कार्टन अपघटन

गणित में, कार्टन अपघटन एक सेमीसिम्पल लाई बीजगणित लाई समूह या लाई बीजगणित का अपघटन है, जो उनके संरचना सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह मेट्रिसेस के ध्रुवीय अपघटन या एकवचन मूल्य अपघटन को सामान्य करता है। इसका इतिहास एली कार्टन और विल्हेम हत्या के 1880 के दशक के काम का पता लगाया जा सकता है।

== लाई बीजगणित == पर कार्टन का निवेश

होने देना ${\mathfrak {g}}$ एक वास्तविक अर्धसरल झूठ बीजगणित और चलो $B(\cdot ,\cdot )$ उसका संहार रूप हो। एक इन्वोल्यूशन (गणित) पर ${\mathfrak {g}}$ एक झूठ बीजगणित automorphism है $\theta$ का ${\mathfrak {g}}$ जिसका वर्ग सर्वसमिका के बराबर है। इस तरह के शामिल होने को कार्टन इनवोल्यूशन ऑन कहा जाता है ${\mathfrak {g}}$ अगर $B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)$ एक सकारात्मक निश्चित द्विरेखीय रूप है।

दो इन्वोल्यूशन $\theta _{1}$ और $\theta _{2}$ समतुल्य माने जाते हैं यदि वे केवल एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म से भिन्न होते हैं।

किसी भी वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित में एक कार्टन का समावेश होता है, और कोई भी दो कार्टन का समावेशन समतुल्य होता है।

उदाहरण

• एक कार्टन इनवोल्यूशन चालू ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ द्वारा परिभाषित किया गया है $\theta (X)=-X^{T}$, कहाँ $X^{T}$ के स्थानान्तरण मैट्रिक्स को दर्शाता है $X$.
• पहचान मानचित्र पर ${\mathfrak {g}}$ एक अंतर्विरोध है। यह कार्टन का अनूठा समावेश है ${\mathfrak {g}}$ अगर और केवल अगर की हत्या का रूप ${\mathfrak {g}}$ नकारात्मक निश्चित है या, समकक्ष, अगर और केवल अगर ${\mathfrak {g}}$ एक कॉम्पैक्ट झूठ समूह सेमीसिंपल लाइ ग्रुप का लाई बीजगणित है।
• होने देना ${\mathfrak {g}}$ एक वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित की जटिलता हो ${\mathfrak {g}}_{0}$, फिर जटिल संयुग्मन चालू करें ${\mathfrak {g}}$ पर संलिप्तता है ${\mathfrak {g}}$. यह कार्टन इन्वोल्यूशन चालू है ${\mathfrak {g}}$ अगर और केवल अगर ${\mathfrak {g}}_{0}$ कॉम्पैक्ट लाइ समूह का झूठ बीजगणित है।
• निम्नलिखित मानचित्र लाई बीजगणित के अंतर्वलन हैं ${\mathfrak {su}}(n)$ विशेष एकात्मक समूह SU(n) का:
  1. पहचान का समावेश $\theta _{1}(X)=X$, जो इस मामले में अनोखा कार्टन इनवोल्यूशन है।
  2. जटिल संयुग्मन, के रूप में अभिव्यक्त $\theta _{2}(X)=-X^{T}$ पर ${\mathfrak {su}}(2)$.
  3. अगर $n=p+q$ अजीब है, $\theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}$. इनवॉल्यूशन (1), (2) और (3) समतुल्य हैं, लेकिन पहचान के समतुल्य नहीं हैं ${\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)$.
  4. अगर $n=2m$ सम है, वहाँ भी है $\theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}$.

कार्टन जोड़े

होने देना $\theta$ झूठ बीजगणित पर एक समावेशन बनें ${\mathfrak {g}}$. तब से $\theta ^{2}=1$, रैखिक नक्शा $\theta$ दो eigenvalues ​​हैं $\pm 1$. अगर ${\mathfrak {k}}$ और ${\mathfrak {p}}$ क्रमशः +1 और -1 के अनुरूप ईजेनस्पेस को निरूपित करें, फिर ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$. तब से $\theta$ एक लाई बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म है, इसके दो आइगेनस्पेस का लाई ब्रैकेट उनके आइगेनवैल्यू के उत्पाद के अनुरूप आइगेनस्पेस में समाहित है। यह इस प्रकार है कि

$[{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}$, $[{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}$, और $[{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}$.

इस प्रकार ${\mathfrak {k}}$ एक लेट सबलजेब्रा है, जबकि किसी भी सबलजेब्रा का ${\mathfrak {p}}$ क्रमविनिमेय है।

इसके विपरीत, अपघटन ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ इन अतिरिक्त गुणों के साथ एक जुड़ाव निर्धारित करता है $\theta$ पर ${\mathfrak {g}}$ वह है $+1$ पर ${\mathfrak {k}}$ और $-1$ पर ${\mathfrak {p}}$.

