बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति

गणित में, बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति दो निकट से संबंधित विषय हैं। जबकि बीजगणितीय ज्यामिति बीजगणितीय विविधता का अध्ययन करती है, विश्लेषणात्मक ज्यामिति कई जटिल चरों के विश्लेषणात्मक कार्यों के गायब होने से स्थानीय रूप से परिभाषित जटिल कई गुना और अधिक सामान्य विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान से संबंधित है। इन विषयों के बीच गहरे संबंध में कई अनुप्रयोग हैं जिनमें बीजगणितीय तकनीकों को विश्लेषणात्मक स्थानों और विश्लेषणात्मक तकनीकों को बीजगणितीय किस्मों पर लागू किया जाता है।

मुख्य कथन

बता दें कि X प्रक्षेपी जटिल बीजगणितीय किस्म है। क्योंकि X जटिल किस्म है, इसके जटिल बिंदुओं के सेट X('C') को कॉम्पैक्ट जटिल विश्लेषणात्मक स्थान की संरचना दी जा सकती है। इस विश्लेषणात्मक स्थान को X दर्शाया गया है^एक. इसी प्रकार यदि ${\mathcal {F}}$ X पर पूला है, तो संबंधित पूला है ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ एक्स पर^एक. बीजगणितीय वस्तु के लिए विश्लेषणात्मक वस्तु का यह जुड़ाव मज़ेदार है। X और X से संबंधित प्रोटोटाइपिकल प्रमेय^a कहता है कि किन्हीं दो सुसंगत ढेरों के लिए ${\mathcal {F}}$ और ${\mathcal {G}}$ एक्स पर, प्राकृतिक समरूपता:

${\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})$

एक समरूपता है। यहाँ ${\mathcal {O}}_{X}$ बीजगणितीय किस्म X और की संरचना शीफ ​​है ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ विश्लेषणात्मक किस्म X का संरचना शीफ ​​है^एक. दूसरे शब्दों में, बीजगणितीय किस्म X पर सुसंगत ढेरों की श्रेणी विश्लेषणात्मक विविधता X पर विश्लेषणात्मक सुसंगत ढेरों की श्रेणी के बराबर है^an, और समानता मानचित्रण द्वारा वस्तुओं पर दी गई है ${\mathcal {F}}$ को ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$. (विशेष रूप से ध्यान दें कि ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ स्वयं सुसंगत है, परिणाम जिसे ओका जुटना प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और साथ ही, यह "सुसंगत बीजगणितीय बीम्स" में सिद्ध हुआ था (Serre (1955)) कि बीजगणितीय किस्म की संरचना शीफ ${\mathcal {O}}_{X}$ सुसंगत है।)

एक अन्य महत्वपूर्ण कथन इस प्रकार है: किसी सुसंगत शीफ के लिए ${\mathcal {F}}$ बीजगणितीय किस्म X समरूपता पर

$\varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})$

सभी q के लिए तुल्याकारिताएँ हैं। इसका मतलब यह है कि X पर q-th कोहोलॉजी समूह, X पर कोहोलॉजी समूह के लिए आइसोमोर्फिक है^एक.

प्रमेय ऊपर वर्णित की तुलना में आम तौर पर अधिक लागू होता है (नीचे #formal कथन देखें)। इसके और इसके प्रमाण के कई परिणाम हैं, जैसे #Chow's theorem|Chow's theorem, The Lefschetz theory और Kodaira लुप्त प्रमेय।

पृष्ठभूमि

बीजगणितीय किस्मों को स्थानीय रूप से बहुपदों के सामान्य शून्य सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है और चूंकि जटिल संख्याओं पर बहुपद होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन होते हैं, सी से अधिक बीजगणितीय किस्मों को विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। इसी तरह, किस्मों के बीच नियमित morphisms को विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान के बीच होलोमोर्फिक मैपिंग के रूप में व्याख्या किया जाता है। कुछ आश्चर्य की बात है, बीजगणितीय तरीके से विश्लेषणात्मक वस्तुओं की व्याख्या करने के लिए अक्सर दूसरे तरीके से जाना संभव होता है।

