निलपोटेंट समूह

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, एक निलपोटेंट समूह जी एक समूह (गणित) है जिसमें एक ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला होती है जो जी के साथ समाप्त होती है। समतुल्य रूप से, इसकी केंद्रीय श्रृंखला परिमित लंबाई की है या इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला {1} के साथ समाप्त होती है।

सहज रूप से, एक नीलपोटेंट समूह एक ऐसा समूह है जो लगभग एबेलियन समूह है। यह विचार इस तथ्य से प्रेरित है कि नाइलपोटेंट समूह हल करने योग्य समूह हैं, और परिमित निलपोटेंट समूहों के लिए, अपेक्षाकृत प्रमुख ऑर्डर वाले दो तत्वों को अवश्य ही कम्यूट करना चाहिए। यह भी सच है कि परिमित निलपोटेंट समूह सुपरसॉल्वेबल ग्रुप हैं। इस अवधारणा को 1930 के दशक में रूसी गणितज्ञ सर्गेई चेर्निकोव द्वारा काम करने का श्रेय दिया जाता है। गैलोज़ सिद्धांत के साथ-साथ समूहों के वर्गीकरण में निलपोटेंट समूह उत्पन्न होते हैं। वे झूठ समूहों के वर्गीकरण में भी प्रमुखता से दिखाई देते हैं।

लाई बीजगणित (वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट का उपयोग करके) के लिए समान शब्दों का उपयोग किया जाता है, जिसमें निलपोटेंट लाई बीजगणित, निचला केंद्रीय श्रृंखला और ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला शामिल है।

परिभाषा

परिभाषा समूह के लिए केंद्रीय श्रृंखला के विचार का उपयोग करती है। निलपोटेंट समूह के लिए निम्नलिखित समान परिभाषाएँ हैं G:

• G has a central series of finite length. That is, a series of normal subgroups

  $\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$

  where $G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})$, or equivalently $[G,G_{i+1}]\leq G_{i}$.
• G has a lower central series terminating in the trivial subgroup after finitely many steps. That is, a series of normal subgroups

  $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$

  where $G_{i+1}=[G_{i},G]$.
• G has an upper central series terminating in the whole group after finitely many steps. That is, a series of normal subgroups

  $\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$

  where $Z_{1}=Z(G)$ and $Z_{i+1}$ is the subgroup such that $Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})$.

एक नपुंसक समूह के लिए, सबसे छोटा n ऐसा है कि G की लंबाई की एक केंद्रीय श्रृंखला है n की निलपोटेंसी क्लास कहलाती है G; और G को क्लास का निलपोटेंट कहा जाता है n. (परिभाषा के अनुसार, लंबाई है n अगर वहाँ $n+1$ श्रृंखला में विभिन्न उपसमूह, तुच्छ उपसमूह और पूरे समूह सहित।)

समान रूप से, की शून्यता वर्ग G निचली केंद्रीय श्रृंखला या ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला की लंबाई के बराबर होती है। यदि किसी समूह में सबसे अधिक शून्यता वर्ग है n, तो इसे कभी-कभी शून्य कहा जाता है-n समूह।

यह निलपोटेंसी की परिभाषा के उपरोक्त रूपों में से किसी से तुरंत अनुसरण करता है, कि तुच्छ समूह निलपोटेंसी वर्ग का अनूठा समूह है0, और शून्यता वर्ग के समूह1 वास्तव में गैर-तुच्छ एबेलियन समूह हैं।

उदाहरण

असतत हाइजेनबर्ग समूह के केली ग्राफ का एक हिस्सा, एक प्रसिद्ध निलपोटेंट समूह।

* जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रत्येक एबेलियन समूह शून्य है।