ऐसी जोड़ी $({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})$ कार्टन जोड़ी भी कहा जाता है ${\mathfrak {g}}$, और $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})$ सममित युग्म कहलाता है। कार्टन जोड़ी की इस धारणा को कार्टन जोड़ी के साथ भ्रमित नहीं होना है, जिसमें सापेक्ष लाई बीजगणित कोहोलॉजी शामिल है $H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})$.

अपघटन ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ कार्टन के इनवोल्यूशन से जुड़े होने को कार्टन अपघटन कहा जाता है ${\mathfrak {g}}$. कार्टन अपघटन की विशेष विशेषता यह है कि किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित है ${\mathfrak {k}}$ और सकारात्मक निश्चित पर ${\mathfrak {p}}$. आगे, ${\mathfrak {k}}$ और ${\mathfrak {p}}$ किलिंग फॉर्म के संबंध में एक दूसरे के ऑर्थोगोनल पूरक हैं ${\mathfrak {g}}$.

== झूठ समूह स्तर == पर कार्टन अपघटन

होने देना $G$ एक गैर-कॉम्पैक्ट सेमीसिंपल लाइ ग्रुप बनें और ${\mathfrak {g}}$ इसका झूठ बीजगणित। होने देना $\theta$ एक कार्टन शामिल हो ${\mathfrak {g}}$ और जाने $({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})$ परिणामी कार्टन जोड़ी बनें। होने देना $K$ का विश्लेषणात्मक उपसमूह हो $G$ झूठ बीजगणित के साथ ${\mathfrak {k}}$. तब:

• एक झूठ समूह ऑटोमोर्फिज्म है $\Theta$ अंतर के साथ $\theta$ उस पहचान पर जो संतुष्ट करती है $\Theta ^{2}=1$.
• द्वारा निर्धारित तत्वों का उपसमूह $\Theta$ है $K$; विशेष रूप से, $K$ एक बंद उपसमूह है।
• मैपिंग $K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G$ द्वारा दिए गए $(k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)$ डिफियोमॉर्फिज्म है।
• उपसमूह $K$ का एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है $G$, जब भी G का केंद्र परिमित हो।

ऑटोमोर्फिज्म $\Theta$ इसे ग्लोबल कार्टन इनवोल्यूशन और डिफियोमोर्फिज्म भी कहा जाता है $K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G$ वैश्विक कार्टन अपघटन कहा जाता है। अगर हम लिखते हैं $P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G$ यह कहता है कि उत्पाद मानचित्र $K\times P\rightarrow G$ एक भिन्नता है $G=KP$.

सामान्य रैखिक समूह के लिए, $X\mapsto (X^{-1})^{T}$ एक कार्टन इनवोल्यूशन है।

कॉम्पैक्ट या गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार के सममित रिक्त स्थान के लिए कार्टन अपघटन का परिशोधन बताता है कि अधिकतम एबेलियन सबलगेब्रस ${\mathfrak {a}}$ में ${\mathfrak {p}}$ द्वारा संयुग्मन तक अद्वितीय हैं $K$. इसके अतिरिक्त,

$\displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}.}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A.}$ कहाँ $A=e^{\mathfrak {a}}$.

इस प्रकार कॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट मामले में वैश्विक कार्टन अपघटन का तात्पर्य है

$G=KP=KAK,$

ज्यामितीय रूप से उपसमूह की छवि $A$ में $G/K$ एक पूरी तरह से जियोडेसिक सबमनीफोल्ड है।

ध्रुवीय अपघटन से संबंध

विचार करना ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )$ कार्टन के शामिल होने के साथ $\theta (X)=-X^{T}$. तब ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )$ तिरछा-सममित आव्यूहों का वास्तविक झूठ बीजगणित है, ताकि $K=\mathrm {SO} (n)$, जबकि ${\mathfrak {p}}$ सममित आव्यूहों की उपसमष्टि है। इस प्रकार घातीय मानचित्र एक भिन्नता है ${\mathfrak {p}}$ सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स के स्थान पर। इस घातीय मानचित्र तक, वैश्विक कार्टन अपघटन एक मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन है। व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन अद्वितीय है।

यह भी देखें

• झूठ समूह अपघटन

संदर्भ

• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Pure and Applied Mathematics, vol. 80, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7, MR 0514561
• Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (ed.). A History of Abstract Algebra. Boston, MA: Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0817646844. MR 2347309.
• Knapp, Anthony W. (2005) [1996]. Bass, Hyman; Oesterlé, Joseph; Alan, Weinstein (eds.). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Vol. 140 (2nd ed.). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389.