सरल लाई बीजगणित

बीजगणित में, एक सरल लाई बीजगणित एक लाई बीजगणित है जो एबेलियन लाई बीजगणित|गैर-अबेलियन है और इसमें कोई गैर-शून्य उचित आदर्श नहीं है। वास्तविक सरल झूठ बीजगणित का वर्गीकरण विल्हेम हत्या और एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।

साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्धसरल लाई बीजगणित कहा जाता है।

एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित सरल है।

जटिल सरल झूठ बीजगणित

Main article: root system

एक परिमित-आयामी सरल जटिल बीजगणित निम्नलिखित में से किसी एक के लिए आइसोमोर्फिक है: ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$, ${\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C}$, ${\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}$ (शास्त्रीय झूठ बीजगणित) या पाँच असाधारण झूठ बीजगणितों में से एक। प्रत्येक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल बीजगणित के लिए ${\mathfrak {g}}$, एक संबंधित आरेख मौजूद है (जिसे डायनकिन आरेख कहा जाता है) जहां नोड्स सरल जड़ों को निरूपित करते हैं, नोड्स सरल जड़ों के बीच के कोणों के आधार पर कई पंक्तियों द्वारा संयुक्त (या संयुक्त नहीं) होते हैं और यह इंगित करने के लिए तीर लगाए जाते हैं कि क्या जड़ें लंबी या छोटी होती हैं। का डायनकिन आरेख ${\mathfrak {g}}$ अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है ${\mathfrak {g}}$ साधारण है। सभी संभव कनेक्टेड डाइकिन डायग्राम निम्नलिखित हैं:

जहां n नोड्स (सरल जड़ें) की संख्या है। आरेखों और जटिल सरल झूठ बीजगणित का पत्राचार इस प्रकार है::(ए_n) $\quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C}$

(बी_n) $\quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C}$

(सी_n) $\quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}$

(डी_n) $\quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C}$

बाकी, असाधारण झूठ बीजगणित।

वास्तविक सरल झूठ बीजगणित

अगर ${\mathfrak {g}}_{0}$ एक परिमित-आयामी वास्तविक सरल लाई बीजगणित है, इसकी जटिलता या तो (1) सरल या (2) एक साधारण जटिल लाई बीजगणित का एक उत्पाद है और यह एक जटिल लाई बीजगणित का संयुग्म है। उदाहरण के लिए, की जटिलता ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ एक वास्तविक झूठ बीजगणित के रूप में सोचा जाता है ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}$. इस प्रकार, एक वास्तविक सरल झूठ बीजगणित को जटिल सरल झूठ बीजगणित और कुछ अतिरिक्त जानकारी के वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। यह Satake आरेखों द्वारा किया जा सकता है जो Dynkin आरेखों का सामान्यीकरण करते हैं। वास्तविक सरल झूठ बीजगणित की आंशिक सूची के लिए झूठ समूहों की तालिका#असली झूठ बीजगणित भी देखें।

यह भी देखें

• सरल झूठ समूह
• वोगेल विमान

संदर्भ

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4; Chapter X considers a classification of simple Lie algebras over a field of characteristic zero.

• "Lie algebra, semi-simple", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Simple Lie algebra at the nLab