निस्नेविच टोपोलॉजी

बीजगणितीय ज्यामिति में, निस्नेविच टोपोलॉजी, जिसे कभी-कभी पूरी तरह से विघटित टोपोलॉजी कहा जाता है। यह योजनाओं की श्रेणी पर ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी है जिसका उपयोग बीजगणितीय के-सिद्धांत, A¹ समरूपता सिद्धांत और प्रेरण के सिद्धांत में किया गया है। यह मूल रूप से येवेसी निस्नेविच द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जो एडेल के सिद्धांत से प्रेरित था।

परिभाषा

योजनाओं का एक आकारिता $f:Y\to X$ को "निस्नेविच आकारिता" कहा जाता है यदि यह एक ईटेल आकारिकी है जैसे कि प्रत्येक (संभवतः गैर-सवृत) बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर में एक बिंदु y ∈ Y सम्मिलित होता है। f⁻¹(x) ऐसा है कि अवशेष क्षेत्रों k(x) → k(y) का प्रेरित मानचित्र एक समरूपता है। समतुल्य रूप से, f समतल, असम्बद्ध, स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति वाला होना चाहिए, और प्रत्येक बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर f⁻¹(x) में एक बिंदु y सम्मिलित होना चाहिए जैसे कि k(x) → k(y) एक समरूपता है।

आकारिता का एक परिवार {uα : Xα → X} एक निस्नेविच कवर है अगर परिवार में प्रत्येक आकारिता है और प्रत्येक (संभवतः गैर-सवृत) बिंदु x ∈ X के लिए, α और एक बिंदु y ∈ Xα s.t सम्मिलित है। uα(y) = x और अवशिष्ट क्षेत्रों k(x) → k(y) का प्रेरित मानचित्र एक समरूपता है। यदि परिवार परिमित है, तो यह आकारिकी $\coprod u_{\alpha }$ के समतुल्य है $\coprod X_{\alpha }$ से X एक निस्नेविच आकारिता है। निस्नेविच कवर योजनाओं की श्रेणी और योजनाओं के आकारिता पर एक प्रीटोपोलॉजी के कवरिंग परिवार हैं। यह निस्नेविच टोपोलॉजी नामक एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। निस्नेविच टोपोलॉजी वाली योजनाओं की श्रेणी को Nis नोट किया गया है।

एक्स की छोटी निस्नेविच साइट में अंतर्निहित श्रेणी के रूप में छोटी ईटेल साइट है, जिसका कहना है कि ऑब्जेक्ट्स स्कीम यू हैं जो एक निश्चित ईटेल आकारिता U → X के साथ हैं और आकारिता एक्स के लिए निश्चित मानचित्रों के साथ संगत योजनाओं के आकारिता हैं। स्वीकार्य आवरण निस्नेविच आकारिता हैं।

एक्स की बड़ी निस्नेविच साइट में एक्स के लिए एक निश्चित मानचित्र के साथ अंतर्निहित श्रेणी योजनाएं हैं और एक्स-स्कीमों के आकारिकी हैं। टोपोलॉजी निस्नेविच आकारिकी द्वारा दी गई है।

निस्नेविच टोपोलॉजी के कई रूप हैं जो एक प्रकार का अध्ययन करने के लिए अनुकूलित हैं इन टोपोलॉजी में कवर में विलक्षणता के संकल्प या संकल्प के कमजोर रूप सम्मिलित हैं।

• सीडीएच टोपोलॉजी कवरिंग के रूप में उचित द्विवार्षिक आकारिता की स्वीकृति देती है।
• एच टोपोलॉजी डी जोंग के परिवर्तन को कवरिंग के रूप में स्वीकृति देता है।
• गैबर के स्थानीय एकरूपता प्रमेय के निष्कर्ष के रूप में एल' टोपोलॉजी आकारिकी की स्वीकृति देती है।

सीडीएच और एल' टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी के साथ अतुलनीय हैं, और एच टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी से अपेक्षाकृत अच्छा है।

निस्नेविच कवर के लिए समतुल्य शर्तें

मान लें कि श्रेणी में एक qcqs (अर्ध-कॉम्पैक्ट और अर्ध-पृथक) योजना पर चिकनी योजनाएं सम्मिलित हैं, फिर निस्नेविच के कारण मूल परिभाषा ^{टिप्पणी 3.39}, जो ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर है, आकृतिवाद के एक परिवार के लिए $\{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}$ निस्नेविच को कवर करने वाली योजनाएं हैं यदि

