अनुरूप समरूपता

गणितीय भौतिकी में, अंतरिक्ष समय की अनुरूप समरूपता पॉइनकेयर समूह के विस्तार द्वारा व्यक्त की जाती है, जिसे अनुरूप समूह के रूप में जाना जाता है। विस्तार में विशेष अनुरूप परिवर्तन और फैलाव (एफ़ाइन ज्योमेट्री) शामिल हैं। तीन स्थानिक और एक बार के आयामों में, अनुरूप समरूपता में स्वतंत्रता की 15 डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) होती है: पोंकारे समूह के लिए दस, विशेष अनुरूप परिवर्तनों के लिए चार, और एक फैलाव के लिए।

हैरी बेटमैन और एबेनेज़र कनिंघम मैक्सवेल के समीकरणों की अनुरूप समरूपता का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने अनुरूप समरूपता की एक सामान्य अभिव्यक्ति को एक गोलाकार तरंग परिवर्तन कहा। दो स्पेसटाइम आयामों में सामान्य सापेक्षता भी अनुरूप समरूपता का आनंद लेती है।

जेनरेटर

अनुरूप समूह के झूठ बीजगणित में निम्नलिखित समूह का प्रतिनिधित्व है:

${\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}$

कहाँ $M_{\mu \nu }$ एक समूह का लोरेंत्ज़ समूह जनरेटिंग सेट है, $P_{\mu }$ अनुवाद (भौतिकी) उत्पन्न करता है, $D$ स्केलिंग परिवर्तन उत्पन्न करता है (जिसे तनुकरण या तनुकरण के रूप में भी जाना जाता है) और $K_{\mu }$ विशेष अनुरूप परिवर्तन उत्पन्न करता है।

रूपान्तरण संबंध

कम्यूटेटर संबंध इस प्रकार हैं:

${\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}$

अन्य कम्यूटेटर गायब हो जाते हैं। यहाँ $\eta _{\mu \nu }$ Minkowski मेट्रिक टेन्सर है।

इसके अतिरिक्त, $D$ एक अदिश राशि है और $K_{\mu }$ लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत एक सहसंयोजक वेक्टर है।

विशेष अनुरूप परिवर्तनों द्वारा दिया जाता है

$x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}$

कहाँ $a^{\mu }$ परिवर्तन का वर्णन करने वाला एक पैरामीटर है। इस विशेष अनुरूप परिवर्तन को इस रूप में भी लिखा जा सकता है $x^{\mu }\to x'^{\mu }$, कहाँ

${\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },$ जो दिखाता है कि इसमें एक उलटा होता है, उसके बाद अनुवाद होता है, उसके बाद दूसरा उलटा होता है।

एक विशेष अनुरूप परिवर्तन से पहले एक समन्वय ग्रिड

एक विशेष अनुरूप परिवर्तन के बाद वही ग्रिड

दो आयामी स्पेसटाइम में, अनुरूप समूह के परिवर्तन अनुरूप ज्यामिति हैं। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत हैं # उनमें से दो आयाम हैं।

दो से अधिक आयामों में, यूक्लिडियन अंतरिक्ष अनुरूप परिवर्तन मंडलियों को हलकों में मैप करते हैं, और हाइपरस्फीयर को एक सीधी रेखा के साथ हाइपरस्फीयर को एक पतित वृत्त और एक हाइपरप्लेन को एक पतित हाइपरसर्कल माना जाता है।

दो से अधिक मिन्कोव्स्की रिक्त स्थान में, अनुरूप परिवर्तन अशक्त किरणों को अशक्त किरणों और प्रकाश शंकुओं को प्रकाश शंकुओं के साथ एक अशक्त हाइपरप्लेन के साथ पतित प्रकाश शंकु के रूप में मैप करते हैं।

अनुप्रयोग

अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत

Main article: Conformal field theory

सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में, शारीरिक रूप से उचित मान्यताओं के तहत कोलमैन-मंडुला प्रमेय द्वारा समरूपता की संभावना सख्ती से प्रतिबंधित है। एक गैर-सुपरसिमेट्री मौलिक बातचीत क्वांटम फील्ड थ्योरी का सबसे बड़ा संभव वैश्विक समरूपता समूह एक आंतरिक समूह के अनुरूप समूह के समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है। ऐसे सिद्धांतों को अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

दूसरे क्रम के चरण संक्रमण

Main article: phase transitions

एक विशेष अनुप्रयोग स्थानीय अंतःक्रियाओं वाली प्रणालियों में महत्वपूर्ण परिघटनाओं के लिए है। उतार चढ़ाव ऐसी प्रणालियों में महत्वपूर्ण बिंदु पर अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय हैं। यह अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में चरण संक्रमणों की सार्वभौमिकता वर्गों के वर्गीकरण की अनुमति देता है

उच्च रेनॉल्ड्स संख्या में द्वि-आयामी अशांति में अनुरूप आक्रमण भी मौजूद है।

उच्च-ऊर्जा भौतिकी

उच्च-ऊर्जा भौतिकी में अध्ययन किए गए कई सिद्धांत अनुरूप समरूपता को स्वीकार करते हैं, क्योंकि यह आम तौर पर स्थानीय पैमाने पर अपरिवर्तनीयता से निहित होता है (प्रेरणा और प्रति-उदाहरण के लिए Conformal_field_theory#Scale_invariance_vs_conformal_invariance देखें)। विज्ञापन/सीएफटी पत्राचार के लिए इसकी प्रासंगिकता के कारण एक प्रसिद्ध उदाहरण डी = 4, एन = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत | एन = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत है। इसके अलावा, स्ट्रिंग सिद्धांत में worldsheet को द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत द्वारा द्वि-आयामी गुरुत्वाकर्षण के साथ वर्णित किया गया है।

जाली मॉडल में अनुरूप आविष्कार के गणितीय प्रमाण

भौतिकविदों ने पाया है कि कई जाली मॉडल महत्वपूर्ण सीमा में अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय हो जाते हैं। हालाँकि, इन परिणामों के गणितीय प्रमाण बहुत बाद में और केवल कुछ मामलों में ही सामने आए हैं।

2010 में, गणितज्ञ स्टानिस्लाव स्मिरनोव को रिसाव सिद्धांत के अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय और सांख्यिकीय भौतिकी में प्लानर आइसिंग मॉडल के प्रमाण के लिए फील्ड मेडल से सम्मानित किया गया था।

2020 में, गणितज्ञ ह्यूग डुमिनिल-कोपिन और उनके सहयोगियों ने साबित किया कि कई भौतिक प्रणालियों में चरणों के बीच की सीमा पर घूर्णी आक्रमण मौजूद है। रेफरी>"गणितज्ञ चरण संक्रमणों की समरूपता सिद्ध करते हैं". Wired (in English). ISSN 1059-1028. Retrieved 2021-07-14.</ref>

यह भी देखें

• अनुरूप नक्शा
• अनुरूप समूह
• कोलमैन-मंडुला प्रमेय
• पुनर्सामान्यीकरण समूह
• स्केल इनवेरियन
• सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित
• अनुरूप हत्या समीकरण

स्रोत

• Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pierre; Sénéchal, David (1997). अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत (in English). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94785-3.

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