निस्नेविच टोपोलॉजी

बीजगणितीय ज्यामिति में निस्नेविच टोपोलॉजी जिसे कभी-कभी विघटित टोपोलॉजी कहा जाता है। यह योजनाओं की श्रेणी पर ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी है जिसका उपयोग बीजगणितीय के-सिद्धांत, A¹ समरूपता सिद्धांत और प्रेरण सिद्धांत में किया गया है। इसको मूल रूप से येवेसी निस्नेविच द्वारा प्रस्तुत किया गया था जो एडेल्स के सिद्धांत से प्रेरित थे।

परिभाषा

योजना के एक रूपवाद $f:Y\to X$ को "निस्नेविच आकारिता" कहा जाता है यदि यह एक ईटेल आकारिकी है जैसे कि प्रत्येक (संभवतः गैर-सवृत) बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर f⁻¹(x) में एक बिंदु y ∈ Y सम्मिलित होता है जैसे कि अवशेष क्षेत्रों का प्रेरित मानचित्र k(x) → k(y) समरूप है। समतुल्य रूप से, f समतल, असम्बद्ध, स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति वाला होना चाहिए, और प्रत्येक बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर f⁻¹(x) में एक बिंदु y सम्मिलित होना चाहिए जैसे कि k(x) → k(y) समरूप है।

आकारिता का एक समूह {uα: Xα → X} निस्नेविच समाविष्ट है यदि समूह में प्रत्येक बहुपद आकारिकी है और प्रत्येक (संभवतः गैर-सवृत) बिंदु x ∈ X के लिए α और एक बिंदु y ∈ Xα s.t सम्मिलित है। uα(y) = x और k(x) → k(y) अवशिष्ट क्षेत्रों का प्रेरित मानचित्र समरूप होता है यदि समूह परिमित है तो यह आकारिकी $\coprod u_{\alpha }$ के समतुल्य होगा और $\coprod X_{\alpha }$ से X के लिए निस्नेविच आकारिता है। निस्नेविच समाविष्ट योजनाओं की श्रेणी और योजनाओं की आकारिता पर एक प्रारम्भिक सांस्थिति के समाविष्टि समूह हैं। यह निस्नेविच टोपोलॉजी नामक एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है जिसको निस्नेविच टोपोलॉजी वाली योजनाओं की श्रेणी के लिए निर्धारित किया गया है x की छोटी निस्नेविच स्थिति में अंतर्निहित श्रेणी के रूप में छोटी ईटेल स्थिति है जिसका कहना है कि वस्तु U एक योजना हैं जो एक निश्चित ईटेल आकारिता U → X के साथ हैं और आकारिता X के लिए निश्चित मानचित्रों के साथ संगत योजनाओं की आकारिता हैं जिसकी स्वीकार्य व्याख्या निस्नेविच आकारिता हैं X की बड़ी निस्नेविच स्थिति में X के लिए एक निश्चित मानचित्र के साथ अंतर्निहित श्रेणी योजनाएं हैं और X-योजनाओ मे आकारिकी हैं जो निम्न टोपोलॉजी निस्नेविच आकारिकी द्वारा दी गई हैं।

निस्नेविच टोपोलॉजी के कई रूप हैं जो एक प्रकार का अध्ययन करने के लिए अनुकूलित हैं इन टोपोलॉजी की समाविष्ट में विशिष्टता के लिए विश्लेषण या समाधान के कई विभिन्न रूप सम्मिलित हैं।

• सीडीएच टोपोलॉजी समाविष्ट के रूप में उपयुक्त द्विवार्षिक आकारिता की स्वीकृति देती है।
• H टोपोलॉजी डीजोंग के परिवर्तन को समाविष्ट के रूप में स्वीकृति देती है।
• गैबर के स्थानीय एकरूपता प्रमेय के निष्कर्ष के रूप में L′ टोपोलॉजी आकारिता की स्वीकृति देती है।

सीडीएच और L′ टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी के साथ अतुलनीय हैं और H टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी से अपेक्षाकृत अच्छी है।

निस्नेविच समाविष्ट के लिए समतुल्य शर्तें

माना कि श्रेणी में एक क्यूसीक्यूएस (अर्ध-सघन और अर्ध-पृथक) योजना पर समतल योजनाएं सम्मिलित हैं फिर निस्नेविच के कारण मूल परिभाषा ^{टिप्पणी 3.39}, जो ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर है, आकृतिवाद के एक समूह के लिए $\{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}$ निस्नेविच को समाविष्ट करने वाली योजनाएं हैं यदि

