सामान्यीकृत बहुभुज

क्रम 2 का विभाजित केली षट्भुज

गणित में, एक सामान्यीकृत बहुभुज 1959 में जैक्स स्तन द्वारा पेश की गई एक घटना संरचना है। = 4)। कई सामान्यीकृत बहुभुज झूठ प्रकार के समूहों से उत्पन्न होते हैं, लेकिन ऐसे भी हैं जो इस तरह से प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं। 'रूथ मौफांग संपत्ति' के रूप में जानी जाने वाली एक तकनीकी स्थिति को संतुष्ट करने वाले सामान्यीकृत बहुभुजों को पूरी तरह से टिट्स और वीस द्वारा वर्गीकृत किया गया है। प्रत्येक सामान्यीकृत एन-गॉन एन सम के साथ भी एक निकट बहुभुज है।

परिभाषा

एक सामान्यीकृत 2-गॉन (या एक डिगोन) कम से कम 2 बिंदुओं और 2 रेखाओं के साथ एक घटना संरचना है जहां प्रत्येक बिंदु प्रत्येक रेखा के लिए घटना है।

के लिए$n\geq 3$एक सामान्यीकृत एन-गॉन एक घटना संरचना है ($P,L,I$), कहाँ $P$ बिंदुओं का समूह है, $L$ लाइनों का सेट है और $I\subseteq P\times L$ घटना संबंध है, जैसे कि:

• यह आंशिक रैखिक स्थान है।
• इसके लिए उपज्यामिति के रूप में कोई सामान्य एम-गॉन नहीं है$2\leq m<n$.
• इसमें एक उप-ज्यामिति के रूप में एक साधारण एन-गॉन है।
• किसी के लिए $\{A_{1},A_{2}\}\subseteq P\cup L$ वहाँ एक उपज्यामिति मौजूद है ($P',L',I'$) एक साधारण एन-गॉन के लिए आइसोमॉर्फिक जैसे कि $\{A_{1},A_{2}\}\subseteq P'\cup L'$.

इन स्थितियों को व्यक्त करने का एक समतुल्य लेकिन कभी-कभी सरल तरीका है: शीर्ष सेट के साथ द्विदलीय ग्राफ घटना ग्राफ पर विचार करें $P\cup L$ और बिंदुओं और रेखाओं के घटना युग्मों को जोड़ने वाले किनारे।

• घटना ग्राफ का घेरा (ग्राफ सिद्धांत) घटना ग्राफ के व्यास (ग्राफ सिद्धांत) n से दोगुना है।

इससे यह स्पष्ट होना चाहिए कि सामान्यीकृत बहुभुजों के आपतन ग्राफ मूर ग्राफ हैं।

एक सामान्यीकृत बहुभुज कोटि (s,t) का होता है यदि:

• के तत्वों के अनुरूप घटना ग्राफ के सभी कोने $L$ कुछ प्राकृतिक संख्या s के लिए समान डिग्री s + 1 है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक पंक्ति में बिल्कुल s + 1 अंक होते हैं,
• के तत्वों के अनुरूप घटना ग्राफ के सभी कोने $P$ किसी प्राकृत संख्या t के लिए समान घात t + 1 है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक बिंदु ठीक t + 1 रेखा पर स्थित होता है।

हम कहते हैं कि एक सामान्यीकृत बहुभुज मोटा होता है यदि प्रत्येक बिंदु (रेखा) कम से कम तीन रेखाओं (बिंदुओं) के साथ आपतित हो। सभी मोटे सामान्यीकृत बहुभुजों का एक क्रम होता है।

सामान्यीकृत एन-गॉन का दोहरा ($P,L,I$), घटना संरचना है जिसमें बिंदुओं और रेखाओं की धारणा उलटी होती है और घटना संबंध को इसके विपरीत संबंध के रूप में लिया जाता है $I$. यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि यह फिर से एक सामान्यीकृत एन-गॉन है।

उदाहरण

• एक सामान्यीकृत डिगोन का आपतन ग्राफ एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ K है_s+1,t+1.
• किसी भी प्राकृतिक n ≥ 3 के लिए, n भुजाओं वाले साधारण बहुभुज की सीमा पर विचार करें। घटना संबंध के रूप में सेट समावेशन के साथ, बहुभुज के शीर्षों को बिंदु और भुजाओं को रेखाएँ घोषित करें। इसका परिणाम सामान्यीकृत एन-गॉन में एस = टी = 1 के साथ होता है।
• रैंक 2 के ली प्रकार जी के प्रत्येक समूह के लिए एक संबद्ध सामान्यीकृत एन-गॉन एक्स है जिसमें एन बराबर 3, 4, 6 या 8 है जैसे कि जी एक्स के झंडे के सेट पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। परिमित मामले में, के लिए n=6, परिमित सरल समूहों#G2.28q.29 चेवेली समूहों की सूची के लिए क्रम (q, q) का स्प्लिट केली हेक्सागोन प्राप्त करता है। जी₂(क्यू) और आदेश के मुड़ ट्रायलिटी हेक्सागोन (क्यू³, q) परिमित सरल समूहों की सूची के लिए#3D4.28q3.29 स्टाइनबर्ग समूह|³डी₄(क्यू³), और n = 8 के लिए, व्यक्ति क्रम (q, q) का Ree-Tits अष्टकोना प्राप्त करता है²) परिमित सरल समूहों की सूची के लिए#3D4.28q3.29 स्टाइनबर्ग समूह|²एफ₄(क्यू) क्यू = 2 के साथ²ⁿ⁺¹. द्वैत तक, ये केवल ज्ञात मोटे परिमित सामान्यीकृत षट्भुज या अष्टकोना हैं।