उदाहरण के लिए, यह साबित करना आसान है कि रीमैन स्फीयर से लेकर स्वयं तक के विश्लेषणात्मक कार्य या तो हैं तर्कसंगत कार्य या समान रूप से अनंत कार्य (लिउविले के प्रमेय का विस्तार (जटिल विश्लेषण) | लिउविल का प्रमेय)। यदि ऐसा कोई फ़ंक्शन f गैर-स्थिर है, तो z के सेट के बाद से जहां f(z) अनंत है और रीमैन क्षेत्र कॉम्पैक्ट है, वहाँ बहुत सारे z' हैं के साथ f(z) अनंत के बराबर है। ऐसे सभी 'z' पर लॉरेंट विस्तार पर विचार करें और एकवचन भाग को घटाएं: हमारे पास सी में मानों के साथ रीमैन क्षेत्र पर फ़ंक्शन के साथ छोड़ दिया जाता है, जो लिउविल के प्रमेय द्वारा स्थिर है। इस प्रकार 'एफ' तर्कसंगत कार्य है। इस तथ्य से पता चलता है कि बीजगणितीय विविधता के रूप में या रीमैन क्षेत्र के रूप में जटिल प्रक्षेपी रेखा के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं है।

महत्वपूर्ण परिणाम

बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बीच तुलनात्मक परिणामों का लंबा इतिहास है, जो उन्नीसवीं शताब्दी में शुरू हुआ था। कालानुक्रमिक क्रम में कुछ अधिक महत्वपूर्ण प्रगति यहाँ सूचीबद्ध हैं।

रीमैन का अस्तित्व प्रमेय

रीमैन सतह सिद्धांत से पता चलता है कि कॉम्पैक्ट जगह रीमैन की सतह पर पर्याप्त मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन होते हैं, जिससे यह बीजगणितीय वक्र बन जाता है। रीमैन के अस्तित्व प्रमेय के नाम से कॉम्पैक्ट रीमैन सतह के रेमीफाइड कवरिंग पर गहरा परिणाम ज्ञात था: टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में इस तरह के परिमित कवरिंग को रेमिफिकेशन (गणित) के पूरक के मौलिक समूह के क्रमपरिवर्तन अभ्यावेदन द्वारा वर्गीकृत किया गया है। चूंकि रीमैन सतह की संपत्ति स्थानीय है, ऐसे कवरिंग को जटिल-विश्लेषणात्मक अर्थों में कवरिंग के रूप में आसानी से देखा जा सकता है। तब यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि वे बीजगणितीय वक्रों के मानचित्रों को कवर करने से आते हैं - अर्थात, ऐसे आवरण बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के परिमित विस्तार से आते हैं।

लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत

बीसवीं शताब्दी में, सोलोमन लेफशेट्ज़ के नाम पर लेफशेट्ज़ सिद्धांत को बीजगणितीय ज्यामिति में उद्धृत किया गया था ताकि किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड 'के' की विशेषता (बीजगणित) 0 पर बीजगणितीय ज्यामिति के लिए टोपोलॉजिकल तकनीकों के उपयोग को उचित ठहराया जा सके। K मानो यह सम्मिश्र संख्या क्षेत्र हो। इसका प्राथमिक रूप यह दावा करता है कि सी के बारे में क्षेत्रों के पहले क्रम के सिद्धांत के सच्चे बयान किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड के की विशेषता शून्य के लिए सही हैं। सटीक सिद्धांत और इसका प्रमाण अल्फ्रेड टार्स्की के कारण हैं और गणितीय तर्क पर आधारित हैं। यह सिद्धांत बीजगणितीय किस्मों के लिए विश्लेषणात्मक या सामयिक विधियों का उपयोग करके प्राप्त किए गए कुछ परिणामों को C से अन्य बीजगणितीय रूप से बंद जमीनी क्षेत्रों में ले जाने की अनुमति देता है।

चाउ की प्रमेय

Chow (1949), वी-एल इयान जीसी कैसे द्वारा सिद्ध किया गया, उपलब्ध तुलना के सबसे तत्काल उपयोगी प्रकार का उदाहरण है। इसमें कहा गया है कि जटिल प्रक्षेपण स्थान का विश्लेषणात्मक उप-स्थान जो बंद है (साधारण टोपोलॉजिकल अर्थ में) बीजगणितीय उपप्रकार है। इसे जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस के किसी भी विश्लेषणात्मक उप-स्थान के रूप में दोहराया जा सकता है जो मजबूत टोपोलॉजी में बंद है, जरिस्की टोपोलॉजी में बंद है। यह बीजगणितीय ज्यामिति के शास्त्रीय भागों के भीतर जटिल-विश्लेषणात्मक विधियों के मुक्त उपयोग की अनुमति देता है।

