सजातीय समूह

गणित में, एक क्षेत्र (गणित) पर किसी भी संबधित स्थान का संबंध समूह या सामान्य संबंध समूह $K$ अंतरिक्ष से अपने आप में सभी उलटा संबंध परिवर्तनों का समूह (गणित) है।

यह एक झूठ समूह है अगर $K$ वास्तविक या जटिल क्षेत्र या चतुष्कोण है।

सामान्य रैखिक समूह से संबंध

सामान्य रेखीय समूह से निर्माण

ठोस रूप से, एक सदिश स्थान दिया गया है $V$ , इसमें एक अंतर्निहित सजातीय स्थान है $A$ मूल को भूलकर प्राप्त किया, साथ $V$ अनुवादों द्वारा अभिनय, और के affine समूह $A$ के अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में ठोस रूप से वर्णित किया जा सकता है $V$ द्वारा $GL(V)$ , का सामान्य रैखिक समूह $V$ :

\operatorname {Aff} (V)=V\rtimes \operatorname {GL} (V)

की क्रिया $GL(V)$ पर $V$ प्राकृतिक है (रैखिक परिवर्तन ऑटोमोर्फिज्म हैं), इसलिए यह एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद को परिभाषित करता है।

मेट्रिसेस के संदर्भ में, कोई लिखता है:

\operatorname {Aff} (n,K)=K^{n}\rtimes \operatorname {GL} (n,K)

जहां की स्वाभाविक क्रिया है $GL(n, K)$ पर $K n$ सदिश का आव्यूह गुणन है।

एक बिंदु का स्टेबलाइजर

एक एफ़िन स्पेस के एफ़िन समूह को देखते हुए $A$ , समूह क्रिया (गणित)#कक्षाएं और एक बिंदु के स्टेबलाइजर्स $p$ समान आयाम के सामान्य रेखीय समूह के लिए आइसोमोर्फिक है (इसलिए एक बिंदु का स्टेबलाइजर $Aff(2, R)$ के लिए आइसोमोर्फिक है $GL(2, R)$ ); औपचारिक रूप से, यह सदिश स्थान का सामान्य रैखिक समूह है $(A, p)$ : याद रखें कि यदि कोई एक बिंदु को ठीक करता है, तो एक सजातीय स्थान एक सदिश स्थान बन जाता है।

ये सभी उपसमूह संयुग्मी हैं, जहाँ से अनुवाद द्वारा संयुग्मन दिया जाता है $p$ को $q$ (जो विशिष्ट रूप से परिभाषित है), हालांकि, कोई विशेष उपसमूह एक प्राकृतिक विकल्प नहीं है, क्योंकि कोई बिंदु विशेष नहीं है - यह अनुप्रस्थ उपसमूह के कई विकल्पों से मेल खाता है, या लघु सटीक अनुक्रम का विभाजन

1\to V\to V\rtimes \operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} (V)\to 1\,.

इस मामले में कि affine समूह का निर्माण एक सदिश स्थान से शुरू करके किया गया था, वह उपसमूह जो मूल (वेक्टर स्थान का) को स्थिर करता है, मूल है $GL(V)$ .

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

affine समूह का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व करना $V$ द्वारा $GL(V)$ , फिर सेमीडायरेक्ट उत्पाद#सेमीडायरेक्ट उत्पाद और समूह समरूपता, तत्व जोड़े हैं $(v, M)$ , कहाँ $v$ में एक वेक्टर है $V$ और $M$ में एक रैखिक परिवर्तन है $GL(V)$ , और गुणा द्वारा दिया जाता है

(v,M)\cdot (w,N)=(v+Mw,MN)\,.

इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है $(n + 1) \times (n + 1)$ ब्लॉक मैट्रिक्स

\left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)

कहाँ $M$ एक $n \times n$ मैट्रिक्स ओवर $K$ , $v$ एक $n \times 1$ कॉलम वेक्टर, 0 एक है $1 \times n$ शून्य की पंक्ति, और 1 है 1 × 1 पहचान ब्लॉक मैट्रिक्स।

औपचारिक रूप से, $Aff(V)$ के एक उपसमूह के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है $GL(V \oplus K)$ , साथ $V$ affine तल के रूप में सन्निहित है ${(v, 1) | v \in V}$ , अर्थात् इस सजातीय तल का स्टेबलाइज़र; उपरोक्त मैट्रिक्स फॉर्मूलेशन इस की प्राप्ति (स्थानांतरण) है, इसके साथ $n \times n$ और $1 \times 1$ ) प्रत्यक्ष योग अपघटन के अनुरूप ब्लॉक $V \oplus K$ .

