सममित बहुपद

This article is about individual symmetric polynomials. For the ring of symmetric polynomials, see ring of symmetric functions.

गणित में, एक सममित बहुपद एक बहुपद है P(X₁, X₂, …, X_n) में n चर, जैसे कि यदि किसी भी चर को आपस में बदल दिया जाए, तो एक ही बहुपद प्राप्त होता है। औपचारिक रूप से, P किसी भी क्रमचय के लिए एक सममित बहुपद है σ सबस्क्रिप्ट का 1, 2, ..., n किसी के पास P(X_σ(1), X_σ(2), …, X_σ(n)) = P(X₁, X₂, …, X_n).

सममित बहुपद स्वाभाविक रूप से एक चर और उसके गुणांक में एक बहुपद की जड़ के बीच के संबंध के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं, क्योंकि गुणांक जड़ों में बहुपद अभिव्यक्तियों द्वारा दिए जा सकते हैं, और सभी जड़ें इस सेटिंग में समान भूमिका निभाती हैं। इस दृष्टिकोण से प्राथमिक सममित बहुपद सबसे मौलिक सममित बहुपद हैं। दरअसल, एक प्रमेय जिसे सममित बहुपदों का मूलभूत प्रमेय कहा जाता है, कहता है कि किसी भी सममित बहुपद को प्राथमिक सममित बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि एक मोनिक बहुपद की जड़ों में प्रत्येक सममित बहुपद व्यंजक वैकल्पिक रूप से बहुपद के गुणांकों में बहुपद व्यंजक के रूप में दिया जा सकता है।

सममित बहुपद भी एक बहुपद की जड़ों से किसी भी संबंध से स्वतंत्र रूप से अपने आप में एक दिलचस्प संरचना बनाते हैं। इस संदर्भ में विशिष्ट सममित बहुपदों के अन्य संग्रह, जैसे पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, और शूर बहुपद प्राथमिक लोगों के साथ महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। परिणामी संरचनाएं, और विशेष रूप से सममित कार्यों की अंगूठी, साहचर्य और प्रतिनिधित्व सिद्धांत में बहुत महत्वपूर्ण हैं।

उदाहरण

निम्नलिखित बहुपद दो चर X में हैं₁ और एक्स₂ सममित हैं:

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7$

$4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}$

जैसा कि तीन चर X में निम्नलिखित बहुपद है₁, एक्स₂, एक्स₃:

$X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}$

किसी भी चर संख्या में विशिष्ट सममित बहुपद बनाने के कई तरीके हैं (नीचे विभिन्न प्रकार देखें)। कुछ भिन्न स्वाद का उदाहरण है

$\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}$

जहां पहले एक बहुपद का निर्माण किया जाता है जो चर के प्रत्येक आदान-प्रदान के तहत हस्ताक्षर बदलता है, और वर्ग (बीजगणित) लेने से यह पूरी तरह से सममित हो जाता है (यदि चर एक बहुपद की जड़ों का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो यह बहुपद अपना विभेदक देता है)।

दूसरी ओर, दो चरों में बहुपद

$X_{1}-X_{2}$

सममित नहीं है, क्योंकि यदि कोई विनिमय करता है $X_{1}$ और $X_{2}$ एक को एक अलग बहुपद मिलता है, $X_{2}-X_{1}$. इसी प्रकार तीन चरों में

$X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}$

तीन चरों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन के तहत केवल समरूपता है, जो एक सममित बहुपद होने के लिए पर्याप्त नहीं है। हालाँकि, निम्नलिखित सममित है:

$X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{4}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{2}X_{2}^{4}X_{3}$

अनुप्रयोग

गाल्वा सिद्धांत

Main article: Galois theory

एक संदर्भ जिसमें सममित बहुपद फलन होते हैं, एक दिए गए क्षेत्र (गणित) में एन जड़ों वाले बहुपद एन की डिग्री के मोनिक बहुपद univariate बहुपदों के अध्ययन में है। ये n जड़ें बहुपद का निर्धारण करती हैं, और जब उन्हें स्वतंत्र चर के रूप में माना जाता है, तो बहुपद के गुणांक जड़ों के सममित बहुपद कार्य होते हैं। इसके अलावा सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय का अर्थ है कि एन जड़ों के एक बहुपद समारोह f को जड़ों द्वारा निर्धारित बहुपद के गुणांकों के (दूसरे) बहुपद समारोह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है यदि और केवल अगर f एक सममित बहुपद द्वारा दिया गया हो।

यह इस मानचित्र को उल्टा करके, समरूपता को तोड़कर बहुपद समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण को प्राप्त करता है - बहुपद के गुणांक (जड़ों में प्राथमिक सममित बहुपद) दिए जाने पर, जड़ों को कैसे पुनर्प्राप्त किया जा सकता है? यह जड़ों के क्रमचय समूह का उपयोग करके बहुपदों के समाधान का अध्ययन करने की ओर जाता है, मूल रूप से लैग्रेंज सॉल्वैंट्स के रूप में, जिसे बाद में गैलोज़ सिद्धांत में विकसित किया गया था।

== एक मोनिक यूनिवेरिएट बहुपद == की जड़ों के साथ संबंध डिग्री एन के टी में एक मोनिक बहुपद पर विचार करें

$P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}$

गुणांक ए के साथ_i किसी क्षेत्र में K. n मूल x मौजूद हैं₁,…,एक्स_n कुछ संभवतः बड़े क्षेत्र में P का (उदाहरण के लिए यदि K वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, तो जड़ें जटिल संख्याओं के क्षेत्र में मौजूद होंगी); कुछ मूल समान हो सकते हैं, लेकिन तथ्य यह है कि सभी जड़ें संबंध द्वारा व्यक्त की जाती हैं

$P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}).$

गुणांकों की तुलना करने पर यह पता चलता है

${\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{1}&=(-1)^{n-1}(x_{2}x_{3}\cdots x_{n}+x_{1}x_{3}x_{4}\cdots x_{n}+\cdots +x_{1}x_{2}\cdots x_{n-2}x_{n}+x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})=\textstyle (-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}x_{j}\\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\end{aligned}}$

ये वास्तव में वियत के सूत्रों के उदाहरण मात्र हैं। वे दिखाते हैं कि बहुपद के सभी गुणांक एक सममित बहुपद व्यंजक द्वारा जड़ों के संदर्भ में दिए गए हैं: हालांकि किसी दिए गए बहुपद P के लिए जड़ों के बीच गुणात्मक अंतर हो सकता है (जैसे आधार क्षेत्र K में पड़ा हो या नहीं, साधारण जड़ हो या न हो) एकाधिक जड़ें), इनमें से कोई भी इन अभिव्यक्तियों में जड़ों के होने के तरीके को प्रभावित नहीं करता है।

अब पी का वर्णन करने के लिए बुनियादी मापदंडों के रूप में गुणांक के बजाय जड़ों को ले कर, और उन्हें एक उपयुक्त क्षेत्र में स्थिरांक के रूप में अनिश्चित के रूप में विचार करके, दृष्टिकोण को बदल सकते हैं; गुणांक ए_i तो उपरोक्त समीकरणों द्वारा दिए गए विशेष सममित बहुपद बन जाते हैं। वे बहुपद, बिना चिह्न के $(-1)^{n-i}$, x में प्रारंभिक सममित बहुपद के रूप में जाना जाता है₁, …, एक्स_n. एक बुनियादी तथ्य, जिसे सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है, कहता है कि एन चर में कोई भी सममित बहुपद इन प्राथमिक सममित बहुपदों के संदर्भ में बहुपद अभिव्यक्ति द्वारा दिया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि एक मोनिक बहुपद की जड़ों में किसी भी सममित बहुपद अभिव्यक्ति को बहुपद के 'गुणांक' में बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और विशेष रूप से इसका मूल्य आधार क्षेत्र 'के' में निहित है जिसमें वे शामिल हैं गुणांक। इस प्रकार, जड़ों में केवल ऐसे सममित बहुपद अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय, उन जड़ों के बारे में विशेष रूप से कुछ भी जानना अनावश्यक है, या किसी भी बड़े क्षेत्र में 'के' की तुलना में गणना करने के लिए जिसमें जड़ें झूठ बोल सकती हैं। वास्तव में मूलों के मान स्वयं अप्रासंगिक हो जाते हैं, और गुणांकों और सममित बहुपद व्यंजकों के बीच आवश्यक संबंध केवल सममित बहुपदों के संदर्भ में अभिकलन द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं। ऐसे संबंधों का एक उदाहरण न्यूटन की सर्वसमिकाएं हैं, जो प्राथमिक सममित बहुपदों के संदर्भ में जड़ों की किसी निश्चित शक्ति के योग को व्यक्त करते हैं।

