निस्नेविच टोपोलॉजी

बीजगणितीय ज्यामिति में, निस्नेविच टोपोलॉजी, जिसे कभी-कभी पूरी तरह से विघटित टोपोलॉजी कहा जाता है, योजना (गणित) की श्रेणी पर एक ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी है जिसका उपयोग बीजगणितीय के-सिद्धांत, ए¹ होमोटोपी सिद्धांत और मकसद के सिद्धांत (बीजगणितीय ज्यामिति) में किया गया है। )एस। यह मूल रूप से येवेसी निस्नेविच द्वारा पेश किया गया था, जो एडेल रिंग के सिद्धांत से प्रेरित था।

परिभाषा

योजनाओं का एक रूपवाद $f:Y\to X$ एक Nisnevich morphism कहा जाता है अगर यह एक étale morphism है जैसे कि प्रत्येक (संभवतः गैर-बंद) बिंदु x ∈ X के लिए, एक बिंदु y ∈ Y मौजूद है फाइबर f⁻¹(x) जैसे कि अवशेष क्षेत्रों का प्रेरित मानचित्र k(x) → k(y) एक समरूपता है। समतुल्य रूप से, f समतल, असम्बद्ध, स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति वाला होना चाहिए, और प्रत्येक बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर में एक बिंदु y मौजूद होना चाहिए f⁻¹(x) ऐसा है कि k(x) → k(y) एक तुल्याकारिता है।

आकारिकी का एक परिवार {यू_α : एक्स_α → X} एक 'निस्नेविच कवर' है यदि परिवार में प्रत्येक रूपवाद étale है और प्रत्येक (संभवतः गैर-बंद) बिंदु x ∈ X के लिए, α और एक बिंदु y ∈ X मौजूद है_α अनुसूचित जनजाति। यू_α(y) = x और अवशेष क्षेत्रों का प्रेरित मानचित्र k(x) → k(y) एक समरूपता है। यदि परिवार परिमित है, तो यह आकृतिवाद के समतुल्य है $\coprod u_{\alpha }$ से $\coprod X_{\alpha }$ X को एक Nisneevich morphism होने के नाते। Nisnevich कवर योजनाओं की श्रेणी और योजनाओं के morphisms पर एक प्रीटोपोलॉजी के कवरिंग परिवार हैं। यह 'निस्नेविच टोपोलॉजी' नामक एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। Nisneevich टोपोलॉजी वाली योजनाओं की श्रेणी को Nis नोट किया गया है।

'एक्स' की 'छोटी निस्नेविच साइट' की अंतर्निहित श्रेणी छोटी ईटेल साइट के समान है, जिसका कहना है कि वस्तुएं एक निश्चित ईटेल मोर्फिज्म यू → एक्स के साथ योजनाएं यू हैं और मॉर्फिज्म फिक्स्ड के साथ संगत योजनाओं के रूप हैं। एक्स के नक्शे। स्वीकार्य कवरिंग Nisnevich morphisms हैं।

'एक्स' की 'बिग निस्नेविच साइट' में एक्स के लिए एक निश्चित मानचित्र के साथ अंतर्निहित श्रेणी की योजनाएँ हैं और एक्स-स्कीमों के आकारिकी हैं। टोपोलॉजी निस्नेविच आकारिकी द्वारा दी गई है।

निस्नेविच टोपोलॉजी के कई रूप हैं जो एकवचन किस्मों का अध्ययन करने के लिए अनुकूलित हैं। इन टोपोलॉजी में कवर में विलक्षणताओं का समाधान या संकल्प के कमजोर रूप शामिल हैं।

• 'सीडीएच टोपोलॉजी' कवरिंग के रूप में उचित द्विवार्षिक आकारिकी की अनुमति देता है।
• 'एच टोपोलॉजी' डी जोंग के परिवर्तन को कवरिंग के रूप में अनुमति देता है।
• 'एल' टोपोलॉजी' गैबर के स्थानीय एकरूपता प्रमेय के निष्कर्ष के रूप में आकारिकी की अनुमति देता है।

सीडीएच और एल' टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी के साथ अतुलनीय हैं, और एच टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी से बेहतर है।

=== निस्नेविच कवर === के लिए समतुल्य शर्तें मान लें कि श्रेणी में एक qcqs (अर्ध-कॉम्पैक्ट और अर्ध-पृथक) योजना पर चिकनी योजनाएं शामिल हैं, तो निस्नेविच के कारण मूल परिभाषा^{टिप्पणी 3.39}, जो आकारिकी के परिवार के लिए ऊपर दी गई परिभाषा के समतुल्य है $\{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}$ एक Nisneevich कवर करने के लिए योजनाओं की अगर है

