असतत मोर्स सिद्धांत

डिस्क्रीट मोर्स सिद्धांत रॉबिन फोरमैन द्वारा विकसित मोर्स थ्योरी का मिश्रित रूपांतरण है। लागू गणित और कंप्यूटर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सिद्धांत के विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, जैसे विन्यास स्थान (गणित)गणित), होमोलॉजी (गणित) संगणना, denoising, दोषरहित डेटा संपीड़न, और सामयिक डेटा विश्लेषण।

सीडब्ल्यू परिसरों के संबंध में संकेतन

होने देना $X$ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स बनें और इसके द्वारा निरूपित करें ${\mathcal {X}}$ इसकी कोशिकाओं का सेट। घटना समारोह को परिभाषित करें $\kappa \colon {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {Z}$ निम्नलिखित तरीके से: दो सेल दिए गए हैं $\sigma$ और $\tau$ में ${\mathcal {X}}$, होने देना $\kappa (\sigma ,~\tau )$ की सीमा से मानचित्र संलग्न करने का टोपोलॉजिकल डिग्री सिद्धांत हो $\sigma$ को $\tau$. सीमा संचालक एंडोमोर्फिज्म है $\partial$ द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह का ${\mathcal {X}}$ द्वारा परिभाषित

$\partial (\sigma )=\sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\tau .$

यह सीमा संचालकों की एक परिभाषित संपत्ति है $\partial \circ \partial \equiv 0$. अधिक स्वयंसिद्ध परिभाषाओं में कोई आवश्यकता पा सकता है $\forall \sigma ,\tau ^{\prime }\in {\mathcal {X}}$

$\sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\kappa (\tau ,\tau ^{\prime })=0$

जो सीमा संचालक की उपरोक्त परिभाषा और उस आवश्यकता का परिणाम है $\partial \circ \partial \equiv 0$.

असतत मोर्स कार्य

एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान फ़ंक्शन $\mu \colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R}$ असतत मोर्स फ़ंक्शन है यदि यह निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता है:

1. किसी भी सेल के लिए $\sigma \in {\mathcal {X}}$, कोशिकाओं की संख्या $\tau \in {\mathcal {X}}$ की सीमा में $\sigma$ जो संतुष्ट करता है $\mu (\sigma )\leq \mu (\tau )$ अधिक से अधिक एक है।
2. किसी भी सेल के लिए $\sigma \in {\mathcal {X}}$, कोशिकाओं की संख्या $\tau \in {\mathcal {X}}$ युक्त $\sigma$ उनकी सीमा में जो संतुष्ट करते हैं $\mu (\sigma )\geq \mu (\tau )$ अधिक से अधिक एक है।

इसे दिखाया जा सकता है कि दो स्थितियों में कार्डिनैलिटी एक निश्चित सेल के लिए एक साथ एक नहीं हो सकती हैं $\sigma$, उसे उपलब्ध कराया ${\mathcal {X}}$ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है। इस मामले में, प्रत्येक सेल $\sigma \in {\mathcal {X}}$ अधिकतम एक असाधारण सेल के साथ युग्मित किया जा सकता है $\tau \in {\mathcal {X}}$: या तो बड़े के साथ एक सीमा सेल $\mu$ मूल्य, या छोटे के साथ एक सह-सीमा सेल $\mu$ कीमत। जिन कोशिकाओं में कोई जोड़े नहीं होते हैं, यानी, जिनके कार्य मान उनकी सीमा कोशिकाओं से सख्ती से अधिक होते हैं और उनकी सह-सीमा कोशिकाओं से सख्ती से कम होते हैं, उन्हें 'महत्वपूर्ण' कोशिकाएं कहा जाता है। इस प्रकार, असतत मोर्स फ़ंक्शन सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स को तीन अलग-अलग सेल संग्रहों में विभाजित करता है: ${\mathcal {X}}={\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {K}}\sqcup {\mathcal {Q}}$, कहाँ:

