डेसार्गेस प्रमेय
प्रक्षेपी ज्यामिति में, डेसार्गस के प्रमेय, जिसका नाम गिरार्ड देसार्गेस के नाम पर रखा गया है:
- दो त्रिकोण परिप्रेक्ष्य (ज्यामिति) हैं (ज्यामिति) अक्षीय यदि और केवल यदि वे परिप्रेक्ष्य में केंद्रीय रूप से हैं।
एक त्रिभुज के तीन शीर्षों (ज्यामिति) को निरूपित करें a, b और c, और दूसरे के द्वारा A, B और C. अक्षीय परिप्रेक्ष्य का अर्थ है कि रेखाएँ ab और AB एक बिंदु, रेखाओं में मिलते हैं ac और AC दूसरे बिंदु और रेखाओं में मिलते हैं bc और BC एक तीसरे बिंदु पर मिलते हैं, और यह कि ये तीनों बिंदु एक सामान्य रेखा पर स्थित हैं जिसे परिप्रेक्ष्य की धुरी कहा जाता है। केंद्रीय परिप्रेक्ष्य का अर्थ है कि तीन रेखाएँ Aa, Bb और Cc समवर्ती हैं, एक बिंदु पर जिसे परिप्रेक्ष्य का केंद्र कहा जाता है।
यह प्रतिच्छेदन प्रमेय सामान्य यूक्लिडियन तल में सत्य है, लेकिन असाधारण मामलों में विशेष देखभाल की आवश्यकता होती है, जैसे कि जब भुजाओं की एक जोड़ी समानांतर होती है, ताकि उनका प्रतिच्छेदन बिंदु अनंत तक पीछे हट जाए। आम तौर पर, इन अपवादों को हटाने के लिए, गणितज्ञ जीन-विक्टर पोंसेलेट के बाद अनंत पर बिंदु जोड़कर यूक्लिडियन विमान को पूरा करते हैं। इसका परिणाम एक प्रक्षेपी विमान में होता है।
Desargues का प्रमेय वास्तविक वास्तविक प्रक्षेपी विमान लिए सही है और किसी फ़ील्ड (गणित) या विभाजन की अंगूठी से अंकगणितीय रूप से परिभाषित किसी भी प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए; इसमें दो से अधिक आयाम का कोई प्रक्षेप्य स्थान शामिल है या जिसमें पप्पस का षट्भुज प्रमेय | पप्पस का प्रमेय है। हालांकि, ऐसे कई गैर-डेसरग्यूसियन विमान हैं, जिनमें डेसार्गेस का प्रमेय झूठा है।
इतिहास
Desargues ने कभी भी इस प्रमेय को प्रकाशित नहीं किया, लेकिन यह 1648 में प्रकाशित परिप्रेक्ष्य के उपयोग पर एक व्यावहारिक पुस्तक के लिए यूनिवर्सल मेथड ऑफ़ M. Desargues for युज़िंग पर्सपेक्टिव (Manière Universelle de M. Desargues Por practiquer la Perspective) नामक परिशिष्ट में दिखाई दिया।[1] उनके दोस्त और शिष्य अब्राहम बोस (1602-1676) द्वारा।[2]
समन्वय
अमूर्त प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री में डेसार्ग्स के प्रमेय का महत्व विशेष रूप से इस तथ्य के कारण है कि एक प्रोजेक्टिव स्पेस उस प्रमेय को संतुष्ट करता है यदि और केवल अगर यह एक फ़ील्ड या डिवीजन रिंग पर परिभाषित प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है।
प्रोजेक्टिव बनाम affine अंतरिक्ष
यूक्लिडियन विमान जैसे एक सदृश स्थान में एक समान कथन सत्य है, लेकिन केवल तभी जब कोई समानांतर रेखाओं से जुड़े विभिन्न अपवादों को सूचीबद्ध करता है। Desargues की प्रमेय इसलिए सबसे सरल ज्यामितीय प्रमेयों में से एक है जिसका प्राकृतिक घर प्रक्षेपी स्थान के बजाय प्रक्षेपण में है।
आत्मद्वैत
परिभाषा के अनुसार, दो त्रिभुज परिप्रेक्ष्य (ज्यामिति) हैं यदि और केवल यदि वे परिप्रेक्ष्य में केंद्र में हैं (या, समतुल्य रूप से इस प्रमेय के अनुसार, अक्षीय परिप्रेक्ष्य में)। ध्यान दें कि परिप्रेक्ष्य त्रिकोणों को समानता (ज्यामिति) होने की आवश्यकता नहीं है।