1. प्रत्येक $p_{\alpha }$ ईटेल है; और
2. सभी क्षेत्रों के लिए $k$, के स्तर पर $k$-पॉइंट्स, (सेट-सैद्धांतिक) सह-उत्पाद $p_{k}:\coprod _{\alpha }U_{\alpha }(k)\to X(k)$ सभी कवरिंग मोर्फिज्म के $p_{\alpha }$ विशेषण है।

Nisneevich कवर के लिए निम्नलिखित अभी तक एक और समान स्थिति Lurie के कारण है: Nisnevich टोपोलॉजी étale morphisms के सभी परिमित परिवारों द्वारा उत्पन्न होती है जैसे कि सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत बंद उप-योजनाओं का एक परिमित अनुक्रम होता है

$\varnothing \subseteq Z_{n}\subseteq Z_{n-1}\subseteq \cdots \subseteq Z_{1}\subseteq Z_{0}=X$

ऐसा कि के लिए $0\leq m\leq n-1$, <ब्लॉककोट>$\coprod _{\alpha \in A}p_{\alpha }^{-1}(Z_{m}-Z_{m-1})\to Z_{m}-Z_{m-1}$एक अनुभाग को स्वीकार करता है।

ध्यान दें कि इन morphisms का मूल्यांकन करते समय $S$-अंक, इसका अर्थ है कि मानचित्र एक अनुमान है। इसके विपरीत, तुच्छ अनुक्रम लेना $Z_{0}=X$ विपरीत दिशा में परिणाम देता है।

प्रेरणा

प्रमुख प्रेरणाओं में से एक Motivic cohomology में Nisnevich टोपोलॉजी को शुरू करने के लिए तथ्य यह है कि एक Zariski ओपन कवर है $\pi :U\to X$ ज़ारिस्की शीशों का संकल्प नहीं मिलता है<ब्लॉककोट>$\cdots \to \mathbf {Z} _{tr}(U\times _{X}U)\to \mathbf {Z} _{tr}(U)\to \mathbf {Z} _{tr}(X)\to 0$कहाँ

$\mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={\text{Hom}}_{cor}(Z,Y)$

स्थानान्तरण के साथ पूर्व-शेव की श्रेणी में प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टर है। निस्नेविच टोपोलॉजी के लिए, स्थानीय रिंग्स हेन्सेलियन हैं, और हेन्सेलियन रिंग के एक परिमित कवर को हेन्सेलियन रिंग्स के एक उत्पाद द्वारा दिया जाता है, जो सटीकता दिखा रहा है।

== निस्नेविच टोपोलॉजी == में स्थानीय छल्ले

See also: Henselian ring

यदि x योजना X का एक बिंदु है, तो Nisnevich टोपोलॉजी में x का स्थानीय वलय ज़ारिस्की टोपोलॉजी में x के स्थानीय वलय का हेनसेलाइज़ेशन है। यह एटेल टोपोलॉजी से अलग है जहां स्थानीय छल्ले सख्त हेन्सेलाइज़ेशन हैं। स्थानीय रिंग को देखते समय दो मामलों के बीच महत्वपूर्ण बिंदुओं में से एक देखा जा सकता है $(R,{\mathfrak {p}})$ अवशेष क्षेत्र के साथ $\kappa$. इस मामले में, हेन्सेलाइज़ेशन और सख्त हेन्सेलाइज़ेशन के अवशेष क्षेत्र अलग-अलग हैं<ब्लॉककोट>${\begin{aligned}(R,{\mathfrak {p}})^{h}&\rightsquigarrow \kappa \\(R,{\mathfrak {p}})^{sh}&\rightsquigarrow \kappa ^{sep}\end{aligned}}$इसलिए सख्त हेनसेलाइजेशन का अवशेष क्षेत्र मूल अवशेष क्षेत्र को अलग करने योग्य बंद कर देता है $\kappa$.

== निस्नेविच कवरिंग == के उदाहरण द्वारा दिए गए ईटेल कवर पर विचार करें

${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])$

यदि हम आधार के सामान्य बिंदु के लिए अवशेष क्षेत्रों के संबंधित आकारिकी को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि यह एक डिग्री 2 विस्तार है

$\mathbb {C} (t)\to {\frac {\mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}$

इसका तात्पर्य यह है कि यह ईटेल कवर निस्नेविच नहीं है। हम étale morphism जोड़ सकते हैं $\mathbb {A} ^{1}-\{0,1\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ Nisnevich कवर प्राप्त करने के बाद से सामान्य बिंदु के लिए बिंदुओं का एक समरूपता है $\mathbb {A} ^{1}-\{0\}$.