विशेष प्रकार के सममित बहुपद

चर X में कुछ प्रकार के सममित बहुपद हैं₁, एक्स₂, …, एक्स_n जो मौलिक हैं।

प्राथमिक सममित बहुपद

Main article: Elementary symmetric polynomial

प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए, प्रारंभिक सममित बहुपद e_k(एक्स₁, …, एक्स_n) k विशिष्ट चर के सभी विशिष्ट उत्पादों का योग है। (कुछ लेखक इसे σ द्वारा निरूपित करते हैं_k इसके बजाय।) k = 0 के लिए केवल खाली उत्पाद है इसलिए e₀(एक्स₁, …, एक्स_n) = 1, जबकि k > n के लिए, कोई भी उत्पाद नहीं बनाया जा सकता है, इसलिए e_k(एक्स₁, एक्स₂, …, एक्स_n) = 0 इन मामलों में। शेष एन प्राथमिक सममित बहुपद इन चरों में सभी सममित बहुपदों के लिए बिल्डिंग ब्लॉक्स हैं: जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, चरों में किसी भी सममित बहुपद को केवल गुणन और परिवर्धन का उपयोग करके इन प्राथमिक सममित बहुपदों से प्राप्त किया जा सकता है। वास्तव में निम्नलिखित अधिक विस्तृत तथ्य हैं:

• X में कोई सममित बहुपद P₁, …, एक्स_n बहुपद ई में बहुपद अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जा सकता है_k(एक्स₁, …, एक्स_n) 1 ≤ k ≤ n के साथ;
• यह व्यंजक बहुपद व्यंजकों की तुल्यता तक अद्वितीय है;
• यदि P में पूर्णांक गुणांक हैं, तो बहुपद व्यंजक में पूर्णांक गुणांक भी होते हैं।

उदाहरण के लिए, n = 2 के लिए प्रासंगिक प्राथमिक सममित बहुपद e हैं₁(एक्स₁, एक्स₂) = एक्स₁ + एक्स₂, और ई₂(एक्स₁, एक्स₂) = एक्स₁X₂. उपरोक्त उदाहरणों की सूची में पहले बहुपद को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=e_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-3e_{2}(X_{1},X_{2})e_{1}(X_{1},X_{2})-7$

(गणितीय प्रमाण के लिए कि यह हमेशा संभव है, सममित बहुपदों का मौलिक प्रमेय देखें)।

एकपदी सममित बहुपद

प्रारंभिक सममित बहुपदों की शक्तियाँ और गुणनफल अपेक्षाकृत जटिल व्यंजकों के लिए कार्य करते हैं। यदि कोई सममित बहुपदों के लिए बुनियादी योज्य निर्माण ब्लॉकों की तलाश करता है, तो उन सममित बहुपदों को लेना एक अधिक स्वाभाविक विकल्प है जिसमें केवल एक प्रकार का एकपद होता है, समरूपता प्राप्त करने के लिए केवल उन्हीं प्रतियों की आवश्यकता होती है। एक्स में कोई मोनोमियल₁, …, एक्स_n X के रूप में लिखा जा सकता है₁^α₁…एक्स_n^α_n जहां घातांक α_i प्राकृतिक संख्याएं हैं (संभवतः शून्य); लिखना α= (α₁,…,ए_n) इसे X से संक्षिप्त किया जा सकता है^α. एकपदी सममित बहुपद म_α(एक्स₁, …, एक्स_n) को सभी एकपदी x के योग के रूप में परिभाषित किया गया है^β जहां β (α₁,…,ए_n). उदाहरण के लिए एक है

$m_{(3,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{3}^{3}$,

$m_{(3,2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}^{3}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{3}.$

स्पष्ट रूप से एम_α= मी_β जब β, α का क्रमचय होता है, तो आमतौर पर केवल उन्हीं m पर विचार किया जाता है_α जिसके लिए α₁≥ ए₂≥ … ≥ ए_n, दूसरे शब्दों में जिसके लिए α एक विभाजन (संख्या सिद्धांत) है। ये मोनोमियल सममित बहुपद एक वेक्टर अंतरिक्ष आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं: प्रत्येक सममित बहुपद पी को मोनोमियल सममित बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। ऐसा करने के लिए यह पी में होने वाले विभिन्न प्रकार के मोनोमियल को अलग करने के लिए पर्याप्त है। विशेष रूप से यदि पी में पूर्णांक गुणांक हैं, तो रैखिक संयोजन भी होगा।

प्रारंभिक सममित बहुपद एकपदी सममित बहुपद के विशेष मामले हैं: 0 ≤ k ≤ n के लिए एक है

