सार सरल जटिल

एक 3-आयामी सार सरल परिसर का ज्यामितीय अहसास

साहचर्य में, एब्स्ट्रैक्ट सरल जटिल (एएससी), जिसे अक्सर एब्स्ट्रैक्ट कॉम्प्लेक्स या सिर्फ कॉम्प्लेक्स कहा जाता है, सेट का परिवार है जो सबसेट लेने के तहत बंद होता है, यानी परिवार में सेट का हर सबसेट भी परिवार में होता है। यह साधारण जटिल की ज्यामितीय धारणा का विशुद्ध रूप से मिश्रित विवरण है।^[1] उदाहरण के लिए, 2-आयामी साधारण परिसर में, परिवार में सेट त्रिकोण (आकार 3 के सेट), उनके किनारे (आकार 2 के सेट), और उनके शिखर (आकार 1 के सेट) हैं।

matroid और लालचोइड्स के संदर्भ में, अमूर्त साधारण परिसरों को स्वतंत्रता प्रणाली भी कहा जाता है।^[2] \

स्टैनली-रीस्नर रिंग बनाकर अमूर्त सिम्प्लेक्स का बीजगणितीय रूप से अध्ययन किया जा सकता है; यह कॉम्बिनेटरिक्स और कम्यूटेटिव बीजगणित के बीच शक्तिशाली संबंध स्थापित करता है।

परिभाषाएँ

संग्रह {{math|Δ}एक सेट (गणित) एस के गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय के } को सेट-फ़ैमिली कहा जाता है।

एक सेट-परिवार $Δ$ को प्रत्येक सेट के लिए सार सरल परिसर कहा जाता है $X$ में $Δ$ , और हर गैर-खाली सबसेट $Y \subseteq X$ , सेट $Y$ का भी है $Δ$ .

परिमित सेट जो संबंधित हैं $Δ$ परिसर के चेहरे और चेहरे कहलाते हैं $Y$ दूसरे चेहरे से संबंधित कहा जाता है $X$ अगर $Y \subseteq X$ , इसलिए अमूर्त साधारण परिसर की परिभाषा को यह कहते हुए पुन: स्थापित किया जा सकता है कि जटिल के चेहरे का हर चेहरा $Δ$ स्वयं का चेहरा है $Δ$ . का शीर्ष सेट $Δ$ परिभाषित किया जाता है $V (Δ) = \cupΔ$ , के सभी चेहरों का मिलन $Δ$ . वर्टेक्स सेट के तत्वों को कॉम्प्लेक्स के वर्टिकल कहा जाता है। के प्रत्येक शीर्ष v के लिए $Δ$ , सेट {v} कॉम्प्लेक्स का चेहरा है, और कॉम्प्लेक्स का हर चेहरा वर्टेक्स सेट का परिमित उपसमुच्चय है।

के अधिकतम चेहरे $Δ$ (अर्थात्, वे फलक जो किसी अन्य फलक के उपसमुच्चय नहीं हैं) सम्मिश्र के पहलू कहलाते हैं। चेहरे का आयाम $X$ में $Δ$ परिभाषित किया जाता है $dim(X) = | X | - 1$ : एकल तत्व वाले चेहरे शून्य-आयामी होते हैं, दो तत्वों वाले चेहरे एक-आयामी होते हैं, आदि। परिसर का आयाम $dim(Δ)$ को इसके किसी भी फलक के सबसे बड़े आयाम या अनंतता के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि चेहरों के आयाम पर कोई परिमित सीमा नहीं है।

द कॉम्प्लेक्स $Δ$ को परिमित कहा जाता है यदि इसके बहुत से फलक हैं, या समतुल्य हैं यदि इसका शीर्ष समुच्चय परिमित है। भी, $Δ$ को शुद्ध कहा जाता है यदि यह परिमित-आयामी है (लेकिन आवश्यक रूप से परिमित नहीं है) और प्रत्येक पहलू का ही आयाम है। दूसरे शब्दों में, $Δ$ शुद्ध है अगर $dim(Δ)$ परिमित है और प्रत्येक चेहरा आयाम के पहलू में समाहित है $dim(Δ)$ .