मापदंडों पर प्रतिबंध

वाल्टर फीट और ग्राहम हिगमैन ने सिद्ध किया कि ऑर्डर (एस, टी) के परिमित सामान्यीकृत एन-गॉन्स s ≥ 2, t ≥ 2 केवल n के निम्नलिखित मानों के लिए मौजूद हो सकता है:

2, 3, 4, 6 या 8. फिट-हिगमैन परिणाम का एक अन्य प्रमाण किल्मॉयर और सोलोमन द्वारा दिया गया था।

इन मूल्यों के लिए सामान्यीकृत n-गोंन्स को सामान्यीकृत डिगोन, त्रिकोण, चतुष्कोण, षट्कोण और अष्टकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है।

जब फीट-हिगमैन प्रमेय को हेमर्स-रूस असमानताओं के साथ जोड़ा जाता है, तो हमें निम्नलिखित प्रतिबंध मिलते हैं,

• यदि n = 2, आपतन ग्राफ एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ है और इस प्रकार s, t स्वेच्छ पूर्णांक हो सकते हैं।
• यदि n = 3, संरचना एक परिमित प्रक्षेपी तल है, और s = t।
• यदि n = 4, संरचना एक परिमित सामान्यीकृत चतुर्भुज है, और t^1/2 ≤ एस ≤ टी^{2</उप>।}
• यदि n = 6, तो st एक वर्ग संख्या है, और t^1/3 ≤ एस ≤ टी^{3</उप>।}
• यदि n = 8, तो दूसरा एक वर्ग है, और t^1/2 ≤ एस ≤ टी^{2</उप>।}
• यदि एस या टी को 1 होने की अनुमति है और संरचना सामान्य एन-गॉन नहीं है तो पहले से सूचीबद्ध एन के मूल्यों के अलावा, केवल एन = 12 संभव हो सकता है।

s, t> 1 के लिए क्रम (s, t) के प्रत्येक ज्ञात परिमित सामान्यीकृत षट्भुज में क्रम होता है

• (क्यू, क्यू): विभाजित केली हेक्सागोन्स और उनके दोहरे,
• (क्यू³, q): ट्विस्टेड ट्रायलिटी हेक्सागोन, या
• (क्यू, क्यू³): डुअल ट्विस्टेड ट्रायलिटी हेक्सागोन,

जहाँ q एक प्रधान शक्ति है।

s, t> 1 के लिए क्रम (s, t) के प्रत्येक ज्ञात परिमित सामान्यीकृत अष्टकोण में क्रम है

• (क्यू, क्यू²): री-टिट्स ऑक्टागन या
• (क्यू², q): दोहरी री-स्तन अष्टकोना,

जहाँ q 2 की विषम शक्ति है।

अर्ध-परिमित सामान्यीकृत बहुभुज

यदि एस और टी दोनों अनंत हैं तो सामान्यीकृत बहुभुज प्रत्येक एन के लिए अधिक या बराबर 2 के लिए मौजूद हैं। यह अज्ञात है कि सामान्यीकृत बहुभुज मौजूद हैं या नहीं, जिनमें से एक पैरामीटर परिमित है (और 1 से बड़ा है) जबकि अन्य अनंत (ये मामले हैं अर्ध-परिमित कहा जाता है)। पीटर कैमरन (गणितज्ञ) ने प्रत्येक पंक्ति पर तीन बिंदुओं के साथ अर्ध-परिमित सामान्यीकृत चतुष्कोणों के गैर-अस्तित्व को साबित किया, जबकि एंड्रयू ब्रेवर और बिल कांटोर ने स्वतंत्र रूप से प्रत्येक पंक्ति पर चार बिंदुओं के मामले को साबित किया। मॉडल सिद्धांत का उपयोग करके जी चेरलिन द्वारा प्रत्येक पंक्ति पर पांच बिंदुओं के लिए गैर-अस्तित्व का परिणाम सिद्ध किया गया था। सामान्यीकृत षट्कोणों या अष्टकोणों के लिए कोई और धारणा बनाए बिना ऐसा कोई परिणाम ज्ञात नहीं है, यहां तक ​​कि प्रत्येक पंक्ति पर तीन बिंदुओं के सबसे छोटे मामले के लिए भी।

मिश्रित अनुप्रयोग

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है कि सामान्यीकृत बहुभुजों के आपतन ग्राफ़ में महत्वपूर्ण गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम (s,s) का प्रत्येक सामान्यीकृत n-gon एक (s+1,2n) पिंजरा (ग्राफ़ सिद्धांत) है। वे विस्तारक ग्राफ से भी संबंधित हैं क्योंकि उनके पास अच्छे विस्तार गुण हैं। सामान्यीकृत बहुभुजों से चरम विस्तारक ग्राफ के कई वर्ग प्राप्त किए जाते हैं। रैमसे सिद्धांत में, सामान्यीकृत बहुभुज का उपयोग करके बनाए गए ग्राफ़ हमें विकर्ण रैमसे नंबरों पर सबसे अच्छी ज्ञात रचनात्मक निचली सीमाएँ देते हैं।

यह भी देखें

• बिल्डिंग (गणित)
• (बी, एन) जोड़ी
• री समूह
• मौफांग बहुभुज
• बहुभुज के पास

संदर्भ

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