गागा

1950 के दशक के शुरुआती भाग के दौरान दो सिद्धांतों के बीच कई संबंधों की नींव रखी गई थी, उदाहरण के लिए, हॉज सिद्धांत से तकनीकों को शामिल करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति की नींव रखने के व्यवसाय के हिस्से के रूप में। सिद्धांत को मजबूत करने वाला प्रमुख पेपर जियोमेट्री अल्जेब्रिक एट जियोमेट्री एनालिटिक था Serre (1956) जीन पियरे सेरे द्वारा, अब आमतौर पर गागा के रूप में जाना जाता है। यह सामान्य परिणाम साबित करता है जो विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान, होलोमोर्फिक मैपिंग और शेवों के वर्गों के साथ बीजगणितीय किस्मों, नियमित आकारिकी और शीफ (गणित) के वर्गों से संबंधित है। यह इन सभी को ढेरों की श्रेणियों की तुलना में कम कर देता है।

आजकल तुलना के किसी भी प्रमेय के लिए गागा-शैली परिणाम वाक्यांश का उपयोग किया जाता है, जो बीजगणितीय ज्यामिति से वस्तुओं की श्रेणी और उनके आकारिकी के बीच विश्लेषणात्मक ज्यामिति वस्तुओं और होलोमोर्फिक मैपिंग की अच्छी तरह से परिभाषित उपश्रेणी के बीच पारित होने की अनुमति देता है।

गागा का औपचारिक बयान

1. होने देना $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ सी पर परिमित प्रकार की योजना बनें। फिर स्थलीय स्थान एक्स है^an जो सेट के रूप में निरंतर समावेशन मानचित्र λ के साथ X के बंद बिंदु होते हैं_X: एक्स^an → X. X पर टोपोलॉजी^a को जटिल टोपोलॉजी कहा जाता है (और यह सबस्पेस टोपोलॉजी से बहुत अलग है)।
2. मान लीजिए φ: X → Y 'C' पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की योजनाओं का आकार है। फिर सतत नक्शा φ मौजूद है^ए: एक्स^एक → वाई^एक ऐसा λ_Y ° एफ^एक = φ ° λ_X.
3. एक पुलिया है ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ एक्स पर^एक ऐसा कि $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ चक्राकार स्थान है और λ_X: एक्स^an → X चक्राकार स्थानों का मानचित्र बन जाता है। अंतरिक्ष $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ का विश्लेषण कहा जाता है $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ और विश्लेषणात्मक स्थान है। हर φ के लिए: X → Y नक्शा φ^a ऊपर परिभाषित विश्लेषणात्मक रिक्त स्थान का मानचित्रण है। इसके अलावा, नक्शा φ ↦ φ^a मानचित्र खुले विसर्जन से खुले विसर्जन में बदलते हैं। अगर एक्स = स्पेक ('सी' [एक्स₁,...,एक्स_n]) फिर एक्स^{एक </सुप> = सीएन और ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)$ प्रत्येक पॉलीडिस्क यू के लिए यू पर होलोमोर्फिक कार्यों के स्थान का उपयुक्त भागफल है।}
4. हर पूले के लिए ${\mathcal {F}}$ X पर (बीजगणितीय शीफ कहा जाता है) शीफ होता है ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ एक्स पर^a (विश्लेषणात्मक शीफ कहा जाता है) और इसके ढेरों का नक्शा ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल $\lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$. पुलिया ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ परिभाषित किया जाता है $\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$. पत्राचार ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ ढेरों की श्रेणी से सटीक फ़ैक्टर को परिभाषित करता है $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ के ढेरों की श्रेणी में $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$.
   निम्नलिखित दो कथन सेरे के गागा प्रमेय के हृदय हैं (अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक, अम्नोन नामान और अन्य द्वारा विस्तारित।)
5. यदि f: X → Y 'C' और पर परिमित प्रकार की योजनाओं का मनमाना रूप है ${\mathcal {F}}$ सुसंगत है तो प्राकृतिक मानचित्र $(f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ इंजेक्शन है। यदि f उचित है तो यह मानचित्र तुल्याकारिता है। में सभी उच्च प्रत्यक्ष छवि ढेरों के समरूपता भी हैं $(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ इस मामले में।
6. अब मान लीजिए कि X^an हॉसडॉर्फ और कॉम्पैक्ट है। अगर ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ दो सुसंगत बीजगणितीय ढेर हैं $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ और अगर $f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }$ के ढेरों का नक्शा है ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$-मॉड्यूल तो वहाँ ढेरों का अनूठा नक्शा मौजूद है ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल $\varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ साथ $f=\varphi ^{\mathrm {an} }$. अगर ${\mathcal {R}}$ का सुसंगत विश्लेषणात्मक शीफ है ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$-मॉड्यूल X पर^a तो सुसंगत बीजगणितीय शीफ मौजूद है ${\mathcal {F}}$ का ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल और समरूपता ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}$.