1. ${\mathcal {A}}$ उन महत्वपूर्ण कोशिकाओं को दर्शाता है जो अयुग्मित हैं,
2. ${\mathcal {K}}$ उन कोशिकाओं को दर्शाता है जो सीमा कोशिकाओं के साथ बनती हैं, और
3. ${\mathcal {Q}}$ उन कोशिकाओं को दर्शाता है जो सह-सीमा कोशिकाओं के साथ बनती हैं।

रचना से, बीच में सेट (गणित) का एक आक्षेप होता है $k$-आयामी कोशिकाओं में ${\mathcal {K}}$ और यह $(k-1)$-आयामी कोशिकाओं में ${\mathcal {Q}}$, जिसे द्वारा दर्शाया जा सकता है $p^{k}\colon {\mathcal {K}}^{k}\to {\mathcal {Q}}^{k-1}$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $k$. यह एक अतिरिक्त तकनीकी आवश्यकता है कि प्रत्येक के लिए $K\in {\mathcal {K}}^{k}$, की सीमा से संलग्न मानचित्र की डिग्री $K$ इसके युग्मित सेल के लिए $p^{k}(K)\in {\mathcal {Q}}$ की अंतर्निहित रिंग (गणित) में एक इकाई (रिंग थ्योरी) है ${\mathcal {X}}$. उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर $\mathbb {Z}$, केवल अनुमत मान हैं $\pm 1$. इस तकनीकी आवश्यकता की गारंटी है, उदाहरण के लिए, जब कोई ऐसा मानता है ${\mathcal {X}}$ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स ओवर है $\mathbb {Z}$.

असतत मोर्स सिद्धांत का मौलिक परिणाम यह स्थापित करता है कि CW परिसर ${\mathcal {X}}$ समरूपता (गणित) के स्तर पर एक नए परिसर में समरूपता है ${\mathcal {A}}$ केवल महत्वपूर्ण कोशिकाओं से मिलकर। में युग्मित कोशिकाएँ ${\mathcal {K}}$ और ${\mathcal {Q}}$ आसन्न महत्वपूर्ण कोशिकाओं के बीच ढाल पथ का वर्णन करें जिसका उपयोग सीमा ऑपरेटर को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है ${\mathcal {A}}$. इस निर्माण के कुछ विवरण अगले खंड में दिए गए हैं।

मोर्स कॉम्प्लेक्स

एक ढाल पथ युग्मित कोशिकाओं का एक क्रम है

$\rho =(Q_{1},K_{1},Q_{2},K_{2},\ldots ,Q_{M},K_{M})$

संतुष्टि देने वाला $Q_{m}=p(K_{m})$ और $\kappa (K_{m},~Q_{m+1})\neq 0$. इस ढाल पथ के सूचकांक को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है

$\nu (\rho )={\frac {\prod _{m=1}^{M-1}-\kappa (K_{m},Q_{m+1})}{\prod _{m=1}^{M}\kappa (K_{m},Q_{m})}}.$

यहाँ विभाजन समझ में आता है क्योंकि युग्मित कोशिकाओं के बीच की घटना होनी चाहिए $\pm 1$. ध्यान दें कि निर्माण के द्वारा, असतत मोर्स फ़ंक्शन के मान $\mu$ भर में कमी करनी चाहिए $\rho$. मार्ग $\rho$ दो महत्वपूर्ण कोशिकाओं को जोड़ने के लिए कहा जाता है $A,A'\in {\mathcal {A}}$ अगर $\kappa (A,Q_{1})\neq 0\neq \kappa (K_{M},A')$. इस रिश्ते को व्यक्त किया जा सकता है $A{\stackrel {\rho }{\to }}A'$. इस कनेक्शन की बहुलता को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है $m(\rho )=\kappa (A,Q_{1})\cdot \nu (\rho )\cdot \kappa (K_{M},A')$. अंत में, महत्वपूर्ण कोशिकाओं पर मोर्स सीमा संचालक ${\mathcal {A}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\Delta (A)=\kappa (A,A')+\sum _{A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}m(\rho )A'$

जहां से सभी ग्रेडिएंट पथ कनेक्शनों का योग लिया जाता है $A$ को $A'$.