• एक छोटे गैर-अबेलियन उदाहरण के लिए, चतुर्धातुक समूह Q पर विचार करें₈, जो सबसे छोटा नॉन-एबेलियन पी-ग्रुप है। इसका केंद्र क्रम 2 का {1, -1} है, और इसकी ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला {1}, {1, -1}, Q है₈; इसलिए यह कक्षा 2 का शून्य है।
• दो निलपोटेंट समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद निलपोटेंट है।
• सभी परिमित पी-समूह|पी-समूह वास्तव में निलपोटेंट (पी-समूह#गैर-तुच्छ केंद्र) हैं। ऑर्डर पी के समूह का अधिकतम वर्गⁿ n है (उदाहरण के लिए, क्रम 2 का कोई भी समूह कक्षा 1 का शून्य है)। अधिकतम वर्ग के 2-समूह सामान्यीकृत चतुर्धातुक समूह, डायहेड्रल समूह और सेमीडायहेड्रल समूह हैं।
• इसके अलावा, प्रत्येक परिमित निलपोटेंट समूह पी-समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है।* किसी भी क्षेत्र एफ पर ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स # यूनिट्रिएंगुलर मैट्रिक्स एन × एन मैट्रिक्स का गुणक समूह निलपोटेंसी वर्ग एन - 1 का एक यूनिपोटेंट बीजगणितीय समूह है। विशेष रूप से, एन = 3 लेने से हाइजेनबर्ग समूह एच उत्पन्न होता है, गैर का एक उदाहरण- एबेलियन अनंत निलपोटेंट समूह। इसमें केंद्रीय श्रृंखला 1, Z(H), H के साथ शून्यता वर्ग 2 है।
• फ़ील्ड F पर बोरेल उपसमूह n × n आव्यूहों का गुणक समूह सामान्य रूप से शून्य नहीं है, लेकिन हल करने योग्य समूह है।
• कोई भी गैर-अबेलियन समूह G जैसे कि G/Z(G) एबेलियन है, उसकी केंद्रीय श्रृंखला {1}, Z(G), G के साथ निलपोटेंसी वर्ग 2 है।

प्राकृतिक संख्याएँ k जिसके लिए k कोटि का कोई भी समूह nilpotent है, को अभिलक्षित किया गया है (sequence A056867 in the OEIS).

शब्द की व्याख्या

nilpotent समूह को इसलिए कहा जाता है क्योंकि किसी भी तत्व की आसन्न क्रिया निलपोटेंट होती है, जिसका अर्थ है कि निलपोटेंट समूह के लिए $G$ शून्यता की डिग्री $n$ और एक तत्व $g$, कार्यक्रम $\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G$ द्वारा परिभाषित $\operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$ (कहाँ $[g,x]=g^{-1}x^{-1}gx$ का कम्यूटेटर है $g$ और $x$) इस मायने में नगण्य है कि $n$फ़ंक्शन का वें पुनरावृत्ति तुच्छ है: $\left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e$ सभी के लिए $x$ में $G$.

यह निलपोटेंट समूहों की एक परिभाषित विशेषता नहीं है: समूह जिसके लिए $\operatorname {ad} _{g}$ डिग्री का शून्य है $n$ (उपरोक्त अर्थ में) कहलाते हैं $n$-एंगेल समूह, और सामान्य तौर पर कमजोर होने की जरूरत नहीं है। यदि उनके पास परिमित क्रम (समूह सिद्धांत) है तो वे शून्य साबित होते हैं, और जब तक वे अंतिम रूप से उत्पन्न समूह हैं, तब तक उन्हें शून्य होने का अनुमान लगाया जाता है.

एक एबेलियन समूह निश्चित रूप से एक है जिसके लिए आसन्न क्रिया न केवल शून्य है बल्कि तुच्छ (एक 1-एंगेल समूह) है।

गुण

चूंकि प्रत्येक क्रमिक कारक समूह Z_i+1/साथ_i केंद्रीय श्रृंखला में एबेलियन है, और श्रृंखला परिमित है, प्रत्येक नीलपोटेंट समूह अपेक्षाकृत सरल संरचना वाला एक हल करने योग्य समूह है।

वर्ग n के निलपोटेंट समूह का प्रत्येक उपसमूह अधिक से अधिक n वर्ग का निलपोटेंट है; इसके अलावा, यदि f वर्ग n के नीलपोटेंट समूह का एक समूह समरूपता है, तो f की छवि शून्य हैकक्षा के अधिकतम n.

निम्नलिखित बयान परिमित समूहों के लिए समकक्ष हैं, निलपोटेंसी के कुछ उपयोगी गुणों का खुलासा:

1. G is a nilpotent group.
2. If H is a proper subgroup of G, then H is a proper normal subgroup of N_G(H) (the normalizer of H in G). This is called the normalizer property and can be phrased simply as "normalizers grow".
3. Every Sylow subgroup of G is normal.
4. G is the direct product of its Sylow subgroups.
5. If d divides the order of G, then G has a normal subgroup of order d.