थोड़ी कम व्यापकता में, GAGA प्रमेय का दावा है कि सुसंगत बीजगणितीय ढेरों की श्रेणी जटिल प्रक्षेपी किस्म X पर और संगत विश्लेषणात्मक स्थान X पर सुसंगत विश्लेषणात्मक ढेरों की श्रेणी^a समतुल्य हैं। विश्लेषणात्मक स्थान X^an मोटे तौर पर 'C' से जटिल संरचना X पर वापस खींचकर प्राप्त किया जाता हैⁿ निर्देशांक चार्ट के माध्यम से। दरअसल, इस तरह से प्रमेय को वाक्यांश देना सेरे के पेपर की भावना के करीब है, यह देखते हुए कि कैसे पूर्ण योजना-सैद्धांतिक भाषा जिसका उपरोक्त औपचारिक बयान भारी उपयोग करता है, अभी तक GAGA के प्रकाशन के समय तक आविष्कार नहीं किया गया था।

संदर्भ

• Chow, Wei-Liang (1949). "On Compact Complex Analytic Varieties". American Journal of Mathematics. 71 (4): 893–914. doi:10.2307/2372375. JSTOR 2372375.
• Frey, Gerhard; Rück, Hans -Georg (1986). "The strong Lefschetz principle in algebraic geometry". Manuscripta Mathematica. 55 (3–4): 385–401. doi:10.1007/BF01186653. S2CID 122967192.
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1958). "Komplexe Räume". Mathematische Annalen. 136 (3): 245–318. doi:10.1007/BF01362011. S2CID 121348794.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michele (2002). "Revêtements étales et groupe fondamental§XII. Géométrie algébrique et géométrie analytique". Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (in français). arXiv:math/0206203. doi:10.1007/BFb0058656. ISBN 978-2-85629-141-2.
• Harbater, David (21 July 2003). "Galois Groups and Fundamental Groups§9.Patching and Galois theory (Dept. of Mathematics, University of Pennsylvania)" (PDF). In Schneps, Leila (ed.). Galois Groups and Fundamental Groups. Cambridge University Press. ISBN 9780521808316.
• Hall, Jack (2018). "GAGA theorems". arXiv:1804.01976 [math.AG].
• Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994], "Transfer principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Neeman, Amnon (2007). Algebraic and Analytic Geometry. doi:10.1017/CBO9780511800443. ISBN 9780511800443.
• Seidenberg, A. (1958). "Comments on Lefschetz's Principle". The American Mathematical Monthly. 65 (9): 685–690. doi:10.1080/00029890.1958.11991979. JSTOR 2308709.
• Hartshorne, Robin (1970). Ample Subvarieties of Algebraic Varieties. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 156. doi:10.1007/BFb0067839. ISBN 978-3-540-05184-8.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. S2CID 197660097. Zbl 0367.14001.
• Remmert, R. (1994). "Local Theory of Complex Spaces". Several Complex Variables VII. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 74. pp. 7–96. doi:10.1007/978-3-662-09873-8_2. ISBN 978-3-642-08150-7.
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF), Annals of Mathematics, 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, JSTOR 1969915, MR 0068874
• Serre, Jean-Pierre (1956). "Géométrie algébrique et géométrie analytique". Annales de l'Institut Fourier (in français). 6: 1–42. doi:10.5802/aif.59. ISSN 0373-0956. MR 0082175.

बाहरी संबंध

• Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry (LEC # 30 - 33 GAGA)Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA