लाफलिन वेवफंक्शन

संघनित पदार्थ भौतिकी में, लाफलिन वेवफंक्शन <रेफरी नाम= लाफलिन पीपी. 1395-1398 >Laughlin, R. B. (2 May 1983). "विषम क्वांटम हॉल प्रभाव: आंशिक रूप से आवेशित उत्तेजनाओं के साथ एक असंगत क्वांटम द्रव". Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 50 (18): 1395–1398. Bibcode:1983PhRvL..50.1395L. doi:10.1103/physrevlett.50.1395. ISSN 0031-9007.</ref> रॉबर्ट बी. लॉफलिन द्वारा एक समान जेलियम पृष्ठभूमि की उपस्थिति में एक समान पृष्ठभूमि चुंबकीय क्षेत्र में रखी गई द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस की जमीनी अवस्था के लिए प्रस्तावित एक ansatz है, जब भरने का कारक (क्वांटम हॉल प्रभाव) निम्नतम लैंडौ स्तर का होता है है $\nu =1/n$ कहाँ $n$ विषम धनात्मक पूर्णांक है। इसका निर्माण के अवलोकन को समझाने के लिए किया गया था $\nu =1/3$ आंशिक क्वांटम हॉल प्रभाव, और अतिरिक्त के अस्तित्व की भविष्यवाणी की $\nu =1/n$ राज्यों के साथ-साथ फ्रैक्शनल इलेक्ट्रिक चार्ज के साथ क्वासिपार्टिकल एक्साइटमेंट $e/n$, दोनों को बाद में प्रायोगिक रूप से देखा गया। लाफलिन को इस खोज के लिए 1998 में भौतिकी का एक तिहाई नोबेल पुरस्कार मिला। ट्रायल वेवफंक्शन होने के नाते, यह सटीक नहीं है, लेकिन गुणात्मक रूप से, यह सटीक समाधान की कई विशेषताओं को पुन: उत्पन्न करता है और मात्रात्मक रूप से, इसमें छोटी प्रणालियों के लिए सटीक जमीनी स्थिति के साथ बहुत अधिक ओवरलैप होता है।

यदि हम शून्य क्रम सन्निकटन के रूप में इलेक्ट्रॉनों के बीच जेलियम और आपसी कूलम्ब प्रतिकर्षण की उपेक्षा करते हैं, तो हमारे पास एक असीम रूप से निम्नतम लैंडौ स्तर (एलएलएल) है और 1/एन के भरने वाले कारक के साथ, हम उम्मीद करेंगे कि सभी इलेक्ट्रॉन झूठ बोलेंगे एलएलएल में। अंतःक्रियाओं को चालू करते हुए, हम अनुमान लगा सकते हैं कि सभी इलेक्ट्रॉन LLL में स्थित हैं। अगर $\psi _{0}$ सबसे कम कोणीय गति ऑपरेटर के साथ एलएलएल राज्य का एकल कण तरंग है, तो मल्टीपार्टिकल वेवफंक्शन के लिए लाफलिन एनाट्ज़ है

$\langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{N\geqslant i>j\geqslant 1}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)$

जहां स्थिति द्वारा निरूपित किया जाता है

$z={1 \over 2{\mathit {l}}_{B}}\left(x+iy\right)$

में (गाऊसी इकाइयां)

${\mathit {l}}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}$

और $x$ और $y$ xy तल में निर्देशांक हैं। यहाँ $\hbar$ घटी हुई प्लैंक नियतांक है, $e$ इलेक्ट्रॉन आवेश है, $N$ कणों की कुल संख्या है, और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है, जो xy तल के लंबवत है। जेड पर सबस्क्रिप्ट कण की पहचान करते हैं। वेवफंक्शन के लिए फर्मियन का वर्णन करने के लिए, n एक विषम पूर्णांक होना चाहिए। यह वेवफंक्शन को पार्टिकल इंटरचेंज के तहत एंटीसिमेट्रिक होने के लिए मजबूर करता है। इस अवस्था का कोणीय संवेग है $n\hbar$.