मूल परिणाम

निरंतर मोर्स सिद्धांत के कई परिचित परिणाम असतत सेटिंग में लागू होते हैं।

मोर्स असमानताएं

होने देना ${\mathcal {A}}$ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स से जुड़ा एक मोर्स कॉम्प्लेक्स हो ${\mathcal {X}}$. जो नंबर $m_{q}=|{\mathcal {A}}_{q}|$ का $q$-कोशिकाओं में ${\mathcal {A}}$ कहा जाता है $q$-वाँ मोर्स नंबर। होने देना $\beta _{q}$ निरूपित करें $q$-वीं बेट्टी की संख्या ${\mathcal {X}}$. फिर किसी के लिए $N>0$, निम्नलिखित असमानताएँ पकड़

$m_{N}\geq \beta _{N}$, और

$m_{N}-m_{N-1}+\dots \pm m_{0}\geq \beta _{N}-\beta _{N-1}+\dots \pm \beta _{0}$

इसके अलावा, यूलर विशेषता $\chi ({\mathcal {X}})$ का ${\mathcal {X}}$ संतुष्ट

$\chi ({\mathcal {X}})=m_{0}-m_{1}+\dots \pm m_{\dim {\mathcal {X}}}$

असतत मोर्स होमोलॉजी और होमोटॉपी टाइप

होने देना ${\mathcal {X}}$ सीमा संचालक के साथ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स बनें $\partial$ और असतत मोर्स समारोह $\mu \colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R}$. होने देना ${\mathcal {A}}$ मोर्स बाउंड्री ऑपरेटर के साथ संबंधित मोर्स कॉम्प्लेक्स हो $\Delta$. फिर, एक समूह समरूपता है होमोलॉजी (गणित) समूहों की

$H_{*}({\mathcal {X}},\partial )\simeq H_{*}({\mathcal {A}},\Delta ),$

और इसी तरह होमोटॉपी समूहों के लिए।

अनुप्रयोग

असतत मोर्स सिद्धांत आणविक आकार विश्लेषण में अपना आवेदन पाता है, डिजिटल छवियों/वॉल्यूमों का कंकालकरण, शोर डेटा से ग्राफ पुनर्निर्माण, शोर बिंदु बादलों को नकारना और पुरातत्व में पाषाण उपकरण का विश्लेषण।

यह भी देखें

• डिजिटल मोर्स सिद्धांत
• स्तरीकृत मोर्स सिद्धांत
• आकार विश्लेषण (डिजिटल ज्यामिति)
• टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स
• असतत अंतर ज्यामिति

संदर्भ

• Forman, Robin (1998). "Morse theory for cell complexes" (PDF). Advances in Mathematics. 134 (1): 90–145. doi:10.1006/aima.1997.1650.
• Forman, Robin (2002). "A user's guide to discrete Morse theory" (PDF). Séminaire Lotharingien de Combinatoire. 48: Art. B48c, 35 pp. MR 1939695.
• Kozlov, Dmitry (2007). Combinatorial algebraic topology. Algorithms and Computation in Mathematics. Vol. 21. Springer. ISBN 978-3540719618. MR 2361455.
• Jonsson, Jakob (2007). Simplicial complexes of graphs. Springer. ISBN 978-3540758587.
• Orlik, Peter; Welker, Volkmar (2007). Algebraic Combinatorics: Lectures at a Summer School In Nordfjordeid. Universitext. Springer. doi:10.1007/978-3-540-68376-6. ISBN 978-3540683759. MR 2322081.
• "Discrete Morse theory". nLab.