चक्रीय मॉड्यूल

गणित में, विशेष रूप से अंगूठी सिद्धांत में, एक चक्रीय मॉड्यूल या मोनोजेनस मॉड्यूल एक मॉड्यूल (गणित) है जो एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है। अवधारणा एक चक्रीय समूह की धारणा का एक सामान्यीकरण है, जो कि एक एबेलियन समूह (यानी जेड-मॉड्यूल) है जो एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है।

परिभाषा

एक बाएं आर-मॉड्यूल एम को 'चक्रीय' कहा जाता है यदि एम को एक तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है अर्थात M = (x) = Rx = {rx | r ∈ R} एम में कुछ एक्स के लिए। इसी तरह, एक सही आर-मॉड्यूल एन चक्रीय है अगर N = yR कुछ के लिए y ∈ N.

उदाहरण

• 2Z जेड-मॉड्यूल के रूप में एक चक्रीय मॉड्यूल है।
• वास्तव में, प्रत्येक चक्रीय समूह एक चक्रीय जेड-मॉड्यूल है।
• हर सरल मॉड्यूल 'आर'-मॉड्यूल 'एम' एक चक्रीय मॉड्यूल है क्योंकि 'एम' के किसी भी गैर-शून्य तत्व 'एक्स' द्वारा उत्पन्न submodule आवश्यक रूप से संपूर्ण मॉड्यूल 'एम' है '। सामान्य तौर पर, एक मॉड्यूल सरल होता है अगर और केवल अगर यह गैर-शून्य है और इसके प्रत्येक गैर-शून्य तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है।
• यदि रिंग आर को अपने ऊपर एक बाएं मॉड्यूल के रूप में माना जाता है, तो इसके चक्रीय सबमॉड्यूल रिंग के रूप में इसके बाएं प्रमुख आदर्श हैं। आर के लिए एक सही आर-मॉड्यूल के रूप में भी यही है, यथोचित परिवर्तनों सहित।
• यदि R, F [x] है, एक फ़ील्ड (गणित) F पर बहुपदों का वलय, और V एक R-मॉड्यूल है जो एक आयाम (रैखिक बीजगणित) भी है। F पर परिमित-आयामी सदिश स्थल, तो जॉर्डन ब्लॉक करता है V पर अभिनय करने वाले x चक्रीय सबमॉड्यूल हैं। (जॉर्डन ब्लॉक सभी समरूपतावाद हैं F[x] / (x − λ)ⁿ; अलग-अलग एनीहिलेटर (रिंग थ्योरी) के साथ अन्य चक्रीय सबमॉड्यूल भी हो सकते हैं; नीचे देखें।)

गुण

• एक चक्रीय आर-मॉड्यूल एम दिया गया है जो एक्स द्वारा उत्पन्न होता है, एम और के बीच एक विहित समरूपता मौजूद है R / Ann_R x, कहाँ Ann_R x R में x के सर्वनाश को दर्शाता है।

• प्रत्येक मॉड्यूल चक्रीय सबमॉड्यूल का योग है।

यह भी देखें

• अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल

संदर्भ

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• B. Hartley; T.O. Hawkes (1970). Rings, modules and linear algebra. Chapman and Hall. pp. 77, 152. ISBN 0-412-09810-5.
• Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 147–149, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001