औपचारिक योजना

गणित में विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, औपचारिक योजना एक प्रकार का समष्टि है जिसमें इसके परिवेश के विषय में आँकड़ा सम्मिलित होता है। एक सामान्य योजना (गणित) के विपरीत औपचारिक योजना में अतिसूक्ष्म आँकड़ा सम्मिलित होता है जो वास्तव में, योजना की दिशा में इंगित करता है। इस कारण से विरूपण सिद्धांत जैसे विषयों में औपचारिक योजनाएँ प्रायः प्रदर्शित होती हैं। लेकिन इस अवधारणा का उपयोग एक प्रमेय को सिद्ध करने के लिए भी किया जाता है जैसे कि औपचारिक फलन पर प्रमेय, इसका उपयोग सामान्य योजनाओं के लिए ब्याज के प्रमेयों को निकालने के लिए किया जाता है।

स्थानीय रूप से नोथेरियन योजना एक स्थानीय नोएथेरियन औपचारिक योजना है जो विहित प्रकार से औपचारिक पूर्णता के साथ है। दूसरे शब्दों में, स्थानीय नोथेरियन औपचारिक योजनाओं की श्रेणी में सभी स्थानीय नोथेरियन योजनाएं सम्मिलित होती हैं।

औपचारिक योजनाएँ ज़ारिस्की के औपचारिक होलोमॉर्फिक फलन के सिद्धांत से प्रेरित और सामान्य है।

औपचारिक योजनाओं पर आधारित बीजगणितीय ज्यामिति को औपचारिक बीजगणितीय ज्यामिति कहा जाता है।

परिभाषा

औपचारिक योजनाओं को सामान्यतः केवल नोथेरियन योजना की स्थिति में ही परिभाषित किया जाता है जबकि गैर-नोथेरियन औपचारिक योजनाओं की कई परिभाषाएँ हैं। ये तकनीकी समस्याओं का सामना करती हैं जिसके परिणाम स्वरूप हम केवल स्थानीय रूप से नोएथेरियन औपचारिक योजनाओं को परिभाषित कर सकते है।

सभी छल्लों को क्रमविनिमेय और इकाई के साथ माना जाएगा। मान लीजिए A एक (नोथेरियन) टोपोलॉजिकल रिंग है, यानी एक रिंग A जो एक टोपोलॉजिकल समष्टि है जैसे कि जोड़ और गुणा के संचालन निरंतर होते हैं। यदि शून्य में आदर्शों का आधार है, तो A रैखिक रूप से स्थलाकृतिक है। परिभाषा का एक आदर्श ${\mathcal {J}}$ एक रैखिक रूप से टोपोलॉजीज रिंग के लिए एक खुला आदर्श है जैसे कि 0 के प्रत्येक खुले पड़ोस V के लिए, एक सकारात्मक पूर्णांक n सम्मिलित है जैसे कि ${\mathcal {J}}^{n}\subseteq V$ उपसमुच्चय वी। एक रैखिक रूप से स्थलाकृतिक अंगूठी स्वीकार्य है यदि यह परिभाषा के आदर्श को स्वीकार करती है, और यह स्वीकार्य है यदि यह पूर्ण भी है। (निकोलस बोरबाकी की शब्दावली में, यह "पूर्ण और पृथक" है।)

मान लें कि ए स्वीकार्य है, और ${\mathcal {J}}$ परिभाषा का एक आदर्श होने दें। एक अभाज्य गुणजावली तभी खुली होती है यदि और केवल यदि उसमें ${\mathcal {J}}$ समाविष्ट हो। ए के खुले प्रमुख आदर्शों का समुच्चय, या समतुल्य रूप से $A/{\mathcal {J}}$ के प्रमुख आदर्शों का समुच्चय, ए के औपचारिक स्पेक्ट्रम का अंतर्निहित स्थलीय समष्टि है, जिसे एसपीएफ़ ए निरूपित किया गया है। एसपीएफ़ A में एक संरचना शीफ ​​है जिसे परिभाषित किया गया है एक अंगूठी के स्पेक्ट्रम की संरचना शीफ ​​का उपयोग करना। चलो ${\mathcal {J}}_{\lambda }$ परिभाषा के आदर्शों से मिलकर शून्य के लिए पड़ोस का आधार बनें। $A/{\mathcal {J}}_{\lambda }$ के सभी स्पेक्ट्रा में एक ही अंतर्निहित टोपोलॉजिकल समष्टि है लेकिन एक अलग संरचना शीफ ​​है। Spf A का संरचना शीफ ​​प्रक्षेपी $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ है।