एक मैट्रिक्स समानता प्रतिनिधित्व कोई भी है $(n + 1) \times (n + 1)$ मैट्रिक्स जिसमें प्रत्येक कॉलम में प्रविष्टियों का योग 1 होता है।^[1] मैट्रिक्स समानता {{mvar|P}उपरोक्त प्रकार से इस प्रकार में जाने के लिए } है $(n + 1) \times (n + 1)$ पहचान मैट्रिक्स नीचे की पंक्ति के साथ सभी की एक पंक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया गया।

मैट्रिक्स के इन दो वर्गों में से प्रत्येक मैट्रिक्स गुणन के तहत बंद है।

सबसे सरल प्रतिमान अच्छी तरह से मामला हो सकता है $n = 1$ , यानी ऊपरी त्रिकोणीय 2 × 2 मैट्रिक्स एक आयाम में affine समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह एक दो-पैरामीटर गैर-अबेलियन समूह|गैर-एबेलियन लाइ समूह है, इसलिए केवल दो जनरेटर (लाई बीजगणित तत्व) के साथ, $A$ और $B$ , ऐसा है कि $[A, B] = B$ , कहाँ

A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,

ताकि

e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.

की चरित्र तालिका $Aff(F p)$

$Aff(F p)$ का आदेश है $p (p - 1)$ . तब से

{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,

हम जानते हैं $Aff(F p)$ है $p$ संयुग्मन वर्ग, अर्थात्

{\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}

तब हम जानते हैं $Aff(F p)$ है $p$ अलघुकरणीय अभ्यावेदन। उपरोक्त पैराग्राफ द्वारा (§ Matrix representation), वहां है $p - 1$ एक आयामी अभ्यावेदन, समरूपता द्वारा तय किया गया

\rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}

के लिए $k = 1, 2,\dots p - 1$ , कहाँ

\rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)

और $i 2 = -1$ , $a = g j$ , $g$ समूह का जनरेटर है $F * p$ . फिर के क्रम से तुलना करें $F p$ , अपने पास

p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,

इस तरह $χ p = p - 1$ अंतिम अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आयाम है। अंत में अलघुकरणीय अभ्यावेदन की ओर्थोगोनैलिटी का उपयोग करके, हम वर्ण तालिका को पूरा कर सकते हैं $Aff(F p)$ :

{\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}

रीयल्स पर प्लानर एफ़िन समूह

के तत्व $\operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )$ एक अच्छी तरह से चुनी गई एफ़िन समन्वय प्रणाली पर एक सरल रूप ले सकता है। अधिक सटीक रूप से, वास्तविक संख्या पर एक एफ़िन विमान के एक एफ़िन परिवर्तन को देखते हुए, एक एफ़िन समन्वय प्रणाली मौजूद होती है जिस पर इसका निम्न में से एक रूप होता है, जहां $a$ , $b$ , और $t$ वास्तविक संख्याएँ हैं (दिए गए नियम यह सुनिश्चित करते हैं कि परिवर्तन व्युत्क्रमणीय हैं, लेकिन वर्गों को विशिष्ट बनाने के लिए नहीं; उदाहरण के लिए, पहचान सभी वर्गों से संबंधित है)।

{\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}

केस 1 अनुवाद (गणित) से मेल खाता है।

केस 2 स्केलिंग (ज्यामिति) से मेल खाता है जो दो अलग-अलग दिशाओं में भिन्न हो सकता है। यूक्लिडियन विमान के साथ काम करते समय इन दिशाओं को लंबवत नहीं होना चाहिए, क्योंकि निर्देशांक अक्षों को लंबवत नहीं होना चाहिए।

केस 3 एक दिशा में स्केलिंग और दूसरे में अनुवाद से मेल खाता है।

प्रकरण 4 एक फैलाव के साथ संयुक्त कतरनी मानचित्रण से मेल खाती है।

प्रकरण 5 एक फैलाव के साथ संयुक्त कतरनी मानचित्रण से मेल खाती है।

केस 6 समानता (ज्यामिति) से मेल खाता है जब समन्वय अक्ष लंबवत होते हैं।

बिना किसी निश्चित बिंदु (गणित) के संबंध परिवर्तन 1, 3 और 5 के मामलों से संबंधित हैं। परिवर्तन जो विमान के उन्मुखीकरण को संरक्षित नहीं करते हैं, वे मामले 2 से संबंधित हैं (के साथ) $ab < 0$ ) या 3 (के साथ $a < 0$ ).

सबूत पहले टिप्पणी करके किया जा सकता है कि यदि एक एफ़िन परिवर्तन का कोई निश्चित बिंदु नहीं है, तो संबंधित रैखिक मानचित्र के मैट्रिक्स में एक के बराबर एक eigenvalue है, और फिर जॉर्डन सामान्य रूप # रीयल मैट्रिसेस का उपयोग कर रहा है।

अन्य संबंध समूह

सामान्य मामला

किसी भी उपसमूह को देखते हुए $G < GL(V)$ सामान्य रेखीय समूह का, कोई कभी-कभी निरूपित समूह का निर्माण कर सकता है $Aff(G)$ समान रूप से $Aff(G) := V ⋊ G$ .