1. प्रत्येक $p_{\alpha }$ है; और
2. सभी क्षेत्र $k$ के लिए, $k$-बिंदुओं के स्तर पर, (सेट-सैद्धांतिक) सहउत्पाद $p_{k}:\coprod _{\alpha }U_{\alpha }(k)\to X(k)$ सभी आच्छादन आकारिकी $p_{\alpha }$ विशेषण है।

निस्नेविच कवर के लिए निम्नलिखित अभी तक एक और समतुल्य स्थिति Lurie [ के कारण है: निस्नेविच टोपोलॉजी ईटेल आकारिता के सभी परिमित परिवारों द्वारा उत्पन्न होती है जैसे कि सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत सवृत उप-योजनाओं का एक परिमित अनुक्रम होता है।

$\varnothing \subseteq Z_{n}\subseteq Z_{n-1}\subseteq \cdots \subseteq Z_{1}\subseteq Z_{0}=X$

जैसे कि $0\leq m\leq n-1$ के लिए $\coprod _{\alpha \in A}p_{\alpha }^{-1}(Z_{m}-Z_{m-1})\to Z_{m}-Z_{m-1}$ एक वर्ग को स्वीकार करता है।

ध्यान दें कि एस-बिंदुओं पर इन आकारिकी का मूल्यांकन करते समय, इसका अर्थ है कि मानचित्र एक अनुमान है। इसके विपरीत, तुच्छ क्रम $Z_{0}=X$ लेने से परिणाम विपरीत दिशा में मिलता है।

प्रेरणा

मोटिविक कोहोलॉजी में निस्नेविच टोपोलॉजी को पेश करने के लिए प्रमुख प्रेरणाओं में से एक यह तथ्य है कि ज़ारिस्की ओपन कवर $\pi :U\to X$ ज़ारिस्की शेव्स का रिज़ॉल्यूशन नहीं देता है।

$\cdots \to \mathbf {Z} _{tr}(U\times _{X}U)\to \mathbf {Z} _{tr}(U)\to \mathbf {Z} _{tr}(X)\to 0$

जहाँ

$\mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={\text{Hom}}_{cor}(Z,Y)$

स्थानान्तरण के साथ पूर्व-शेव की श्रेणी में प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टर है। निस्नेविच टोपोलॉजी के लिए, स्थानीय रिंग्स हेन्सेलियन हैं, और हेन्सेलियन रिंग के एक परिमित कवर को हेन्सेलियन रिंग्स के एक उत्पाद द्वारा दिया जाता है, जो सटीकता दिखा रहा है।

निस्नेविच टोपोलॉजी में स्थानीय वलय

See also: हेंसेलियन वृत्त

यदि x योजना X का एक बिंदु है, तो निस्नेविच टोपोलॉजी में x का स्थानीय वलय ज़ारिस्की टोपोलॉजी में x के स्थानीय वलय का हेनसेलाइज़ेशन है। यह एटेल टोपोलॉजी से अलग है जहां स्थानीय वलय सख्त हेन्सेलाइज़ेशन हैं। दो मामलों के बीच एक महत्वपूर्ण बिंदु तब देखा जा सकता है जब एक स्थानीय रिंग $(R,{\mathfrak {p}})$ को अवशिष्ट क्षेत्र $\kappa$ के साथ देखा जाता है। इस मामले में, हेन्सेलाइज़ेशन और सख्त हेन्सेलाइज़ेशन के अवशेष क्षेत्र अलग-अलग हैं

${\begin{aligned}(R,{\mathfrak {p}})^{h}&\rightsquigarrow \kappa \\(R,{\mathfrak {p}})^{sh}&\rightsquigarrow \kappa ^{sep}\end{aligned}}$

इसलिए सख्त हेनसेलाइज़ेशन का अवशेष क्षेत्र मूल अवशेष क्षेत्र $\kappa$ को अलग करने योग्य सवृत कर देता है।

निस्नेविच कवरिंग के उदाहरण

द्वारा दिए गए ईटेल कवर पर विचार करें

${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])$

यदि हम आधार के सामान्य बिंदु के लिए अवशेष क्षेत्रों के संबंधित आकारिकी को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि यह एक डिग्री 2 विस्तार है:

$\mathbb {C} (t)\to {\frac {\mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}$