1. प्रत्येक $p_{\alpha }$ है; और
2. सभी क्षेत्र $k$ के लिए, $k$-बिंदुओं के स्तर पर, (समुच्चय-सैद्धांतिक) सहउत्पाद $p_{k}:\coprod _{\alpha }U_{\alpha }(k)\to X(k)$ सभी आच्छादन आकारिकी $p_{\alpha }$ विशेषण है।

निस्नेविच समाविष्ट के लिए निम्नलिखित अभी तक एक और समतुल्य स्थिति Lurie [ के कारण है: निस्नेविच टोपोलॉजी ईटेल आकारिता के सभी परिमित समूहों द्वारा उत्पन्न होती है जैसे कि सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत सवृत उप-योजनाओं का एक परिमित अनुक्रम होता है।

$\varnothing \subseteq Z_{n}\subseteq Z_{n-1}\subseteq \cdots \subseteq Z_{1}\subseteq Z_{0}=X$

जैसे कि $0\leq m\leq n-1$ के लिए $\coprod _{\alpha \in A}p_{\alpha }^{-1}(Z_{m}-Z_{m-1})\to Z_{m}-Z_{m-1}$ एक वर्ग को स्वीकार करता है।

ध्यान दें कि एस-बिंदुओं पर इन आकारिकी का मूल्यांकन करते समय, इसका अर्थ है कि मानचित्र एक अनुमान है। इसके विपरीत, तुच्छ क्रम $Z_{0}=X$ लेने से परिणाम विपरीत दिशा में मिलता है।

प्रेरणा

मोटिविक कोहोलॉजी में निस्नेविच टोपोलॉजी को पेश करने के लिए प्रमुख प्रेरणाओं में से एक यह तथ्य है कि ज़ारिस्की ओपन समाविष्ट $\pi :U\to X$ ज़ारिस्की शेव्स का रिज़ॉल्यूशन नहीं देता है।

$\cdots \to \mathbf {Z} _{tr}(U\times _{X}U)\to \mathbf {Z} _{tr}(U)\to \mathbf {Z} _{tr}(X)\to 0$

जहाँ

$\mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={\text{Hom}}_{cor}(Z,Y)$

स्थानान्तरण के साथ पूर्व-शेव की श्रेणी में प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टर है। निस्नेविच टोपोलॉजी के लिए, स्थानीय रिंग्स हेन्सेलियन हैं, और हेन्सेलियन रिंग के एक परिमित समाविष्ट को हेन्सेलियन रिंग्स के एक उत्पाद द्वारा दिया जाता है, जो सटीकता दिखा रहा है।

निस्नेविच टोपोलॉजी में स्थानीय वलय

See also: हेंसेलियन वृत्त

यदि x योजना X का एक बिंदु है, तो निस्नेविच टोपोलॉजी में x का स्थानीय वलय ज़ारिस्की टोपोलॉजी में x के स्थानीय वलय का हेनसेलाइज़ेशन है। यह एटेल टोपोलॉजी से अलग है जहां स्थानीय वलय सख्त हेन्सेलाइज़ेशन हैं। दो मामलों के बीच एक महत्वपूर्ण बिंदु तब देखा जा सकता है जब एक स्थानीय रिंग $(R,{\mathfrak {p}})$ को अवशिष्ट क्षेत्र $\kappa$ के साथ देखा जाता है। इस मामले में, हेन्सेलाइज़ेशन और सख्त हेन्सेलाइज़ेशन के अवशेष क्षेत्र अलग-अलग हैं

${\begin{aligned}(R,{\mathfrak {p}})^{h}&\rightsquigarrow \kappa \\(R,{\mathfrak {p}})^{sh}&\rightsquigarrow \kappa ^{sep}\end{aligned}}$

इसलिए सख्त हेनसेलाइज़ेशन का अवशेष क्षेत्र मूल अवशेष क्षेत्र $\kappa$ को अलग करने योग्य सवृत कर देता है।

निस्नेविच समाविष्ट के उदाहरण

निस्नेविच समाविष्ट के उदाहरण द्वारा दिए गए ईटेल समाविष्ट पर विचार करें:

${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])$

यदि हम आधार के सामान्य बिंदु के लिए अवशेष क्षेत्रों के संबंधित आकारिकी को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि यह डिग्री 2 का विस्तार है:

$\mathbb {C} (t)\to {\frac {\mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}$