अधिक आम तौर पर और संक्षेप में, किसी भी समूह को देखते हुए $G$ और समूह का प्रतिनिधित्व $G$ सदिश स्थान पर $V$ ,

\rho :G\to \operatorname {GL} (V)

एक मिलता है^{[note 1]} एक संबद्ध एफ़िन समूह $V ⋊ ρ G$ : कोई कह सकता है कि प्राप्त किया गया affine समूह एक सदिश प्रतिनिधित्व द्वारा एक समूह विस्तार है, और ऊपर के रूप में, किसी के पास कम सटीक अनुक्रम है:

1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1\,.

विशेष संबंध समूह

एक निश्चित आयतन रूप को संरक्षित करने वाले सभी व्युत्क्रमणीय affine परिवर्तनों के उपसमुच्चय को विशेष affine समूह कहा जाता है। यह समूह विशेष रेखीय समूह का एफ़िन एनालॉग है। अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के संदर्भ में, विशेष संबंध समूह में सभी जोड़े होते हैं $(M, v)$ साथ $M$ का निर्धारक 1, यानी, affine परिवर्तन

x\mapsto Mx+v

कहाँ

M

निर्धारक 1 और का एक रैखिक परिवर्तन है

v

कोई निश्चित अनुवाद वेक्टर है।

प्रक्षेपी उपसमूह

प्रोजेक्टिविटी के ज्ञान और प्रक्षेपी ज्यामिति के प्रोजेक्टिव ग्रुप को मानते हुए, एफ़िन ग्रुप को आसानी से निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुंटर एवाल्ड ने लिखा:^[2]

सेट

{\mathfrak {P}}

के सभी प्रक्षेप्य collineations की

P n

एक समूह है जिसे हम प्रक्षेपी समूह कह सकते हैं

P n

. अगर हम से आगे बढ़ें

P n

affine अंतरिक्ष के लिए

A n

hyperplane घोषित करके

ω

अनंत पर एक हाइपरप्लेन होने के लिए, हम affine समूह प्राप्त करते हैं

{\mathfrak {A}}

का

A n

के उपसमूह के रूप में

{\mathfrak {P}}

के सभी तत्वों से मिलकर बनता है

{\mathfrak {P}}

वह छुट्टी

ω

हल किया गया।

{\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {P}}

पोंकारे समूह

पोंकारे समूह लोरेंत्ज़ समूह का संबधित समूह है $O(1,3)$ :

\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)

सापेक्षता के सिद्धांत में यह उदाहरण बहुत महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें

Affine Coxeter समूह - एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर affine समूह के कुछ असतत उपसमूह जो एक जाली (समूह) को संरक्षित करते हैं
होलोमॉर्फ (गणित)

संदर्भ

↑ Poole, David G. (November 1995). "स्टोकेस्टिक समूह". American Mathematical Monthly. 102 (9): 798–801.
↑ Ewald, Günter (1971). Geometry: An Introduction. Belmont: Wadsworth. p. 241. ISBN 9780534000349.

Lyndon, Roger (1985). "Section VI.1". Groups and Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31694-4.

[2] Since $GL(V) < Aut(V)$ . Note that this containment is in general proper, since by "automorphisms" one means group automorphisms, i.e., they preserve the group structure on $V$ (the addition and origin), but not necessarily scalar multiplication, and these groups differ if working over $R$ .

[1] Poole, David G. (November 1995). "स्टोकेस्टिक समूह". American Mathematical Monthly. 102 (9): 798–801.

[3] Ewald, Günter (1971). Geometry: An Introduction. Belmont: Wadsworth. p. 241. ISBN 9780534000349.

[1]

[note 1]

[2]

Anonymous

Search

सजातीय समूह

Namespaces

More

Page actions

Contents

सामान्य रैखिक समूह से संबंध

सामान्य रेखीय समूह से निर्माण

एक बिंदु का स्टेबलाइजर

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

की चरित्र तालिका $Aff(F p)$

रीयल्स पर प्लानर एफ़िन समूह

अन्य संबंध समूह

सामान्य मामला

विशेष संबंध समूह

प्रक्षेपी उपसमूह

पोंकारे समूह

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

सजातीय समूह

सामान्य रैखिक समूह से संबंध

सामान्य रेखीय समूह से निर्माण

एक बिंदु का स्टेबलाइजर

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

की चरित्र तालिका Aff(Fp)

रीयल्स पर प्लानर एफ़िन समूह

अन्य संबंध समूह

सामान्य मामला

विशेष संबंध समूह

प्रक्षेपी उपसमूह

पोंकारे समूह

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories

की चरित्र तालिका $Aff(F p)$