सशर्त आवरण

अगर हम लेते हैं $\mathbb {A} ^{1}$ एक क्षेत्र पर एक योजना के रूप में $k$, फिर एक आवरण^{पेज 21} द्वारा दिया गया

${\begin{aligned}i:\mathbb {A} ^{1}-\{a\}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}\\f:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}\end{aligned}}$

कहाँ $i$ समावेशन है और $f(x)=x^{k}$, तो यह आवरण निस्नेविच है अगर और केवल अगर $x^{k}=a$ पर समाधान है $k$. अन्यथा, आवरण पर प्रक्षेपण नहीं हो सकता $k$-अंक। इस मामले में, कवरिंग केवल एक ईटेल कवरिंग है।

ज़रिस्की कवरिंग

हर ज़रिस्की कवरिंग^{पृष्ठ 21} निसनेविच है, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से नहीं है। इसे किसी भी परिभाषा का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है क्योंकि ज़रिस्की कवर की परवाह किए बिना अवशेष फ़ील्ड हमेशा एक समरूपता होगी, और परिभाषा के अनुसार ज़रिस्की कवर बिंदुओं पर अनुमान देगा। इसके अलावा, ज़ारिस्की समावेशन हमेशा एटेल आकारिकी होते हैं।

अनुप्रयोग

निस्नेविच ने अपनी टोपोलॉजी को एक सजातीय समूह योजना के वर्ग सेट की सह-वैज्ञानिक व्याख्या प्रदान करने के लिए पेश किया, जिसे मूल रूप से एडिलिक शब्दों में परिभाषित किया गया था। उन्होंने अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और जीन पियरे सेरे के एक अनुमान को आंशिक रूप से साबित करने के लिए इसका इस्तेमाल किया, जिसमें कहा गया है कि एक अभिन्न नियमित नोएथेरियन आधार योजना पर रिडक्टिव ग्रुप स्कीम के तहत तर्कसंगत रूप से तुच्छ धड़ जरिस्की टोपोलॉजी में स्थानीय रूप से तुच्छ है। निस्नेविच टोपोलॉजी के प्रमुख गुणों में से एक वंश वर्णक्रमीय अनुक्रम का अस्तित्व है। X को परिमित क्रुल आयाम की एक नोथेरियन योजना होने दें, और G को दें_n(एक्स) एक्स पर सुसंगत ढेरों की श्रेणी के क्विलन के-समूह हों। यदि ${\tilde {G}}_{n}^{\,{\text{cd}}}(X)$ निसनेविच टोपोलॉजी के संबंध में इन समूहों का शीफीकरण है, एक अभिसरण वर्णक्रमीय अनुक्रम है

$E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{\text{cd}},{\tilde {G}}_{q}^{\,{\text{cd}}})\Rightarrow G_{q-p}(X)$

के लिए p ≥ 0, q ≥ 0, और p - q ≥ 0. अगर $\ell$ एक प्रमुख संख्या है जो एक्स की विशेषता के बराबर नहीं है, तो गुणांक वाले के-समूहों के लिए एक समान अभिसरण वर्णक्रमीय अनुक्रम है $\mathbf {Z} /\ell \mathbf {Z}$.

निस्नेविच टोपोलॉजी ने बीजगणितीय के-सिद्धांत, ए¹ होमोटोपी सिद्धांत और मकसद के सिद्धांत (बीजगणितीय ज्यामिति) में भी महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाए हैं।

यह भी देखें

• स्थानान्तरण के साथ प्रीशेफ
• मिश्रित मकसद (गणित)
• A¹ होमोटॉपी थ्योरी
• हेंसेलियन रिंग

संदर्भ

• Nisnevich, Yevsey A. (1989). "The completely decomposed topology on schemes and associated descent spectral sequences in algebraic K-theory". In J. F. Jardine and V. P. Snaith (ed.). Algebraic K-theory: connections with geometry and topology. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held in Lake Louise, Alberta, December 7--11, 1987. NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences. Vol. 279. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. 241–342., available at Nisnevich's website

• Levine, Marc (2008), Motivic Homotopy Theory (PDF)