एक-आयामी सार सरल कॉम्प्लेक्स गणितीय रूप से सरल ग्राफ़ अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के समतुल्य हैं: कॉम्प्लेक्स के वर्टेक्स सेट को ग्राफ़ के वर्टेक्स सेट के रूप में देखा जा सकता है, और कॉम्प्लेक्स के दो-तत्व पहलू ग्राफ़ के अप्रत्यक्ष किनारों के अनुरूप होते हैं। इस दृष्टि से, जटिल के एक-तत्व पहलू अलग-अलग शीर्षों के अनुरूप होते हैं जिनमें कोई घटना किनारे नहीं होते हैं।

का उपसमुच्चय $Δ$ सार सरल जटिल एल है जैसे कि एल का हर चेहरा संबंधित है $Δ$ ; वह है, $L \subseteq Δ$ और L सार सरल जटिल है। उपसमुच्चय जिसमें ही फलक के सभी उपसमुच्चय होते हैं $Δ$ को अक्सर का सिंप्लेक्स कहा जाता है $Δ$ . (हालांकि, कुछ लेखक चेहरे के लिए सिम्पलेक्स शब्द का प्रयोग करते हैं, बल्कि अस्पष्ट रूप से, चेहरे और चेहरे से जुड़े उपसमुच्चय दोनों के लिए, गैर-अमूर्त (ज्यामितीय) सरलीकृत जटिल शब्दावली के अनुरूप होते हैं। अस्पष्टता से बचने के लिए, हम नहीं करते हैं। इस आलेख में अमूर्त परिसरों के संदर्भ में चेहरे के लिए सिम्पलेक्स शब्द का उपयोग करें)।

डी-कंकाल|डी-कंकाल का $Δ$ का उपसमूह है $Δ$ के सभी चेहरों से मिलकर $Δ$ जिसका अधिकतम आयाम है d. विशेष रूप से, कंकाल (टोपोलॉजी)|1-कंकाल का 'अंतर्निहित ग्राफ' कहा जाता है $Δ$ . का 0-कंकाल $Δ$ को इसके वर्टेक्स सेट से पहचाना जा सकता है, हालाँकि औपचारिक रूप से यह ही चीज़ नहीं है (वर्टेक्स सेट सभी वर्टिकल का सेट है, जबकि 0-कंकाल सिंगल-एलिमेंट सेट का परिवार है)।

एक चेहरे का लिंक $Y$ में $Δ$ , अक्सर निरूपित $Δ/ Y$ या $lk Δ (Y)$ , का उपसमुच्चय है $Δ$ द्वारा परिभाषित

\Delta /Y:=\{X\in \Delta \mid X\cap Y=\varnothing ,\,X\cup Y\in \Delta \}.

ध्यान दें कि खाली सेट का लिंक है $Δ$ अपने आप।

साधारण नक्शे

दो सार सरल परिसरों को देखते हुए, $Δ$ और $Γ$ , साधारण नक्शा फ़ंक्शन (गणित) है $f$ जो के शिखर को मैप करता है $Δ$ के शिखर तक $Γ$ और उसमें वह गुण है जो किसी भी चेहरे के लिए है $X$ का $Δ$ , छवि (गणित) $f (X)$ का चेहरा है $Γ$ . श्रेणी (गणित) एससीपीएक्स है जिसमें वस्तुओं के रूप में सार सरल परिसरों और आकारिकी के रूप में सरल मानचित्र हैं। यह गैर-अमूर्त साधारण परिसरों का उपयोग करके परिभाषित उपयुक्त श्रेणी के बराबर है।

इसके अलावा, देखने का स्पष्ट बिंदु हमें सार सरल परिसर के अंतर्निहित सेट 'एस' के बीच संबंध को मजबूत करने की अनुमति देता है $Δ$ और वर्टेक्स सेट $V (Δ) \subseteq S$ का $Δ$ : सार सरल परिसरों की श्रेणी को परिभाषित करने के प्रयोजनों के लिए, एस के तत्व झूठ नहीं बोल रहे हैं $V (Δ)$ अप्रासंगिक हैं। अधिक सटीक रूप से, एससीपीएक्स उस श्रेणी के बराबर है जहां:

एक वस्तु सेट 'S' है जो गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय के संग्रह से सुसज्जित है $Δ$ जिसमें सभी सिंगलटन शामिल हैं और ऐसा है कि यदि $X$ में है $Δ$ और $Y \subseteq X$ तब खाली नहीं है $Y$ का भी है $Δ$ .
से रूपवाद $(S, Δ)$ को $(T, Γ)$ कार्य है $f : S \to T$ जैसे कि किसी भी तत्व की छवि $Δ$ का तत्व है $Γ$ .

