स्थानीय रूप से चक्रीय समूह

गणित में, एक स्थानीय रूप से चक्रीय समूह एक समूह (जी, *) होता है जिसमें प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूह चक्रीय समूह होता है।

कुछ तथ्य

• प्रत्येक चक्रीय समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है, और प्रत्येक स्थानीय चक्रीय समूह एबेलियन समूह होता है।
• प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थानीय रूप से चक्रीय समूह चक्रीय है।
• स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह और भागफल समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है।
• स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की प्रत्येक समरूपता छवि स्थानीय रूप से चक्रीय होती है।
• एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय है अगर और केवल अगर समूह में तत्वों की प्रत्येक जोड़ी एक चक्रीय समूह उत्पन्न करती है।
• एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय होता है यदि और केवल अगर इसके उपसमूहों की जाली वितरणात्मक जाली है (Ore 1938).
• स्थानीय रूप से चक्रीय समूह का मरोड़-मुक्त रैंक 0 या 1 है।
• स्थानीय रूप से चक्रीय समूह की एंडोमोर्फिज्म रिंग क्रमविनिमेय अंगूठी है।

स्थानीय रूप से चक्रीय समूहों के उदाहरण जो चक्रीय नहीं हैं

• The additive group of rational numbers (Q, +) is locally cyclic – any pair of rational numbers a/b and c/d is contained in the cyclic subgroup generated by 1/(bd).
• The additive group of the dyadic rational numbers, the rational numbers of the form a/2^b, is also locally cyclic – any pair of dyadic rational numbers a/2^b and c/2^d is contained in the cyclic subgroup generated by 1/2^max(b,d).
• Let p be any prime, and let μ_p^∞ denote the set of all pth-power roots of unity in C, i.e.

  $\mu _{p^{\infty }}=\left\{\exp \left({\frac {2\pi im}{p^{k}}}\right):m,k\in \mathbb {Z} \right\}$

  Then μ_p^∞ is locally cyclic but not cyclic. This is the Prüfer p-group. The Prüfer 2-group is closely related to the dyadic rationals (it can be viewed as the dyadic rationals modulo 1).

एबेलियन समूहों के उदाहरण जो स्थानीय रूप से चक्रीय नहीं हैं

• वास्तविक संख्याओं का योज्य समूह (आर, +); 1 और द्वारा उत्पन्न उपसमूह π (ए + बी के रूप की सभी संख्याएं शामिल हैंπ) समूह Z + Z के प्रत्यक्ष योग के लिए समूह समरूपता है, जो चक्रीय नहीं है।

संदर्भ

• Hall, Marshall, Jr. (1999), "19.2 Locally Cyclic Groups and Distributive Lattices", Theory of Groups, American Mathematical Society, pp. 340–341, ISBN 978-0-8218-1967-8{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).

• Ore, Øystein (1938), "Structures and group theory. II" (PDF), Duke Mathematical Journal, 4 (2): 247–269, doi:10.1215/S0012-7094-38-00419-3, MR 1546048.

• Rose, John S. (2012) [unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978]. A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.