बोरेल सबलजेब्रा

गणित में, विशेष रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, लाइ बीजगणित का एक बोरेल सबलजेब्रा ${\mathfrak {g}}$ एक अधिक से अधिक हल करने योग्य लाई अलजेब्रा सबलजेब्रा है। धारणा का नाम आर्मंड बोरेल के नाम पर रखा गया है।

अगर झूठ बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ एक जटिल लाइ समूह का लाई बीजगणित है, तो एक बोरेल सबलजेब्रा बोरेल उपसमूह का लाई बीजगणित है।

एक झंडे से जुड़ा बोरेल सबलजेब्रा

होने देना ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)$ सम्मिश्र संख्याओं पर एक परिमित-आयामी सदिश स्थान V के एंडोमोर्फिज़्म का झूठा बीजगणित हो। फिर एक बोरेल सबलजेब्रा निर्दिष्ट करने के लिए ${\mathfrak {g}}$ वी के एक ध्वज (रैखिक बीजगणित) को निर्दिष्ट करने की मात्रा; एक झंडा दिया $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$, उप-स्थान ${\mathfrak {b}}=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid x(V_{i})\subset V_{i},1\leq i\leq n\}$ एक बोरेल सबलजेब्रा है, और इसके विपरीत, ली के प्रमेय द्वारा प्रत्येक बोरेल सबलजेब्रा उस रूप का है। इसलिए, बोरेल सबलगेब्रस को वी की ध्वज विविधता द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।

जड़ प्रणाली के आधार के सापेक्ष बोरेल सबलजेब्रा

होने देना ${\mathfrak {g}}$ एक जटिल अर्धसरल झूठ बीजगणित हो, ${\mathfrak {h}}$ a Cartan subalgebra और R उनसे जुड़ी जड़ प्रणाली। आर का आधार चुनने से सकारात्मक जड़ों की धारणा मिलती है। तब ${\mathfrak {g}}$ अपघटन है ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ कहाँ ${\mathfrak {n}}^{\pm }=\sum _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }$. तब ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ उपरोक्त सेटअप के सापेक्ष बोरेल सबलजेब्रा है। (यह व्युत्पन्न बीजगणित के बाद से हल करने योग्य है $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]$ शक्तिहीन है। यह सॉल्वेबल सबलजेब्रस की संयुग्मता पर बोरेल-मोरोज़ोव के एक प्रमेय द्वारा अधिकतम सॉल्वेबल है।)

ए दिया ${\mathfrak {g}}$-मॉड्यूल वी, वी का एक 'आदिम तत्व' एक (अशून्य) वेक्टर है जो (1) के लिए वजन वेक्टर है ${\mathfrak {h}}$ और वह (2) द्वारा सत्यानाश कर दिया जाता है ${\mathfrak {n}}^{+}$. यह एक ही बात है ${\mathfrak {b}}$-वेट वेक्टर (सबूत: अगर $h\in {\mathfrak {h}}$ और $e\in {\mathfrak {n}}^{+}$ साथ $[h,e]=2e$ और अगर ${\mathfrak {b}}\cdot v$ एक रेखा है, तो $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$.)

यह भी देखें

• बोरेल उपसमूह
• परवलयिक झूठ बीजगणित

संदर्भ

• Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (2009) [1997], Representation Theory and Complex Geometry, Springer, ISBN 978-0-8176-4938-8.
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7.
• Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [Complex Semisimple Lie Algebras] (in English), translated by Jones, G. A., Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.