ज्यामितीय बोध

हम किसी भी एब्सट्रैक्ट सिंपल कॉम्प्लेक्स (ASC) K को टोपोलॉजिकल स्पेस से जोड़ सकते हैं $|K|$ , इसका ज्यामितीय अहसास कहा जाता है। परिभाषित करने के कई तरीके हैं $|K|$ .

ज्यामितीय परिभाषा

प्रत्येक ज्यामितीय साधारण परिसर (जीएससी) एएससी निर्धारित करता है:^[3]^: 14 ASC के शीर्ष GSC के शीर्ष हैं, और ASC के फलक GSC के फलकों के शीर्ष-समूह हैं। उदाहरण के लिए, 4 कोने {1,2,3,4} के साथ जीएससी पर विचार करें, जहां अधिकतम चेहरे {1,2,3} के बीच त्रिकोण और {2,4} और {3,4} के बीच की रेखाएं हैं। फिर, संबंधित एएससी में सेट {1,2,3}, {2,4}, {3,4}, और उनके सभी सबसेट शामिल हैं। हम कहते हैं कि जीएससी एएससी की ज्यामितीय प्राप्ति है।

प्रत्येक ASC का ज्यामितीय अहसास होता है। परिमित ASC के लिए यह देखना आसान है।^[3]^: 14 होने देना $N:=|V(K)|$ . में शीर्षों को पहचानें $V(K)$ (N-1)-आयामी सिम्प्लेक्स के शीर्षों के साथ $\mathbb {R} ^{N}$ . GSC {conv(F): F, K में चेहरा है} की रचना करें। स्पष्ट रूप से, इस GSC से जुड़ा ASC K के समान है, इसलिए हमने वास्तव में K की ज्यामितीय प्राप्ति का निर्माण किया है। वास्तव में, ASC को बहुत कम आयामों का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है। यदि एएससी डी-आयामी है (यानी, इसमें सिंप्लेक्स की अधिकतम कार्डिनैलिटी डी + 1 है), तो इसमें ज्यामितीय अहसास है $\mathbb {R} ^{2d+1}$ , लेकिन इसमें ज्यामितीय अहसास नहीं हो सकता है $\mathbb {R} ^{2d}$ ^[3]^: 16 विशेष मामला d=1 सुप्रसिद्ध तथ्य से मेल खाता है, कि किसी भी ग्राफ (असतत गणित) को इसमें प्लॉट किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{3}$ जहाँ किनारे सीधी रेखाएँ हैं जो सामान्य शीर्षों को छोड़कर एक-दूसरे को नहीं काटती हैं, लेकिन किसी भी ग्राफ़ (असतत गणित) में प्लॉट नहीं किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{2}$ इस प्रकार से।

यदि K मानक कॉम्बीनेटरियल n-सिम्प्लेक्स है, तो $|K|$ से स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है $Δ n$ .

एक ही एएससी के हर दो ज्यामितीय अहसास, यहां तक कि विभिन्न आयामों के यूक्लिडियन स्थानों में भी, होमोमोर्फिज्म हैं।^[3]^: 14 इसलिए, एएससी के दिए जाने पर, कोई के के ज्यामितीय प्राप्ति के बारे में बात कर सकता है।

सामयिक परिभाषा

निर्माण निम्नानुसार होता है। सबसे पहले, परिभाषित करें $|K|$ के उपसमुच्चय के रूप में $[0,1]^{S}$ कार्यों से मिलकर $t\colon S\to [0,1]$ दो शर्तों को पूरा करना:

\{s\in S:t_{s}>0\}\in K

\sum _{s\in S}t_{s}=1

अब के तत्वों के समुच्चय के बारे में सोचें $[0,1]^{S}$ की प्रत्यक्ष सीमा के रूप में परिमित समर्थन के साथ $[0,1]^{A}$ जहाँ A, S के परिमित उपसमुच्चय पर स्थित है, और उस प्रत्यक्ष सीमा को अंतिम टोपोलॉजी देता है। अब दे दो $|K|$ उप-अंतरिक्ष टोपोलॉजी।