इसका तात्पर्य यह है कि यह ईटेल समाविष्ट निस्नेविच नहीं है। निसनेविच समाविष्ट प्राप्त करने के लिए हम $\mathbb {A} ^{1}-\{0,1\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ जोड़ सकते हैं और $\mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ के सामान्य बिंदु के लिए अंकों की समरूपता है।

सशर्त आवरण

यदि हम $\mathbb {A} ^{1}$ को क्षेत्र $k$ पर एक योजना के रूप में लेते हैं, तो एक समाविष्ट ^{पेज 21} द्वारा दिया गया है:

${\begin{aligned}i:\mathbb {A} ^{1}-\{a\}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}\\f:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}\end{aligned}}$

जहाँ i समाविष्ट है और $f(x)=x^{k}$ समाविष्ट निस्नेविच है यदि और केवल यदि $x^{k}=a$ का $k$ पर समाधान है अन्यथा समाविष्ट $k$-बिन्दु पर अनुमान नहीं हो सकता है इस स्थिति में, समाविष्ट केवल एक ईटेल समाविष्ट है।

ज़रिस्की समाविष्ट

ज़रिस्की का प्रत्येक समाविष्ट निस्नेविच है लेकिन इसका व्यत्क्रम सामान्यतः नहीं होता है। इसको किसी भी परिभाषा का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है क्योंकि ज़रिस्की समाविष्ट के अतिरिक्त अवशेष क्षेत्र मे सदैव समरूपता होती है परिभाषा के अनुसार ज़रिस्की समाविष्ट बिंदुओं पर अनुमान के अतिरिक्त ज़ारिस्की समाविष्ट सदैव एटेल आकारिकी होते हैं।

अनुप्रयोग

निस्नेविच ने अपनी टोपोलॉजी को एक सजातीय समूह योजना के वर्ग समुच्चय की सह-वैज्ञानिक व्याख्या प्रदान करने के लिए प्रस्तुत किया था जिसे मूल रूप से एडिलिक शब्दों में परिभाषित किया गया था। उन्होंने अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और जीन-पियरे सेरे के एक अनुमान को आंशिक रूप से सिद्ध करने के लिए इसका उपयोग किया था जिसमें कहा गया है कि एक अभिन्न नियमित नोएथेरियन आधार योजना पर अपचय समूह योजना के अंतर्गत तर्कसंगत रूप से तुच्छ टॉर्सर ज़रिस्की टोपोलॉजी में स्थानीय रूप से तुच्छ है। निस्नेविच टोपोलॉजी के प्रमुख गुणों में से एक वंश वर्णक्रमीय अनुक्रम का अस्तित्व है। माना कि X का परिमित कुल आयाम नोथेरियन योजना है और Gn(X) की X पर सुसंगत श्रेणी क्विलेन K-समूह है।

माना कि यदि ${\tilde {G}}_{n}^{\,{\text{cd}}}(X)$ टोपोलॉजी के संबंध में इन समूहों का शीफीकरण है तो एक अभिसारी वर्णक्रमीय अनुक्रम है:

$E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{\text{cd}},{\tilde {G}}_{q}^{\,{\text{cd}}})\Rightarrow G_{q-p}(X)$

p ≥ 0, q ≥ 0 और p - q ≥ 0 के लिए यदि $\ell$ प्रमुख संख्या है जो X की विशेषता के बराबर नहीं है यदि $\mathbf {Z} /\ell \mathbf {Z}$ गुणांक वाले K-समूहों के लिए एक समान अभिसरण वर्णक्रमीय अनुक्रम है तब

निस्नेविच टोपोलॉजी मे बीजगणितीय K-सिद्धांत, A¹ समरूपता सिद्धांत और प्रेरण सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण अनुप्रयोग प्राप्त किए जा सकते हैं।

यह भी देखें

• प्रीशेफ के साथ स्थानान्तरण
• मिश्रित प्रेरक (गणित)
• A¹ समरूपता सिद्धांत
• हेंसेलियन वलय

संदर्भ

• Nisnevich, Yevsey A. (1989). "The completely decomposed topology on schemes and associated descent spectral sequences in algebraic K-theory". In J. F. Jardine and V. P. Snaith (ed.). Algebraic K-theory: connections with geometry and topology. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held in Lake Louise, Alberta, December 7--11, 1987. NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences. Vol. 279. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. 241–342., available at निस्नेविच's website

• Levine, Marc (2008), Motivic Homotopy Theory (PDF)