$e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=m_{\alpha }(X_{1},\ldots ,X_{n})$ जहाँ α k का k भागों 1 में विभाजन है (इसके बाद n − k शून्य)।

पावर-योग सममित बहुपद

Main article: Power sum symmetric polynomial

प्रत्येक पूर्णांक k ≥ 1 के लिए, एकपदी सममित बहुपद m_(k,0,…,0)(एक्स₁, …, एक्स_n) विशेष रुचि है। यह शक्ति योग सममित बहुपद है, जिसे परिभाषित किया गया है

$p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}.$ सभी सममित बहुपदों को पहले n घात योग सममित बहुपदों से जोड़ और गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, संभवतः परिमेय संख्या गुणांकों को शामिल करते हुए। ज्यादा ठीक,

X में कोई सममित बहुपद₁, …, एक्स_n शक्ति योग सममित बहुपद पी में तर्कसंगत गुणांक के साथ एक बहुपद अभिव्यक्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है₁(एक्स₁, …, एक्स_n), …, पी_n(एक्स₁, …, एक्स_n).

विशेष रूप से, शेष घात योग बहुपद p_k(एक्स₁, …, एक्स_n) k > n के लिए पहले n घात योग बहुपदों में व्यक्त किया जा सकता है; उदाहरण के लिए

$p_{3}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {3}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2})-{\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}.$

प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय बहुपदों के लिए स्थिति के विपरीत, पूर्णांक गुणांक वाले n चरों में एक सममित बहुपद को शक्ति योग सममित बहुपदों के अभिन्न गुणांकों के साथ एक बहुपद कार्य नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, n = 2 के लिए, सममित बहुपद

$m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}$

अभिव्यक्ति है

$m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-{\frac {1}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2}).$

तीन चरों का उपयोग करने से एक भिन्न व्यंजक प्राप्त होता है

${\begin{aligned}m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\\&=p_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})p_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})-p_{3}(X_{1},X_{2},X_{3}).\end{aligned}}$

संगत व्यंजक दो चरों के लिए भी मान्य था (यह X सेट करने के लिए पर्याप्त है₃ शून्य तक), लेकिन चूंकि इसमें पी शामिल है₃, इसका उपयोग n = 2 के लिए कथन को चित्रित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। उदाहरण से पता चलता है कि किसी दिए गए मोनोमियल सममित बहुपद के लिए पहले एन पावर योग बहुपद के संदर्भ में अभिव्यक्ति में तर्कसंगत गुणांक शामिल हैं या नहीं, यह एन पर निर्भर हो सकता है। लेकिन प्राथमिक सममित बहुपदों को व्यक्त करने के लिए हमेशा तर्कसंगत गुणांक की आवश्यकता होती है (स्थिर लोगों को छोड़कर, और ई₁ जो पहले घात योग के साथ मेल खाता है) घात योग बहुपद के संदर्भ में। न्यूटन सर्वसमिका ऐसा करने के लिए एक स्पष्ट विधि प्रदान करती है; इसमें n तक पूर्णांकों द्वारा विभाजन शामिल है, जो परिमेय गुणांकों की व्याख्या करता है। इन विभाजनों के कारण, उल्लिखित कथन सामान्य रूप से विफल हो जाता है जब गुणांक परिमित विशेषता (बीजगणित) के क्षेत्र (गणित) में लिया जाता है; हालाँकि, यह तर्कसंगत संख्याओं वाले किसी भी रिंग (गणित) में गुणांक के साथ मान्य है।

पूर्ण सजातीय सममित बहुपद

Main article: Complete homogeneous symmetric polynomial

प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k के लिए, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद h_k(एक्स₁, …, एक्स_n) चर X में एक बहुपद k की डिग्री के सभी अलग-अलग मोनोमियल्स का योग है₁, …, एक्स_n. उदाहरण के लिए

$h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{3}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}+X_{3}^{3}.$

बहुपद एच_k(एक्स₁, …, एक्स_n) X में डिग्री k के सभी विशिष्ट एकपदी सममित बहुपदों का योग भी है₁, …, एक्स_n, उदाहरण के लिए दिए गए उदाहरण के लिए

${\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3})+(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2})+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}$

इन चरों में सभी सममित बहुपदों को पूर्ण सजातीय बहुपदों से बनाया जा सकता है: X में कोई भी सममित बहुपद₁, …, एक्स_n पूर्ण सजातीय सममित बहुपद h से प्राप्त किया जा सकता है₁(एक्स₁, …, एक्स_n), …, एच_n(एक्स₁, …, एक्स_n) गुणा और जोड़ के माध्यम से। ज्यादा ठीक:

X में कोई भी सममित बहुपद P₁, …, एक्स_n बहुपद h में बहुपद व्यंजक के रूप में लिखा जा सकता है_k(एक्स₁, …, एक्स_n) 1 ≤ k ≤ n के साथ।

यदि पी में अभिन्न गुणांक हैं, तो बहुपद अभिव्यक्ति में अभिन्न गुणांक भी हैं।

उदाहरण के लिए, n = 2 के लिए प्रासंगिक पूर्ण सजातीय सममित बहुपद हैं h₁(X₁, X₂) = X₁ + X₂ और h₂(X₁, X₂) = X₁² + X₁X₂ + X₂². उपरोक्त उदाहरणों की सूची में पहले बहुपद को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=-2h_{1}(X_{1},X_{2})^{3}+3h_{1}(X_{1},X_{2})h_{2}(X_{1},X_{2})-7.$

घात योगों के मामले में, दिया गया कथन विशेष रूप से h से परे पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों पर लागू होता है_n(एक्स₁, …, एक्स_n), उन्हें उस बिंदु तक के संदर्भ में व्यक्त करने की अनुमति देता है; परिणामी पहचान फिर से अमान्य हो जाती है जब चर की संख्या बढ़ जाती है।

पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों का एक महत्वपूर्ण पहलू प्राथमिक सममित बहुपदों से उनका संबंध है, जिसे सर्वसमिकाओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{k-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0$, सभी k > 0, और चरों की संख्या n के लिए।

चूंकि ई₀(एक्स₁, …, एक्स_n) और वह₀(एक्स₁, …, एक्स_n) दोनों 1 के बराबर हैं, कोई इन योगों के पहले या अंतिम पद को अलग कर सकता है; पूर्व समीकरणों का एक सेट देता है जो प्राथमिक सममित बहुपदों के संदर्भ में उत्तरोत्तर पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों को पुनरावर्ती रूप से व्यक्त करने की अनुमति देता है, और बाद वाला समीकरणों का एक सेट देता है जो व्युत्क्रम करने की अनुमति देता है। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि किसी भी सममित बहुपद को h के रूप में व्यक्त किया जा सकता है_k(एक्स₁, …, एक्स_n) 1 ≤ k ≤ n के साथ: एक पहले सममित बहुपद को प्रारंभिक सममित बहुपद के संदर्भ में व्यक्त करता है, और फिर उन्हें उल्लिखित पूर्ण सजातीय बहुपद के संदर्भ में व्यक्त करता है।

शूर बहुपद

Main article: Schur polynomial

सममित बहुपदों का एक अन्य वर्ग शूर बहुपदों का है, जो सममित बहुपदों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुप्रयोगों में मूलभूत महत्व के हैं। हालांकि अन्य प्रकार के विशेष सममित बहुपदों के रूप में उनका वर्णन करना उतना आसान नहीं है; विवरण के लिए मुख्य लेख देखें।

बीजगणित में सममित बहुपद

रैखिक बीजगणित, प्रतिनिधित्व सिद्धांत और गैल्वा सिद्धांत के लिए सममित बहुपद महत्वपूर्ण हैं। वे कॉम्बिनेटरिक्स में भी महत्वपूर्ण हैं, जहां उनका ज्यादातर सममित कार्यों की अंगूठी के माध्यम से अध्ययन किया जाता है, जो हर समय एक निश्चित संख्या में चर को ले जाने से बचा जाता है।

वैकल्पिक बहुपद

Main article: Alternating polynomials

सममित बहुपदों के अनुरूप वैकल्पिक बहुपद हैं: बहुपद, जो प्रविष्टियों के क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होने के बजाय क्रमचय के संकेत के अनुसार बदलते हैं।

ये सभी वेंडरमोंड बहुपद और एक सममित बहुपद के उत्पाद हैं, और सममित बहुपदों की अंगूठी का द्विघात विस्तार बनाते हैं: वैंडरमोंड बहुपद विवेचक का एक वर्गमूल है।

यह भी देखें

• सममित समारोह
• न्यूटन की पहचान
• स्टेनली सममित समारोह
• मुइरहेड की असमानता

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
• Macdonald, I.G. (1979), Symmetric Functions and Hall Polynomials. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press.
• I.G. Macdonald (1995), Symmetric Functions and Hall Polynomials, second ed. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (paperback, 1998).
• Richard P. Stanley (1999), Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1