श्रेणीबद्ध परिभाषा

वैकल्पिक रूप से, चलो ${\mathcal {K}}$ उस श्रेणी को निरूपित करें जिसकी वस्तुएं चेहरे हैं $K$ और जिनके morphisms समावेशन हैं। इसके बाद के वर्टेक्स सेट पर कुल ऑर्डर चुनें $K$ और functor F को परिभाषित करें ${\mathcal {K}}$ स्थलाकृतिक रिक्त स्थान की श्रेणी के रूप में इस प्रकार है। आयाम n के K में किसी फलक X के लिए, मान लीजिए $F (X) = Δ n$ मानक एन-सिंप्लेक्स बनें। वर्टेक्स सेट पर क्रम तब के तत्वों के बीच अद्वितीय आक्षेप को निर्दिष्ट करता है $X$ और के शिखर $Δ n$ , सामान्य तरीके से आदेश दिया $e 0 < e 1 < ... < e n$ . अगर $Y \subseteq X$ आयाम का चेहरा है $m < n$ , तो यह आक्षेप अद्वितीय एम-आयामी चेहरे को निर्दिष्ट करता है $Δ n$ . परिभाषित करना $F (Y) \to F (X)$ की अनूठी affine परिवर्तन रैखिक एम्बेडिंग होना $Δ m$ उस प्रतिष्ठित चेहरे के रूप में $Δ n$ , जैसे कि कोने पर नक्शा क्रम-संरक्षित है।

हम तब ज्यामितीय प्राप्ति को परिभाषित कर सकते हैं $|K|$ फ़ैक्टर F के कोलिमिट के रूप में। अधिक विशेष रूप से $|K|$ असंयुक्त संघ का भागफल स्थान (टोपोलॉजी) है

\coprod _{X\in K}{F(X)}

तुल्यता संबंध द्वारा जो बिंदु की पहचान करता है $y \in F (Y)$ मानचित्र के नीचे अपनी छवि के साथ $F (Y) \to F (X)$ , प्रत्येक समावेशन के लिए $Y \subseteq X$ .

उदाहरण

1. वी को प्रमुखता का परिमित सेट होने दें $n + 1$ . वर्टेक्स-सेट V वाला कॉम्बिनेटरियल n-simplex ASC है जिसके चेहरे V के सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय हैं (अर्थात, यह V का सत्ता स्थापित है)। अगर $V = S = {0, 1, ..., n},$ तो इस ASC को मानक संयोजन n-simplex कहा जाता है।

2. 'जी' को अप्रत्यक्ष ग्राफ होने दें। जी का क्लिक कॉम्प्लेक्स एएससी है जिसके चेहरे जी के सभी क्लिक (ग्राफ सिद्धांत) (पूर्ण सबग्राफ) हैं। 'जी' का स्वतंत्रता परिसर एएससी है, जिसके चेहरे 'जी' के सभी स्वतंत्र सेट (ग्राफ सिद्धांत) हैं (यह जी के पूरक ग्राफ का क्लिक कॉम्प्लेक्स है)। क्लिक कॉम्प्लेक्स ध्वज परिसरों का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण हैं। ध्वज परिसर संपत्ति के साथ जटिल के है, जो कि तत्वों का हर सेट है जो के के चेहरे से जुड़ा हुआ है, वह स्वयं के का चेहरा है।

3. 'एच' को hypergraph होने दें। H में हाइपरग्राफ में मिलान H के किनारों का सेट है, जिसमें हर दो किनारे विसंधित सेट हैं। H का मैचिंग कॉम्प्लेक्स ASC है जिसके सभी चेहरे H के हाइपरग्राफ में मैच कर रहे हैं। यह H के हाइपरग्राफ के लाइन ग्राफ का इंडिपेंडेंस कॉम्प्लेक्स है।

4. चलो 'पी' आंशिक रूप से आदेशित सेट (पॉसेट) बनें। P का ऑर्डर कॉम्प्लेक्स ASC है जिसके चेहरे 'P' में सभी परिमित कुल आदेश#चेन हैं। इसके होमोलॉजी (गणित) समूह और अन्य टोपोलॉजिकल संपत्ति में पॉसेट 'पी' के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी होती है।

5. मान लें कि M मीट्रिक स्थान है और δ वास्तविक संख्या है। विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स एएससी है जिसके चेहरे अधिकतम δ व्यास वाले एम के परिमित उपसमुच्चय हैं। इसमें समरूपता सिद्धांत , अतिशयोक्तिपूर्ण समूह, मूर्ति प्रोद्योगिकी और मोबाइल तदर्थ नेटवर्क िंग में एप्लिकेशन हैं। यह ध्वज परिसर का और उदाहरण है।

