ध्रुवीय स्थान

गणित में, ज्यामिति के क्षेत्र में, रैंक n का एक ध्रुवीय स्थान (n ≥ 3), या प्रक्षेपी सूचकांक n − 1, में एक सेट P होता है, जिसे पारंपरिक रूप से बिंदुओं का सेट कहा जाता है, साथ में P के कुछ उपसमुच्चय, जिन्हें उप-स्थान कहा जाता है, जो इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं:

• प्रत्येक उपसमष्टि प्रक्षेपी स्थान के लिए तुल्याकारी है P^d(K) साथ −1 ≤ d ≤ (n − 1) और K एक विभाजन की अंगूठी है। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक उपसमष्टि के लिए संगत d उसका आयाम है।
• दो उपसमष्टि का प्रतिच्छेदन सदैव उपसमष्टि होता है।
• प्रत्येक बिंदु के लिए p के आयाम के उप-स्थान A में नहीं है n − 1, आयाम की एक अद्वितीय उपसमष्टि B है n − 1 जिसमें पी और ऐसा है A ∩ B है (n − 2)-आयामी। में अंक A ∩ B वास्तव में ए के बिंदु हैं जो पी के साथ आयाम 1 के एक सामान्य उप-स्थान में हैं।
• आयाम के कम से कम दो असंयुक्त उपसमष्टि हैं n − 1.

बिंदुओं और रेखाओं के बीच केवल संबंध का उपयोग करके वस्तुओं के थोड़े बड़े वर्ग को परिभाषित और अध्ययन करना संभव है: एक ध्रुवीय स्थान एक आंशिक रैखिक स्थान (P,L) है, ताकि प्रत्येक बिंदु के लिए p ∈ P और प्रत्येक पंक्ति l ∈ L, p के समरेख l के बिंदुओं का समूह, या तो एक सिंगलटन या संपूर्ण l है।

परिमित ध्रुवीय स्थान (जहाँ पी एक परिमित समुच्चय है) का भी संयोजक के रूप में अध्ययन किया जाता है।

सामान्यीकृत चतुष्कोण

प्रति पंक्ति तीन बिंदुओं के साथ सामान्यीकृत चतुर्भुज; रैंक 2 का एक ध्रुवीय स्थान

रैंक दो का एक ध्रुवीय स्थान एक सामान्यीकृत चतुर्भुज है; इस मामले में, बाद की परिभाषा में, बिंदु p के साथ रेखा ℓ के बिंदुओं का समुच्चय केवल पूर्ण ℓ है यदि p ∈ ℓ। एक बाद की परिभाषा से पूर्व की परिभाषा को इस धारणा के तहत पुनर्प्राप्त करता है कि रेखाओं में 2 से अधिक बिंदु होते हैं, बिंदु 2 से अधिक रेखाओं पर स्थित होते हैं, और एक रेखा ℓ मौजूद होती है और एक बिंदु p ℓ पर नहीं होता है ताकि p ℓ के सभी बिंदुओं के समरेख हो .

परिमित शास्त्रीय ध्रुवीय स्थान

होने देना $PG(n,q)$ आयाम का प्रक्षेप्य स्थान हो $n$ परिमित क्षेत्र के ऊपर $\mathbb {F} _{q}$ और जाने $f$ अंतर्निहित वेक्टर स्पेस पर एक रिफ्लेक्सिव सेस्क्विलिनियर रूप या क्वाड्रेटिक फॉर्म हो। तब इस रूप से जुड़े परिमित शास्त्रीय ध्रुवीय स्थान के तत्वों में आइसोट्रोपिक द्विघात रूप (जब $f$ एक sesquilinear रूप है) या पूरी तरह से एकवचन उप-स्थान (जब $f$ का द्विघात रूप है)। $PG(n,q)$ इसके संबंध में $f$. फॉर्म का विट का प्रमेय ध्रुवीय अंतरिक्ष में निहित उप-अंतरिक्ष के सबसे बड़े वेक्टर अंतरिक्ष आयाम के बराबर है, और इसे ध्रुवीय अंतरिक्ष का रैंक कहा जाता है। इन परिमित शास्त्रीय ध्रुवीय स्थानों को निम्न तालिका द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है, जहाँ $n$ अंतर्निहित प्रोजेक्टिव स्पेस का आयाम है और $r$ ध्रुवीय अंतरिक्ष की रैंक है। ए में अंकों की संख्या $PG(k,q)$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\theta _{k}(q)$ और यह बराबर है $q^{k}+q^{k-1}+\cdots +1$. कब $r$ के बराबर है $2$, हमें एक सामान्यीकृत चतुर्भुज मिलता है।

Form	$n+1$	Name	Notation	Number of points	Collineation group
Alternating	$2r$	Symplectic	$W(2r-1,q)$	$(q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma Sp} (2r,q)$
Hermitian	$2r$	Hermitian	$H(2r-1,q)$	$(q^{r-1/2}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma U(2r,q)}$
Hermitian	$2r+1$	Hermitian	$H(2r,q)$	$(q^{r+1/2}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma U(2r+1,q)}$
Quadratic	$2r$	Hyperbolic	$Q^{+}(2r-1,q)$	$(q^{r-1}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma O^{+}} (2r,q)$
Quadratic	$2r+1$	Parabolic	$Q(2r,q)$	$(q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma O} (2r+1,q)$
Quadratic	$2r+2$	Elliptic	$Q^{-}(2r+1,q)$	$(q^{r+1}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma O^{-}} (2r+2,q)$

वर्गीकरण

जैक्स स्तन ने साबित किया कि कम से कम तीन रैंक का एक परिमित ध्रुवीय स्थान, ऊपर दिए गए तीन प्रकार के शास्त्रीय ध्रुवीय स्थानों में से एक के साथ हमेशा आइसोमॉर्फिक होता है। यह केवल परिमित सामान्यीकृत चतुष्कोणों को वर्गीकृत करने की समस्या को खोलता है।

संदर्भ

• Cameron, Peter J. (2015), Projective and polar spaces (PDF), QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
• Buekenhout, Francis; Cohen, Arjeh M. (2013), Diagram Geometry (Related to classical groups and buildings), A Series of Modern Surveys in Mathematics, part 3, vol. 57, Heidelberg: Springer, MR 3014979
• Buekenhout, Francis, Prehistory and History of Polar Spaces and of Generalized Polygons (PDF)
• Ball, Simeon (2015), Finite Geometry and Combinatorial Applications, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438.