मानक द्वैत (प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री) के तहत (जहां अंक रेखाओं के अनुरूप होते हैं और बिंदुओं की संरेखता रेखाओं की संगामिति से मेल खाती है), डेसार्ग्स के प्रमेय का कथन स्व-द्वैत है: अक्षीय परिप्रेक्ष्य को केंद्रीय परिप्रेक्ष्य में अनुवादित किया जाता है और इसके विपरीत। Desargues कॉन्फ़िगरेशन (नीचे) एक स्व-दोहरी कॉन्फ़िगरेशन है।[3] कथन में यह आत्म-द्वैत प्रमेय लिखने के सामान्य आधुनिक तरीके के कारण है। ऐतिहासिक रूप से, प्रमेय केवल पढ़ता है, एक प्रक्षेप्य स्थान में, केंद्रीय परिप्रेक्ष्य त्रिकोण की एक जोड़ी अक्षीय रूप से परिप्रेक्ष्य है और इस कथन के दोहरे को प्रमेय # प्रमेय के प्रमेय कहा जाता था और हमेशा उस नाम से संदर्भित किया जाता था।[4]
Desargues के प्रमेय का सबूत
Desargues का प्रमेय किसी भी क्षेत्र या विभाजन वलय पर किसी भी आयाम के प्रक्षेपी स्थान के लिए है, और कम से कम 3 आयामों के सार प्रक्षेपी रिक्त स्थान के लिए भी है। आयाम 2 में जिन तलों के लिए इसे धारण किया जाता है, उन्हें Desarguesian तल कहा जाता है और ये उन तलों के समान होते हैं जो एक डिवीजन रिंग पर निर्देशांक दिए जा सकते हैं। ऐसे कई गैर-डेसार्गेसियन विमान भी हैं जहां डेसार्गस प्रमेय लागू नहीं होता है।
त्रि-आयामी प्रमाण
Desargues का प्रमेय कम से कम 3 आयाम के किसी भी प्रक्षेपी स्थान के लिए सत्य है, और आम तौर पर किसी भी प्रक्षेपी स्थान के लिए सत्य है जिसे कम से कम 3 आयाम के स्थान में एम्बेड किया जा सकता है।
Desargues के प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता है:
- यदि रेखाएँ Aa, Bb और Cc समवर्ती हैं (एक बिंदु पर मिलते हैं), फिर
- बिन्दु AB ∩ ab, AC ∩ ac और BC ∩ bc संरेख हैं।
बिन्दु A, B, a और b समतलीय हैं (समान समतल में स्थित हैं) क्योंकि कल्पित संगामिति है Aa और Bb. इसलिए रेखाएँ AB और ab एक ही तल के हैं और उन्हें प्रतिच्छेद करना चाहिए। इसके अलावा, यदि दो त्रिभुज अलग-अलग तलों पर स्थित हैं, तो बिंदु AB ∩ ab दोनों विमानों से संबंधित है। एक सममित तर्क द्वारा, अंक AC ∩ ac और BC ∩ bc भी मौजूद हैं और दोनों त्रिकोणों के विमानों से संबंधित हैं। चूँकि ये दो तल एक से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, उनका प्रतिच्छेदन एक ऐसी रेखा है जिसमें तीनों बिंदु होते हैं।
यह Desargues के प्रमेय को सिद्ध करता है यदि दो त्रिभुज एक ही तल में समाहित नहीं हैं। यदि वे एक ही तल में हैं, तो Desargues के प्रमेय को एक ऐसे बिंदु को चुनकर सिद्ध किया जा सकता है जो समतल में नहीं है, इसका उपयोग करके त्रिभुजों को तल से बाहर उठाएं ताकि ऊपर दिया गया तर्क काम करे, और फिर वापस तल में प्रक्षेपित हो। प्रमाण का अंतिम चरण विफल हो जाता है यदि प्रक्षेप्य स्थान का आयाम 3 से कम है, क्योंकि इस मामले में विमान में नहीं एक बिंदु को खोजना संभव नहीं है।
Monge के प्रमेय में यह भी दावा किया गया है कि तीन बिंदु एक रेखा पर स्थित हैं, और दो आयामों के बजाय तीन में विचार करने और दो विमानों के चौराहे के रूप में रेखा लिखने के समान विचार का उपयोग करके एक सबूत है।
द्वि-आयामी प्रमाण
