रैखिक असमानता

गणित में एक रैखिक असमानता एक असमानता (गणित) है जिसमें एक रैखिक कार्य शामिल होता है। एक रेखीय असमानता में असमानता के प्रतीकों में से एक होता है: * <से कम

• > से अधिक
• ≤ इससे कम या इसके बराबर
• ≥ इससे अधिक या इसके बराबर
• ≠ के बराबर नहीं

एक रेखीय असमानता बिल्कुल एक रेखीय समीकरण की तरह दिखती है, जिसमें असमानता का चिह्न समानता के चिह्न को प्रतिस्थापित करता है।

वास्तविक संख्याओं की रेखीय असमानताएँ

द्वि-आयामी रैखिक असमानताएँ

Graph of linear inequality:
x + 3y < 9

द्वि-आयामी रैखिक असमानताएँ प्रपत्र के दो चरों में व्यंजक हैं:

$ax+by<c{\text{ and }}ax+by\geq c,$

जहां असमानताएं या तो सख्त हो सकती हैं या नहीं। इस तरह की असमानता के समाधान सेट को यूक्लिडियन विमान में आधे विमान (एक निश्चित रेखा के एक तरफ के सभी बिंदुओं) द्वारा ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। वह रेखा जो अर्ध-तलों (ax + by = c) को निर्धारित करती है, असमानता के सख्त होने पर समाधान सेट में शामिल नहीं होती है। समाधान सेट में कौन सा आधा विमान है यह निर्धारित करने के लिए एक सरल प्रक्रिया एक बिंदु (x) पर ax + by के मान की गणना करना है।₀, और₀) जो रेखा पर नहीं है और देखें कि असमानता संतुष्ट है या नहीं।

उदाहरण के लिए, x + 3y < 9 का हल सेट निकालने के लिए, सबसे पहले समीकरण x + 3y = 9 के साथ बिंदीदार रेखा खींची जाती है, यह इंगित करने के लिए कि रेखा समाधान सेट में शामिल नहीं है क्योंकि असमानता सख्त है। फिर, रेखा पर नहीं एक सुविधाजनक बिंदु चुनें, जैसे (0,0)। चूंकि 0 + 3(0) = 0 < 9, यह बिंदु समाधान सेट में है, इसलिए इस बिंदु को शामिल करने वाला आधा विमान (रेखा के नीचे का आधा विमान) इस रैखिक असमानता का समाधान सेट है।

सामान्य आयामों में रेखीय असमानताएं

आर मेंⁿ रैखिक असमिकाएँ वे व्यंजक हैं जिन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है

$f({\bar {x}})<b$ या $f({\bar {x}})\leq b,$ जहाँ f एक रेखीय रूप है (जिसे रेखीय फलन भी कहा जाता है), ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ और b एक स्थिर वास्तविक संख्या है।

अधिक ठोस रूप से, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b$

या

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.$

यहाँ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ अज्ञात कहलाते हैं, और $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ गुणांक कहलाते हैं।

वैकल्पिक रूप से, इन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है

$g(x)<0\,$ या $g(x)\leq 0,$ जहां जी एक affine समारोह है।

वह है

$a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0$

या

$a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.$

ध्यान दें कि किसी भी असमानता में से अधिक या उससे अधिक या बराबर चिह्न वाली असमानता को कम या उससे कम या बराबर चिह्न के साथ फिर से लिखा जा सकता है, इसलिए उन संकेतों का उपयोग करके रैखिक असमानताओं को परिभाषित करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

रैखिक असमानताओं की प्रणाली

रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली समान चरों में रैखिक असमानताओं का एक समूह है:

${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

यहाँ $x_{1},\ x_{2},...,x_{n}$ अनजान हैं, $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ सिस्टम के गुणांक हैं, और $b_{1},\ b_{2},...,b_{m}$ स्थिर पद हैं।

इसे संक्षेप में मैट्रिक्स (गणित) असमानता के रूप में लिखा जा सकता है

$Ax\leq b,$

जहाँ A एक m×n मैट्रिक्स है, x चरों का एक n×1 स्तंभ सदिश है, और b स्थिरांकों का एक m×1 स्तंभ सदिश है।

उपरोक्त प्रणालियों में सख्त और गैर-सख्त असमानताओं का उपयोग किया जा सकता है।

• रैखिक असमानताओं की सभी प्रणालियों के समाधान नहीं होते हैं।

फूरियर-मोट्ज़किन उन्मूलन का उपयोग करके रैखिक असमानताओं की प्रणालियों से चर को समाप्त किया जा सकता है।

अनुप्रयोग

पॉलीहेड्रा

एक वास्तविक रेखीय असमानता के समाधान के समुच्चय में 'एन'-आयामी वास्तविक स्थान का आधा-स्थान (ज्यामिति)|आधा-स्थान होता है, जो संबंधित रैखिक समीकरण द्वारा परिभाषित दो में से एक है।

रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली के समाधान का सेट व्यक्तिगत असमानताओं द्वारा परिभाषित आधे-स्थानों के प्रतिच्छेदन से मेल खाता है। यह एक उत्तल सेट है, क्योंकि आधे स्थान उत्तल सेट हैं, और उत्तल सेटों के एक सेट का प्रतिच्छेदन भी उत्तल है। गैर-पतित मामलों में यह उत्तल सेट एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन है (संभवतः अबाधित, उदाहरण के लिए, आधा स्थान, दो समानांतर अर्ध-रिक्त स्थान या बहुफलकीय शंकु के बीच एक स्लैब)। यह खाली भी हो सकता है या निचले आयाम का एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन भी हो सकता है जो एन-डायमेंशनल स्पेस 'आर' के एक affine उपक्षेत्र तक सीमित हो।^एन.

रैखिक प्रोग्रामिंग

Main article: Linear programming

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या चर पर कई बाधाओं के अधीन एक फ़ंक्शन (अधिकतम या न्यूनतम मान ढूंढें) को अनुकूलित करने की कोशिश करती है, जो सामान्य रूप से रैखिक असमानताएं हैं। बाधाओं की सूची रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली है।

सामान्यीकरण

उपरोक्त परिभाषा के लिए जोड़, गुणा और तुलना (गणित) के सुपरिभाषित संक्रियाओं की आवश्यकता है; इसलिए, एक रेखीय असमानता की धारणा को क्रमबद्ध वलयों और विशेष रूप से आदेशित क्षेत्रों तक विस्तारित किया जा सकता है।

स्रोत

• Angel, Allen R.; Porter, Stuart R. (1989), A Survey of Mathematics with Applications (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-13696-1
• Miller, Charles D.; Heeren, Vern E. (1986), Mathematical Ideas (5th ed.), Scott, Foresman, ISBN 0-673-18276-2

बाहरी संबंध

• Khan Academy: Linear inequalities, free online micro lectures