6. चलो $I$ बहुपद वलय में वर्ग-मुक्त एकपदी आदर्श हो $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ (अर्थात, चरों के सबसेट के गुणनफल द्वारा उत्पन्न आदर्श)। फिर उन वर्ग-मुक्त मोनोमियल के घातांक सदिश $S$ जो अंदर नहीं हैं $I$ मानचित्र के माध्यम से सार सरल परिसर का निर्धारण करें $\mathbf {a} \in \{0,1\}^{n}\mapsto \{i\in [n]:a_{i}=1\}$ . वास्तव में, पर (गैर-खाली) अमूर्त सरलीकृत परिसरों के बीच आक्षेप है $n$ शीर्ष और वर्ग-मुक्त एकपदीय आदर्शों में $S$ . अगर $I_{\Delta }$ सरल परिसर के अनुरूप वर्ग-मुक्त आदर्श है $\Delta$ फिर भागफल की अंगूठी $S/I_{\Delta }$ की स्टेनली-रीस्नर रिंग के रूप में जाना जाता है ${\Delta }$ .

7. टोपोलॉजिकल स्पेस के किसी भी खुला आवरण सी के लिए, सी का 'तंत्रिका जटिल ' एब्स्ट्रैक्ट सिंपलियल कॉम्प्लेक्स है, जिसमें गैर-खाली चौराहे के साथ सी के उप-परिवार होते हैं।

गणना

n लेबल वाले तत्वों तक (जो कि आकार n के सेट S पर है) अमूर्त सरलीकृत परिसरों की संख्या nth Dedekind संख्या से कम है। ये संख्या बहुत तेजी से बढ़ती है, और केवल के लिए जानी जाती है $n \leq 8$ ; Dedekind संख्याएँ हैं (n = 0 से शुरू):

1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787 (sequence A014466 in the OEIS). यह के उपसमुच्चय के गैर-खाली antichain की संख्या से मेल खाती है

n

तय करना।

अमूर्त साधारण परिसरों की संख्या जिनके कोने बिल्कुल n लेबल वाले तत्व हैं, अनुक्रम 1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209370320359966 द्वारा दिए गए हैं (sequence A006126 in the OEIS), n = 1 से शुरू होता है। यह लेबल वाले n-सेट के एंटीचैन कवर की संख्या से मेल खाता है; उनके अधिकतम चेहरों के संदर्भ में वर्णित एन तत्वों पर एन-सेट और साधारण परिसरों के एंटीचैन कवर के बीच स्पष्ट आपत्ति है।

वास्तव में n गैर-लेबल वाले तत्वों पर अमूर्त साधारण परिसरों की संख्या अनुक्रम 1, 2, 5, 20, 180, 16143 द्वारा दी गई है (sequence A006602 in the OEIS), n = 1 से शुरू।

कम्प्यूटेशनल समस्याएं

साधारण जटिल मान्यता समस्या है: परिमित ASC दिया गया है, यह तय करें कि क्या ज्यामितीय प्राप्ति किसी दिए गए ज्यामितीय वस्तु के लिए होमोमोर्फिक है। यह समस्या डी ≥ 5 के लिए किसी भी डी-आयामी मैनिफोल्ड के लिए अनिर्णीत समस्या है।

अन्य अवधारणाओं से संबंध

एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ सार सरल परिसर जिसे वृद्धि संपत्ति या विनिमय संपत्ति कहा जाता है, मैट्रॉइड पैदा करता है। निम्नलिखित अभिव्यक्ति शर्तों के बीच संबंधों को दर्शाती है:

हाइपरग्राफ = सेट-परिवार ⊃ स्वतंत्रता-प्रणाली = सार-सरल-परिसर ⊃ मैट्रोइड्स।

यह भी देखें

क्रुस्कल-काटोना प्रमेय
सरल सेट

संदर्भ

↑ Lee, John M., Introduction to Topological Manifolds, Springer 2011, ISBN 1-4419-7939-5, p153
↑ Korte, Bernhard; Lovász, László; Schrader, Rainer (1991). लालची. Springer-Verlag. p. 9. ISBN 3-540-18190-3.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 Matoušek, Jiří (2007). Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler , Section 4.3

[Lee-1] Lee, John M., Introduction to Topological Manifolds, Springer 2011, ISBN 1-4419-7939-5, p153

[2] Korte, Bernhard; Lovász, László; Schrader, Rainer (1991). लालची. Springer-Verlag. p. 9. ISBN 3-540-18190-3.

[:0-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 Matoušek, Jiří (2007). Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler , Section 4.3

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