इसका तात्पर्य यह है कि यह ईटेल कवर निस्नेविच नहीं है। निसनेविच कवर प्राप्त करने के लिए हम $\mathbb {A} ^{1}-\{0,1\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ जोड़ सकते हैं $\mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ के सामान्य बिंदु के लिए अंकों की समरूपता है।

सशर्त आवरण

यदि हम $\mathbb {A} ^{1}$ को क्षेत्र $k$ पर एक योजना के रूप में लेते हैं, तो एक आवरण ^{पेज 21} द्वारा दिया गया है:

${\begin{aligned}i:\mathbb {A} ^{1}-\{a\}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}\\f:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}\end{aligned}}$

जहाँ मैं समावेशन है और $f(x)=x^{k}$ तो यह आवरण निस्नेविच है यदि और केवल यदि $x^{k}=a$ का $k$ पर समाधान है। अन्यथा, कवरिंग $k$-पॉइंट्स पर अनुमान नहीं हो सकता है। इस मामले में, कवरिंग केवल एक ईटेल कवरिंग है।

ज़रिस्की कवरिंग

ज़रिस्की का हर कवर निस्नेविच है लेकिन इसका विलोम आम तौर पर पकड़ में नहीं आता है। इसे किसी भी परिभाषा का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है क्योंकि ज़रिस्की कवर की परवाह किए बिना अवशेष क्षेत्र सदैव एक समरूपता होगी, और परिभाषा के अनुसार ज़रिस्की कवर बिंदुओं पर अनुमान देगा। इसके अतिरिक्त, ज़ारिस्की समावेशन सदैव एटेल आकारिकी होते हैं।

अनुप्रयोग

निस्नेविच ने अपनी टोपोलॉजी को एक सजातीय समूह योजना के वर्ग सेट की सह-वैज्ञानिक व्याख्या प्रदान करने के लिए पेश किया, जिसे मूल रूप से एडिलिक शब्दों में परिभाषित किया गया था। उन्होंने अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और जीन-पियरे सेरे के एक अनुमान को आंशिक रूप से साबित करने के लिए इसका उपयोग किया, जिसमें कहा गया है कि एक अभिन्न नियमित नोएथेरियन आधार योजना पर रिडक्टिव ग्रुप स्कीम के अंतर्गत तर्कसंगत रूप से तुच्छ टॉर्सर ज़रिस्की टोपोलॉजी में स्थानीय रूप से तुच्छ है। निस्नेविच टोपोलॉजी के प्रमुख गुणों में से एक वंश वर्णक्रमीय अनुक्रम का अस्तित्व है। X को परिमित क्रुल आयाम की एक नोथेरियन योजना होने दें, और Gn(X) को X पर सुसंगत ढेरों की श्रेणी के Quillen K-समूह माना कि यदि ${\tilde {G}}_{n}^{\,{\text{cd}}}(X)$ टोपोलॉजी के संबंध में इन समूहों का शीफीकरण है, तो एक अभिसारी वर्णक्रमीय अनुक्रम है:

$E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{\text{cd}},{\tilde {G}}_{q}^{\,{\text{cd}}})\Rightarrow G_{q-p}(X)$

p ≥ 0, q ≥ 0, और p - q ≥ 0 के लिए यदि $\ell$ एक प्रमुख संख्या है जो एक्स की विशेषता के बराबर नहीं है, फिर $\mathbf {Z} /\ell \mathbf {Z}$ में गुणांक वाले के-समूहों के लिए एक समान अभिसरण वर्णक्रमीय अनुक्रम है।

निस्नेविच टोपोलॉजी ने बीजगणितीय के-सिद्धांत, A¹ समरूपता सिद्धांत और उद्देश्यों के सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाए हैं।

यह भी देखें

• प्रीशेफ के साथ स्थानान्तरण
• मिश्रित प्रेरक (गणित)
• A¹ समरूपता सिद्धांत
• हेंसेलियन वलय

संदर्भ

• Nisnevich, Yevsey A. (1989). "The completely decomposed topology on schemes and associated descent spectral sequences in algebraic K-theory". In J. F. Jardine and V. P. Snaith (ed.). Algebraic K-theory: connections with geometry and topology. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held in Lake Louise, Alberta, December 7--11, 1987. NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences. Vol. 279. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. 241–342., available at निस्नेविच's website

• Levine, Marc (2008), Motivic Homotopy Theory (PDF)