यह दिखाया जा सकता है कि यदि f ∈ A और D_f A के सभी खुले अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है जिसमें f नहीं है, तो ${\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}$ जहां ${\widehat {A_{f}}}$ स्थानीयकरण Af का पूरा होना है।

अंत में, स्थानीय रूप से नोथेरियन औपचारिक योजना एक सांस्थितिक रूप से चक्राकार समष्टि है $({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ (अर्थात, एक चक्राकार समष्टि जिसका शीफ ऑफ रिंग्स टोपोलॉजिकल रिंग्स का एक शीफ है) जैसे कि ${\mathfrak {X}}$ का प्रत्येक बिंदु एक खुले पड़ोस आइसोमॉर्फिक (टोपोलॉजिकल रूप से रिंग्ड समष्टि के रूप में) को नोथेरियन रिंग के औपचारिक स्पेक्ट्रम में स्वीकार करता है।

औपचारिक योजनाओं के बीच मोर्फिज़्म

स्थानीय रूप से नोथेरियन औपचारिक योजनाओं का एक आकारिकी $f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}$ स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों के रूप में उनका एक रूपवाद है जैसे कि प्रेरित मानचित्र $f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ किसी भी खुले उपसमुच्चय U के लिए टोपोलॉजिकल रिंग्स का एक निरंतर समरूपता है।

f को ${\mathfrak {X}}$ कहा जाता है या ${\mathfrak {Y}}$ औपचारिक योजना है यदि परिभाषा का एक आदर्श सम्मिलित है ${\mathcal {I}}$ ऐसा है कि $f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ के लिए परिभाषा का आदर्श है। ${\mathfrak {X}}$ यदि f adic है, तो यह गुण किसी भी परिभाषा गुणजावली के लिए लागू होता है।

उदाहरण

किसी भी आदर्श I और रिंग A के लिए हम I-adic टोपोलॉजी को A पर परिभाषित कर सकते हैं, इसके आधार पर परिभाषित किया गया है जिसमें a + In के समुच्चय सम्मिलित हैं। यह पूर्वानुमेय है, और स्वीकार्य है यदि A I-विशेष रूप से पूर्ण है। इस स्थिति में Spf A टोपोलॉजिकल समष्टि स्पेक A/I है जिसमें रिंग्स का शीफ ${\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}$ के अतिरिक्त ${\widetilde {A/I}}$

1. ए = के टी और मैं = (टी)। फिर ए/आई = के इसलिए अंतरिक्ष एसपीएफ़ ए एक बिंदु (टी) जिस पर इसकी संरचना शीफ ​​मान के टी लेती है। इसकी तुलना स्पेक ए/आई से करें, जिसकी संरचना शीफ ​​इस बिंदु पर मान k लेती है: यह इस विचार का एक उदाहरण है कि Spf A I के बारे में A का 'औपचारिक मोटा होना' है।
2. एक बंद उपयोजना का औपचारिक समापन। आदर्श I=(y2-x3). ध्यान दें कि A0=k[x,y] I-adically पूर्ण नहीं है; इसके I-adic पूर्णता के लिए A लिखें। इस स्थिति में, एसपीएफ़ ए = एक्स रिक्त समष्टि के रूप में और इसकी संरचना शीफ ​​$\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ है। इसके वैश्विक खंड A हैं, X के विपरीत जिनके वैश्विक खंड A/I हैं।

यह भी देखें

• औपचारिक होलोमॉर्फिक फलन
• विरूपण सिद्धांत
• श्लेसिंगर प्रमेय

संदर्भ

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.

बाहरी संबंध

• formal completion