषा के आदर्श बनें। एक प्रमुख आदर्श खुला है अगर और केवल अगर इसमें शामिल है ${\mathcal {J}}$. ए के खुले प्राइम आदर्शों का सेट, या समतुल्य रूप से प्रमुख आदर्शों का सेट $A/{\mathcal {J}}$, 'ए' के ​​औपचारिक स्पेक्ट्रम का अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस है, जिसे एसपीएफ़ 'ए' कहा जाता है। Spf A में एक स्ट्रक्चर शीफ होता है जिसे रिंग के स्पेक्ट्रम के स्ट्रक्चर शीफ का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। होने देना ${\mathcal {J}}_{\lambda }$ परिभाषा के आदर्शों से युक्त शून्य के लिए पड़ोस का आधार बनें। का सारा स्पेक्ट्रा $A/{\mathcal {J}}_{\lambda }$ एक ही अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस है लेकिन एक अलग संरचना शीफ ​​है। Spf A का स्ट्रक्चर शीफ प्रोजेक्टिव लिमिट है $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$.

यह दिखाया जा सकता है कि यदि f ∈ A और D_f A की सभी मुक्त अभाज्य गुणजावली का समुच्चय है, जिसमें f नहीं है, तब ${\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}$, कहाँ ${\widehat {A_{f}}}$ एक रिंग ए के स्थानीयकरण का पूरा होना है_f.

अंत में, एक स्थानीय रूप से नोथेरियन औपचारिक योजना एक सांस्थितिक रूप से चक्राकार स्थान है $({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ (अर्थात, एक वलयाकार स्थान जिसका छल्लों का शीफ ​​टोपोलॉजिकल रिंगों का एक शीफ है) ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु ${\mathfrak {X}}$ एक नोथेरियन रिंग के औपचारिक स्पेक्ट्रम के लिए एक खुले पड़ोस आइसोमॉर्फिक (टोपोलॉजिकल रूप से रिंग वाले स्थान) को स्वीकार करता है।

औपचारिक योजनाओं के बीच मोर्फिज़्म

एक रूपवाद $f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}$ स्थानीय रूप से नोएथेरियन औपचारिक योजनाएँ स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों जैसे कि प्रेरित मानचित्र के रूप में उनमें से एक रूपवाद है $f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ किसी भी खुले खुले सबसेट यू के लिए टोपोलॉजिकल रिंग्स का एक निरंतर समरूपता है।

f को एडिक या कहा जाता है${\mathfrak {X}}$ एक है ${\mathfrak {Y}}$-एडिक फॉर्मल स्कीम अगर परिभाषा का कोई आदर्श मौजूद है ${\mathcal {I}}$ ऐसा है कि $f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ परिभाषा का एक आदर्श है ${\mathfrak {X}}$. यदि f adic है, तो यह गुण किसी भी परिभाषा गुणजावली के लिए लागू होता है।

उदाहरण

किसी भी आदर्श I और रिंग A के लिए हम I-adic टोपोलॉजी को A पर परिभाषित कर सकते हैं, इसके आधार पर a + I के सेट से मिलकर परिभाषित किया गया है।^एन. यह पूर्वानुमेय है, और स्वीकार्य है यदि A I-विशेष रूप से पूर्ण है। इस मामले में Spf A टोपोलॉजिकल स्पेस स्पेक A/I है जिसमें रिंग्स का शीफ ​​है ${\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}$ के बजाय ${\widetilde {A/I}}$.

1. A=kt और I=(t). फिर A/I=k तो स्पेस Spf A एक सिंगल पॉइंट (t) जिस पर इसकी संरचना शीफ ​​kt का मान लेती है। इसकी तुलना स्पेक ए/आई से करें, जिसकी संरचना शीफ ​​इस बिंदु पर मान k लेती है: यह इस विचार का एक उदाहरण है कि Spf A I के बारे में A का 'औपचारिक मोटा होना' है।
2. एक बंद उपयोजना का औपचारिक समापन। आदर्श I=(y²-x³). ध्यान दें कि ए₀=k[x,y] I-adically पूर्ण नहीं है; इसके I-adic पूर्णता के लिए A लिखें। इस मामले में, Spf A = X रिक्त स्थान के रूप में और इसकी संरचना शीफ ​​है $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$. इसके वैश्विक खंड A हैं, X के विपरीत जिनके वैश्विक खंड A/I हैं।

यह भी देखें

• औपचारिक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन
• विरूपण सिद्धांत
• श्लेसिंगर प्रमेय

संदर्भ

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.

बाहरी संबंध

• formal completion