मौलिक प्रतिनिधित्व

लाई समूहों और झूठ बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, एक मौलिक प्रतिनिधित्व एक इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व है| एक अर्धसूत्रीय लाई बीजगणित लाई समूह का इर्रिड्यूसिबल परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व या झूठ बीजगणित जिसका उच्चतम वजन मौलिक वजन है। उदाहरण के लिए, शास्त्रीय लाई समूह का परिभाषित मॉड्यूल मौलिक प्रतिनिधित्व है। एली कार्टन के कारण एक प्रक्रिया द्वारा मौलिक अभ्यावेदन से अर्ध-सरल लाई समूह या लाई बीजगणित का कोई परिमित-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व बनाया जा सकता है। इस प्रकार एक निश्चित अर्थ में, मौलिक निरूपण मनमाना परिमित-आयामी निरूपण के लिए प्राथमिक निर्माण खंड हैं।

उदाहरण

• सामान्य रैखिक समूह के मामले में, सभी मौलिक प्रतिनिधित्व परिभाषित मॉड्यूल के बाहरी उत्पाद हैं।
• विशेष एकात्मक समूह SU(n)|SU(n) के मामले में, n − मूल निरूपण वेज उत्पाद हैं $\operatorname {Alt} ^{k}\ {\mathbb {C} }^{n}$ k = 1, 2, ..., n − 1 के लिए वैकल्पिक टेन्सर से मिलकर बनता है।
• एक विषम ऑर्थोगोनल समूह, विषम स्पिन समूह के दोहरे आवरण का स्पिन प्रतिनिधित्व, और एक समान ऑर्थोगोनल समूह के दो गुना कवर के दो आधे-स्पिन प्रतिनिधित्व, यहां तक ​​​​कि स्पिनर समूह, मौलिक प्रतिनिधित्व हैं जिन्हें महसूस नहीं किया जा सकता है। टेंसरों का स्थान।
• प्रकार E8 (गणित) के सरल झूठ समूह के एक झूठ समूह का आसन्न प्रतिनिधित्व | ई₈एक मौलिक प्रतिनिधित्व है।

स्पष्टीकरण

सरलता से जुड़े कॉम्पैक्ट समूह लाई समूह के इर्रेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व को उनके उच्चतम वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। ये वज़न एक ऑर्थेंट Q में जाली बिंदु हैं₊ प्रमुख अभिन्न भार वाले लाई समूह के भार जाल में। यह सिद्ध किया जा सकता है कि डायनकिन आरेख के शीर्षों द्वारा अनुक्रमित मूलभूत भारों का एक सेट मौजूद है, जैसे कि कोई भी प्रमुख अभिन्न भार मौलिक भारों का एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन है। संबंधित अलघुकरणीय अभ्यावेदन लाई समूह के मौलिक निरूपण हैं। मौलिक भार के संदर्भ में एक प्रमुख भार के विस्तार से, मौलिक अभ्यावेदन का एक संगत टेन्सर उत्पाद ले सकता है और उस प्रमुख भार के अनुरूप अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की एक प्रति निकाल सकता है।

अन्य उपयोग

लाई थ्योरी के बाहर, मौलिक प्रतिनिधित्व शब्द का उपयोग कभी-कभी सबसे छोटे-आयामी वफादार प्रतिनिधित्व को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, हालांकि इसे अक्सर मानक या परिभाषित प्रतिनिधित्व भी कहा जाता है (इतिहास को संदर्भित करने वाला शब्द, एक अच्छी तरह से परिभाषित होने के बजाय गणितीय अर्थ)।

संदर्भ

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.

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