जैसा कि गैर-डेसार्गेसियन प्रक्षेपी विमान हैं जिनमें डेसार्गेस का प्रमेय सत्य नहीं है,[5] कुछ अतिरिक्त शर्तों को पूरा करने की आवश्यकता है इसे साबित करने का आदेश। ये स्थितियाँ आमतौर पर एक निश्चित प्रकार के पर्याप्त रूप से कई संयोजनों के अस्तित्व को मानने का रूप लेती हैं, जो बदले में यह दर्शाता है कि अंतर्निहित बीजगणितीय समन्वय प्रणाली एक विभाजन वलय (तिरछा क्षेत्र) होना चाहिए।[6]
पप्पस के प्रमेय से संबंध
पप्पस के षट्भुज प्रमेय में कहा गया है कि, यदि एक षट्भुज AbCaBc को इस तरह से खींचा जाता है कि वर्टिकल a, b और c एक रेखा और शीर्ष पर स्थित हैं A, B और C दूसरी रेखा पर स्थित हों, तो षट्भुज की प्रत्येक दो विपरीत भुजाएँ दो रेखाओं पर स्थित होती हैं जो एक बिंदु पर मिलती हैं और इस प्रकार निर्मित तीन बिंदु संरेखी होते हैं। एक तल जिसमें पप्पस का प्रमेय सार्वभौमिक रूप से सत्य है, पप्पियन कहलाता है। Hessenberg (1905)[7] दिखाया गया है कि पेपस के प्रमेय के तीन अनुप्रयोगों से Desargues के प्रमेय को घटाया जा सकता है।[8] इस परिणाम का प्रमेय#विपरीत सत्य नहीं है, अर्थात सभी डेसार्गेसियन तल पप्पियन नहीं हैं। पप्पस के प्रमेय को सार्वभौमिक रूप से संतुष्ट करना अंतर्निहित समन्वय प्रणाली को विनिमेय होने के बराबर है। एक गैर-कम्यूटेटिव डिवीजन रिंग (एक डिवीजन रिंग जो एक क्षेत्र नहीं है) पर परिभाषित एक विमान इसलिए Desarguesian होगा लेकिन Pappian नहीं। हालांकि, वेडरबर्न के छोटे प्रमेय के कारण, जिसमें कहा गया है कि सभी परिमित विभाजन वलय क्षेत्र हैं, सभी परिमित डेसार्गेसियन विमान पप्पियन हैं। हालांकि, इस तथ्य का कोई पूरी तरह से ज्यामितीय प्रमाण ज्ञात नहीं है Bamberg & Penttila (2015) एक प्रमाण दें जो केवल प्रारंभिक बीजगणितीय तथ्यों का उपयोग करता है (वेडरबर्न के छोटे प्रमेय की पूरी ताकत के बजाय)।
Desargues कॉन्फ़िगरेशन
Desargues प्रमेय में शामिल दस पंक्तियाँ (त्रिकोण की छह भुजाएँ, तीन रेखाएँ Aa, Bb और Cc, और परिप्रेक्ष्य की धुरी) और इसमें शामिल दस बिंदु (छह कोने, परिप्रेक्ष्य की धुरी पर चौराहे के तीन बिंदु और परिप्रेक्ष्य का केंद्र) इस तरह से व्यवस्थित हैं कि दस में से प्रत्येक रेखा दस में से तीन से होकर गुजरती है अंक, और दस बिंदुओं में से प्रत्येक दस रेखाओं में से तीन पर स्थित है। वे दस बिंदु और दस रेखाएँ Desargues कॉन्फ़िगरेशन बनाती हैं, जो प्रक्षेपी विन्यास का एक उदाहरण है। हालांकि डेसार्गस की प्रमेय इन दस रेखाओं और बिंदुओं के लिए अलग-अलग भूमिकाएं चुनती है, डेसार्गस विन्यास अपने आप में अधिक समरूपता है: दस बिंदुओं में से किसी को भी परिप्रेक्ष्य का केंद्र चुना जा सकता है, और यह विकल्प निर्धारित करता है कि कौन से छह बिंदु त्रिकोण के कोने होंगे और कौन सी रेखा परिप्रेक्ष्य की धुरी होगी।
थोड़ा Desargues प्रमेय
इस प्रतिबंधित संस्करण में कहा गया है कि यदि दो त्रिकोण किसी दिए गए रेखा पर एक बिंदु से परिप्रेक्ष्य हैं, और इसी रेखा पर संगत भुजाओं के दो जोड़े भी मिलते हैं, तो संबंधित पक्षों की तीसरी जोड़ी रेखा पर भी मिलती है। इस प्रकार, यह Desargues के प्रमेय की विशेषज्ञता केवल उन मामलों में है जिनमें परिप्रेक्ष्य का केंद्र परिप्रेक्ष्य की धुरी पर स्थित है।
एक मौफांग विमान एक प्रक्षेपी विमान है जिसमें प्रत्येक पंक्ति के लिए थोड़ा डेसार्ग्स प्रमेय मान्य है।
यह भी देखें