दो कणों के लिए परस्पर क्रिया की ऊर्जा

चित्रा 1. सहभागिता ऊर्जा बनाम। ${\mathit {l}}$ के लिए $n=7$ और $k_{B}r_{B}=20$. ऊर्जा की इकाइयों में है ${e^{2} \over L_{B}}$. ध्यान दें कि न्यूनतम के लिए होता है ${\mathit {l}}=3$ और ${\mathit {l}}=4$. सामान्य तौर पर मिनीमा होता है ${{\mathit {l}} \over n}={1 \over 2}\pm {1 \over 2n}$.

लॉफलिन वेवफंक्शन quisiparticle ्स के लिए मल्टीपार्टिकल वेवफंक्शन है। क्वासिपार्टिकल्स की एक जोड़ी के लिए अंतःक्रियात्मक ऊर्जा का अपेक्षित मूल्य है

$\langle V\rangle =\langle n,N\mid V\mid n,N\rangle ,\;\;\;N=2$

जहां स्क्रीन की क्षमता है (स्थैतिक बल और आभासी-कण विनिमय देखें # एक चुंबकीय क्षेत्र में एम्बेडेड दो मौजूदा छोरों के बीच कूलम्ब क्षमता)

$V\left(r_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)$

कहाँ $M$ एक मिला हुआ हाइपरज्यामितीय कार्य है और ${\mathcal {J}}_{0}$ प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है। यहाँ, $r_{12}$ दो मौजूदा लूप के केंद्रों के बीच की दूरी है, $e$ इलेक्ट्रॉन आवेश का परिमाण है, $r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}$ Larmor त्रिज्या का क्वांटम संस्करण है, और $L_{B}$ चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में इलेक्ट्रॉन गैस की मोटाई है। दो अलग-अलग वर्तमान लूपों की कोणीय गति है ${\mathit {l}}\hbar$ और ${\mathit {l}}^{\prime }\hbar$ कहाँ ${\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }=n$. व्युत्क्रम स्क्रीनिंग लंबाई (गाऊसी इकाइयों) द्वारा दी गई है

$k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}AL_{B}}$

कहाँ $\omega _{c}$ साइक्लोट्रॉन आवृत्ति है, और $A$ xy तल में इलेक्ट्रॉन गैस का क्षेत्र है।

अंतःक्रियात्मक ऊर्जा इसका मूल्यांकन करती है:

$E=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right)$

चित्रा 2. सहभागिता ऊर्जा बनाम। ${n}$ के लिए ${{\mathit {l}} \over n}={1 \over 2}\pm {1 \over 2n}$ और $k_{B}r_{B}=0.1,1.0,10$. ऊर्जा की इकाइयों में है ${e^{2} \over L_{B}}$.

इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए हमने एकीकरण चरों का परिवर्तन किया है

$u_{12}={z_{1}-z_{2} \over {\sqrt {2}}}$

और

$v_{12}={z_{1}+z_{2} \over {\sqrt {2}}}$

और नोट किया गया (क्वांटम फील्ड थ्योरी में कॉमन इंटीग्रल्स देखें # मैग्नेटिक वेव फंक्शन पर इंटीग्रेशन)

${1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {2}}\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\right)=$

${1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({2}k\mid u_{12}\mid \right)=$

$M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right).$

अंतःक्रियात्मक ऊर्जा के लिए मिनिमा है (चित्र 1)

${{\mathit {l}} \over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}$

और

${{\mathit {l}} \over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}$

कोणीय संवेग के अनुपात के इन मूल्यों के लिए, ऊर्जा को चित्र 2 में एक फलन के रूप में अंकित किया गया है $n$.

यह भी देखें

• लैंडौ स्तर
• आंशिक क्वांटम हॉल प्रभाव
• स्थैतिक बल और आभासी-कण विनिमय # एक चुंबकीय क्षेत्र में एम्बेडेड दो वर्तमान लूपों के बीच कूलम्ब क्षमता

श्रेणी:हॉल प्रभाव श्रेणी:संघनित पदार्थ भौतिकी श्रेणी:क्वांटम चरण