स्थिर समरूपता सिद्धांत

गणित में, स्थिर होमोटॉपी सिद्धांत होमोटॉपी सिद्धांत (और इस प्रकार बीजगणितीय टोपोलॉजी) का हिस्सा है जो सभी संरचना और घटनाओं से संबंधित है जो निलंबन फ़ैक्टर के पर्याप्त रूप से कई अनुप्रयोगों के बाद भी रहता है। एक संस्थापक परिणाम फ्रायडेंथल निलंबन प्रमेय था, जिसमें कहा गया है कि किसी भी बिंदु पर स्थान दिया गया है $X$, होमोटॉपी समूह $\pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)$ के लिए स्थिर करें $n$ पर्याप्त रूप से बड़ा। विशेष रूप से, गोले के होमोटॉपी समूह $\pi _{n+k}(S^{n})$ के लिए स्थिर करें $n\geq k+2$. उदाहरण के लिए,

$\langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots$

$\langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{5}(S^{4})\cong \cdots$

उपरोक्त दो उदाहरणों में होमोटॉपी समूहों के बीच के सभी मानचित्र निलंबन फ़ैक्टर के अनुप्रयोग हैं। पहला उदाहरण ह्युरेविक्ज़ प्रमेय का एक मानक परिणाम है, कि $\pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z}$. दूसरे उदाहरण में हॉफ मानचित्र, $\eta$, इसके निलंबन के लिए मैप किया गया है $\Sigma \eta$, जो उत्पन्न करता है $\pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2$.

स्थिर होमोटोपी सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक है क्षेत्रों के स्थिर होमोटॉपी समूहों की गणना। फ्रायडेंथल के प्रमेय के अनुसार, स्थिर श्रेणी (टोपोलॉजी) में क्षेत्रों के होमोटोपी समूह डोमेन और लक्ष्य में क्षेत्रों के विशिष्ट आयामों पर निर्भर नहीं करते हैं, बल्कि उन आयामों में अंतर पर निर्भर करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए k-वें स्थिर तना है

$\pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})$.

यह सभी k के लिए एक एबेलियन समूह है। यह जीन पियरे सेरे का एक प्रमेय है कि ये समूह सीमित हैं $k\neq 0$. वास्तव में रचना बनती है $\pi _{*}^{S}$ एक वर्गीकृत अंगूठी में। ग्राउंडर निशिदा का एक प्रमेय बताता है कि इस रिंग में सकारात्मक ग्रेडिंग के सभी तत्व शून्य हैं। इस प्रकार केवल प्रमुख आदर्श ही अभाज्य हैं $\pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z}$. तो की संरचना $\pi _{*}^{s}$ काफी जटिल है।

स्थिर होमोटॉपी सिद्धांत के आधुनिक उपचार में, रिक्त स्थान को आमतौर पर स्पेक्ट्रम (होमोटोपी सिद्धांत) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विचार की इस पंक्ति के बाद, एक संपूर्ण स्थिर होमोटोपी श्रेणी बनाई जा सकती है। इस श्रेणी में कई अच्छे गुण हैं जो (अस्थिर) होमोटॉपी श्रेणी के रिक्त स्थान में मौजूद नहीं हैं, इस तथ्य के बाद कि निलंबन फ़ैक्टर उलटा हो जाता है। उदाहरण के लिए, cofibration और फ़िब्रेशन अनुक्रम की धारणा समतुल्य है।

यह भी देखें

• एडम्स निस्पंदन
• एडम्स वर्णक्रमीय अनुक्रम
• रंगीन समरूपता सिद्धांत
• समपरिवर्ती स्थिर समरूपता सिद्धांत
• निलपोटेंस प्रमेय

संदर्भ

• Adams, J. Frank (1966), Stable homotopy theory, Second revised edition. Lectures delivered at the University of California at Berkeley, vol. 1961, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0196742
• May, J. Peter (1999), "Stable Algebraic Topology, 1945–1966" (PDF), Stable algebraic topology, 1945--1966, Amsterdam: North-Holland, pp. 665–723, CiteSeerX 10.1.1.30.6299, doi:10.1016/B978-044482375-5/50025-0, ISBN 9780444823755, MR 1721119
• Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 128, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02572-8, MR 1192553