- पास्कल का प्रमेय
टिप्पणियाँ
- ↑ Smith (1959, p. 307)
- ↑ Katz (1998, p. 461)
- ↑ (Coxeter 1964) pp. 26–27.
- ↑ (Coxeter 1964, pg. 19)
- ↑ The smallest examples of these can be found in Room & Kirkpatrick 1971.
- ↑ (Albert & Sandler 2015), (Hughes & Piper 1973), and (Stevenson 1972).
- ↑ According to (Dembowski 1968, pg. 159, footnote 1), Hessenberg's original proof is not complete; he disregarded the possibility that some additional incidences could occur in the Desargues configuration. A complete proof is provided by Cronheim 1953.
- ↑ Coxeter 1969, p. 238, section 14.3
संदर्भ
- Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (2015) [1968], An Introduction to Finite Projective Planes, Dover, ISBN 978-0-486-78994-1
- Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), "Completing Segre's proof of Wedderburn's little theorem", Bulletin of the London Mathematical Society, 47 (3): 483–492, doi:10.1112/blms/bdv021, S2CID 123036578
- Casse, Rey (2006), Projective Geometry: An Introduction, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
- Coxeter, H.S.M. (1964), Projective Geometry, Blaisdell
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
- Cronheim, Arno (1953), "A proof of Hessenberg's theorem", Proceedings of the American Mathematical Society, 4 (2): 219–221, doi:10.2307/2031794, JSTOR 2031794, MR 0053531
- Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-61786-0
- Hessenberg, Gerhard (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Mathematische Annalen, Springer, 61 (2): 161–172, doi:10.1007/BF01457558, ISSN 1432-1807, S2CID 120456855
- Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), Chelsea, pp. 119–128, ISBN 0-8284-1087-9
- Hughes, Dan; Piper, Fred (1973), Projective Planes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Kárteszi, Ferenc (1976), Introduction to Finite Geometries, North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
- Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics:An Introduction (2nd ed.), Reading, Mass.: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
- Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), "The axiomatic destiny of the theorems of Pappus and Desargues", in Dani, S. G.; Papadopoulos, A. (eds.), Geometry in history, Springer, pp. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
- Room, Thomas G.; Kirkpatrick, P. B. (1971), Miniquaternion Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
- Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 0-486-64690-4
- Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes, W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0443-9
- Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Desargues assumption", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
