समचतुर्भुज

For the crystal system, see Rhombohedral crystal system.

Rhombohedron
Type	prism
Faces	6 rhombi
Edges	12
Vertices	8
Symmetry group	Ci , [2+,2+], (×), order 2
Properties	convex, equilateral, zonohedron, parallelohedron

ज्यामिति में, समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज षट्भुज भी कहा जाता है या, गलत विधि से, समचतुर्भुज) छह चेहरों वाली एक त्रि-आयामी आकृति है जो समचतुर्भुज हैं। यह समानांतर चतुर्भुज का विशेष स्थिति है जहां सभी किनारों की लंबाई समान होती है। इसका उपयोग समकोण जाली प्रणाली, परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। समकोण कोशिकाओं के साथ मधुकोश (ज्यामिति) को घनक्षेत्र समचतुर्भुज का विशेष स्थिति है जिसमें सभी भुजाएँ वर्गाकार होती हैं।

सामान्यतः समचतुर्भुज में तीन प्रकार के विषमकोण रूप हो सकते हैं जो सर्वांगसम विपरीत जोड़े C_i समरूपता, क्रम (समूह सिद्धांत) 2 में होते हैं, ।

समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन के चार कोने बनाते हैं, और सभी ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रा इस तरह से बन सकते हैं।

समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन के चार कोने बनाते हैं,

विषमकोणीय जालक तंत्र

Main article: Rhombohedral lattice system

रॉमबोहेड्रल लैटिस सिस्टम में रॉमबोहेड्रल कोशिकाएं होती हैं, जिसमें 6 सर्वांगसम रोम्बिक रूप होते हैं जो त्रिकोणीय समलम्ब चतुर्भुज बनाते हैं:

समरूपता द्वारा विशेष मामले

समचतुर्भुज के विशेष मामले

Form	Cube	Trigonal trapezohedron	Right rhombic prism	Oblique rhombic prism
Angle constraints	$\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }$	$\alpha =\beta =\gamma$	$\alpha =\beta =90^{\circ }$	$\alpha =\beta$
Symmetry	Oh order 48	D3d order 12	D2h order 8	C2h order 4
Faces	6 squares	6 congruent rhombi	2 rhombi, 4 squares	6 rhombi

• क्यूब: ऑक्टाहेड्रल समरूपता के साथ|O_hसममिति, कोटि 48. सभी फलक वर्गाकार हैं।
• त्रिकोणीय समलम्बाकार (यह भी isohedral rhombohedron कहा जाता है): डी के साथ_3d समरूपता, क्रम 12। चेहरों के सभी गैर-आंशिक आंतरिक कोण समान हैं (सभी रूप सर्वांगसम समचतुर्भुज हैं)। यह घन को उसके शरीर-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विपरीत चेहरों पर जुड़े दो नियमित टेट्राहेड्रा वाला नियमित अष्टफलक 60 डिग्री त्रिकोणीय समलम्बाकार का निर्माण करता है।
• 'राइट रोम्बिक प्रिज्म': डी के साथ_2h समरूपता, क्रम 8। यह दो समचतुर्भुज और चार वर्गों द्वारा निर्मित है। इसे घन को उसके फलक-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, नियमित त्रिकोणीय आधारों के साथ दो समकोण प्रिज्म (ज्यामिति) एक साथ जुड़े होने से 60 डिग्री का समचतुर्भुज प्रिज्म बनता है।
• 'ओब्लिक रोम्बिक प्रिज्म': चक्रीय समरूपता के साथ|सी_2hसमरूपता, क्रम 4। इसमें चार शीर्षों और छह समचतुर्भुज चेहरों के माध्यम से समरूपता का केवल एक तल है।

ठोस ज्यामिति

इकाई के लिए (अर्थात: पार्श्व लंबाई 1 के साथ) समफलकीय विषमफलक,समचतुर्भुज तीव्र कोण के साथ $\theta ~$, मूल बिंदु (0, 0, 0) पर शीर्ष के साथ, और एक्स-अक्ष के साथ स्थित किनारे के साथ, तीन उत्पन्न करने वाले वैक्टर हैं

इ₁ : ${\biggl (}1,0,0{\biggr )},$

यह है₂ : ${\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},$

यह है₃ : ${\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.$

अन्य निर्देशांक सदिश योग से प्राप्त किए जा सकते हैं 3 दिशा सदिशों में से: e₁ + और₂ , यह है₁ + और₃ , यह है₂ + और₃, और ई₁ + और₂ + और₃।

आयतन $V$ आइसोहेड्रल रॉमबोहेड्रॉन की, इसकी पार्श्व लंबाई के संदर्भ में $a$ और इसका समचतुर्भुज तीव्र कोण $\theta ~$, समानांतर चतुर्भुज के आयतन का सरलीकरण है, और इसके द्वारा दिया गया है

$V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.$

हम मात्रा व्यक्त कर सकते हैं $V$ एक और तरीका :

$V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.$

जैसा कि (समचतुर्भुज) आधार का क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है $a^{2}\sin \theta ~$, और चूंकि समचतुर्भुज की ऊंचाई इसके आयतन को इसके आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करके दी जाती है, ऊंचाई $h$ इसकी पार्श्व लंबाई के संदर्भ में समफलकीय समचतुर्भुज का $a$ और इसका समचतुर्भुज तीव्र कोण $\theta$ द्वारा दिया गया है

$h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.$

टिप्पणी:

$h=a~z$₃ , कहाँ $z$₃ e का तीसरा निर्देशांक है₃।

तीव्र-कोण वाले शीर्षों के बीच का शरीर विकर्ण सबसे लंबा होता है। उस विकर्ण के बारे में घूर्णी समरूपता के द्वारा, अन्य तीन शरीर विकर्ण, विपरीत अधिक कोण वाले शीर्षों के तीन जोड़े के बीच, सभी समान लंबाई के होते हैं।

यह भी देखें

• आकृतियों की सूची

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Rhombohedron". MathWorld.
• Volume Calculator https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php