सबूत:

(ए) → (बी)

प्रेरण द्वारा | जी |। यदि G आबेली है, तो किसी भी H के लिए, N_G(एच) = जी। यदि नहीं, यदि जेड (जी) एच में निहित नहीं है, तो एच_ZH_Z^-1एच⁻¹ = hHh⁻¹ = एच, इसलिए एच·जेड(जी) नॉर्मलाइजर्स एच। यदि जेड(जी) एच में निहित है, तो एच/जेड(जी) जी/जेड(जी) में निहित है। ध्यान दें, G/Z(G) एक निलपोटेंट समूह है। इस प्रकार, G/Z(G) का एक उपसमूह मौजूद है जो H/Z(G) को सामान्य करता है और H/Z(G) इसका एक उचित उपसमूह है। इसलिए, इस उपसमूह को G के उपसमूह में वापस खींच लें और यह H को सामान्य कर देता है। (यह प्रमाण वही तर्क है जो p-समूहों के लिए है – हमें केवल एक तथ्य की आवश्यकता थी यदि G शून्य है तो G/Z(G) भी शून्य है। – इसलिए विवरण छोड़े गए हैं।)

(बी) → (सी)

चलो पी₁,पी₂,...,पी_s इसके क्रम को विभाजित करने वाले विशिष्ट अभाज्य हों और P को जाने दें_i सिल में_{pi</उप>(जी), 1 ≤ आई ≤ एस। माना P = Pi कुछ के लिए मैं और चलो एन = एनG(पी)। चूँकि P, N का एक सामान्य सिल्लो उपसमूह है, P, N में विशेषता उपसमूह है। चूँकि P char N और N, N का एक सामान्य उपसमूह हैG(एन), हम पाते हैं कि पी एन का एक सामान्य उपसमूह हैG(एन)। इसका मतलब एनG(एन) एन का एक उपसमूह है और इसलिए एनG(एन) = एन। (बी) द्वारा इसलिए हमारे पास एन = जी होना चाहिए, जो (सी) देता है।}

(सी) → (डी)

चलो पी₁,पी₂,...,पी_s इसके क्रम को विभाजित करने वाले विशिष्ट अभाज्य हों और P को जाने दें_i सिल मेंp_i</उप>(जी), 1 ≤ आई ≤ एस। किसी भी t, 1 ≤ t ≤ s के लिए हम आगमनात्मक रूप से दिखाते हैं कि P₁P₂···पी_t P के लिए आइसोमॉर्फिक है₁×P₂×···×P_t.

पहले ध्यान दें कि प्रत्येक पी_i G में सामान्य है इसलिए P₁P₂···पी_t G का एक उपसमूह है। मान लीजिए कि H उत्पाद P है₁P₂···पी_t−1 और माना K = P_t, इसलिए इंडक्शन H द्वारा P के लिए आइसोमोर्फिक है₁×P₂×···×P_t−1. विशेष रूप से,|एच| = |पी₁|⋅|पी₂|⋅···⋅|पी_t−1|। चूंकि |के| = |पी_t|, एच और के के आदेश अपेक्षाकृत प्रमुख हैं। Lagrange के प्रमेय का अर्थ है H और K का प्रतिच्छेदन 1 के बराबर है। परिभाषा के अनुसार, P₁P₂···पी_t = HK, इसलिए HK, H×K के लिए तुल्याकारी है जो P के बराबर है₁×P₂×···×P_t. यह इंडक्शन पूरा करता है। अब (डी) प्राप्त करने के लिए टी = एस लें।

(डी) → (ई)

ध्यान दें कि ऑर्डर पी के पी-समूह^k कोटि p का एक सामान्य उपसमूह है^m सभी के लिए 1≤m≤k. चूँकि G इसके सिलो उपसमूहों का एक प्रत्यक्ष उत्पाद है, और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद पर सामान्यता संरक्षित है, G के प्रत्येक विभाजक d के लिए क्रम d का एक सामान्य उपसमूह है।

(e)→(a)

किसी भी अभाज्य p विभाजन के लिए |G|, Sylow group|Sylow p-subgroup सामान्य है। इस प्रकार हम आवेदन कर सकते हैं (सी) (चूंकि हम पहले ही साबित कर चुके हैं (सी) → (ई))।

वक्तव्य (डी) को अनंत समूहों तक बढ़ाया जा सकता है: यदि जी एक निलपोटेंट समूह है, तो प्रत्येक साइलो उपसमूह जी_p जी का सामान्य है, और इन साइलो उपसमूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद जी में परिमित आदेश के सभी तत्वों का उपसमूह है (मरोड़ उपसमूह देखें)।

निलपोटेंट समूहों के कई गुण हाइपरसेंट्रल समूहों द्वारा साझा किए जाते हैं।

संदर्भ

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• Von Haeseler, Friedrich (2002). Automatic Sequences. De Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 36. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6.
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