सार सरल जटिल

एक 3-आयामी सार सरल परिसर का ज्यामितीय अहसास

साहचर्य में, सार सरल जटिल (एएससी), जिसे अक्सर सार कॉम्प्लेक्स या सिर्फ कॉम्प्लेक्स कहा जाता है, समुच्चय का परिवार है जो सबसमुच्चय लेने के तहत बंद होता है, यानी परिवार में समुच्चय का हर सबसमुच्चय भी परिवार में होता है। यह साधारण जटिल की ज्यामितीय धारणा का विशुद्ध रूप से मिश्रित विवरण है।^[1] उदाहरण के लिए, 2-आयामी साधारण परिसर में, परिवार में समुच्चय त्रिकोण (आकार 3 के समुच्चय), उनके किनारे (आकार 2 के समुच्चय), और उनके शिखर (आकार 1 के समुच्चय) हैं।

मेट्रोइड और लालचोइड्स के संदर्भ में, अमूर्त साधारण परिसरों को स्वतंत्रता प्रणाली भी कहा जाता है।^[2]

स्टैनली-रीस्नर रिंग बनाकर अमूर्त सिम्प्लेक्स का बीजगणितीय रूप से अध्ययन किया जा सकता है; यह कॉम्बिनेटरिक्स और कम्यूटेटिव बीजगणित के बीच शक्तिशाली संबंध स्थापित करता है।

परिभाषाएँ

संग्रह Δ एक समुच्चय (गणित) एस के गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय के } को समुच्चय-फ़ैमिली कहा जाता है।

एक समुच्चय-फ़ैमिली Δ को एब्स्ट्रैक्ट सिम्पलीशियल कॉम्प्लेक्स कहा जाता है, अगर Δ में हर समुच्चय X के लिए, और हर गैर-रिक्त सबसमुच्चय Y ⊆ X, समुच्चय Y भी Δ से संबंधित है।

परिमित समुच्चय जो Δ से संबंधित हैं, परिसर के चेहरे कहलाते हैं, और एक चेहरे Y को दूसरे चेहरे X से संबंधित कहा जाता है यदि Y ⊆ X है, तो एक अमूर्त साधारण परिसर की परिभाषा को यह कहते हुए बहाल किया जा सकता है कि चेहरे का हर चेहरा एक जटिल Δ का स्वयं Δ का एक चेहरा है। Δ के शीर्ष समुच्चय को V(Δ) = ∪Δ के रूप में परिभाषित किया गया है, Δ के सभी फलकों का मिलन वर्टेक्स समुच्चय के तत्वों को कॉम्प्लेक्स के वर्टिकल कहा जाता है। Δ के प्रत्येक शीर्ष v के लिए, समुच्चय {v} सम्मिश्र का एक फलक है, और संकुल का प्रत्येक फलक शीर्ष समुच्चय का परिमित उपसमुच्चय है।

Δ के अधिकतम फलक (अर्थात् वे फलक जो किसी अन्य फलक के उपसमुच्चय नहीं हैं) सम्मिश्र के फलक कहलाते हैं। Δ में फलक X के आयाम को मंद (X) = |X| के रूप में परिभाषित किया गया है - 1: एकल तत्व वाले चेहरे शून्य-आयामी होते हैं, दो तत्वों वाले चेहरे एक-आयामी होते हैं, आदि सम्मिश्र मंद (Δ) के आयाम को इसके किसी भी फलक के सबसे बड़े आयाम या अनन्तता के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि फलकों के आयाम पर कोई परिमित सीमा नहीं है।

सम्मिश्र Δ को परिमित कहा जाता है यदि इसके बहुत से फलक होते हैं, या समतुल्य रूप से यदि इसका शीर्ष समुच्चय परिमित है। इसके अलावा, Δ को शुद्ध कहा जाता है यदि यह परिमित-आयामी है (लेकिन जरूरी नहीं कि परिमित हो) और हर पहलू का एक ही आयाम हो दूसरे शब्दों में, Δ शुद्ध है यदि मंद (Δ) परिमित है और प्रत्येक चेहरा आयाम मंद (Δ) के पहलू में समाहित है।

एक-आयामी सार सरल परिसर गणितीय रूप से सरल ग्राफ़ अप्रत्यक्ष ग्राफ रेखांकन के समतुल्य हैं: परिसर के शीर्ष समुच्चय को ग्राफ के शीर्ष समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है, और जटिल के दो-तत्व पहलू एक ग्राफ के अप्रत्यक्ष किनारों के अनुरूप होते हैं। इस दृष्टि से, एक जटिल के एक-तत्व पहलू अलग-अलग शीर्षों के अनुरूप होते हैं जिनमें कोई घटना किनारे नहीं होते हैं।

का उपसमुच्चय $Δ$ सार सरल जटिल एल है जैसे कि एल का हर चेहरा संबंधित है $Δ$ ; वह है, $L \subseteq Δ$ और L सार सरल जटिल है। उपसमुच्चय जिसमें ही फलक के सभी उपसमुच्चय होते हैं $Δ$ को अक्सर का सिंप्लेक्स कहा जाता है $Δ$ . (हालांकि, कुछ लेखक चेहरे के लिए सिम्पलेक्स शब्द का प्रयोग करते हैं, बल्कि अस्पष्ट रूप से, चेहरे और चेहरे से जुड़े उपसमुच्चय दोनों के लिए, गैर-अमूर्त (ज्यामितीय) सरलीकृत जटिल शब्दावली के अनुरूप होते हैं। अस्पष्टता से बचने के लिए, हम नहीं करते हैं। इस आलेख में अमूर्त परिसरों के संदर्भ में चेहरे के लिए सिम्पलेक्स शब्द का उपयोग करें)।

Δ का एक उपसमुच्चय एक सार सरल जटिल एल है जैसे कि एल का हर चेहरा Δ से संबंधित है; वह है, एल ⊆ Δ और एल एक अमूर्त साधारण परिसर है। एक उपसमुच्चय जिसमें Δ के एक ही फलक के सभी उपसमुच्चय होते हैं, उसे अक्सर Δ का एक सिम्प्लेक्स कहा जाता है। (हालांकि, कुछ लेखक एक चेहरे के लिए "सरल" शब्द का प्रयोग करते हैं, बल्कि अस्पष्ट रूप से, दोनों चेहरे और एक चेहरे से जुड़े उपसमुच्चय के लिए, गैर-अमूर्त (ज्यामितीय) सरलीकृत जटिल शब्दावली के साथ सादृश्य द्वारा अस्पष्टता से बचने के लिए, हम इस लेख में अमूर्त परिसरों के संदर्भ में चेहरे के लिए "सिम्प्लेक्स" शब्द का उपयोग नहीं करते हैं)।

Δ का डी-कंकाल Δ का उपसमूह है जिसमें Δ के सभी चेहरे शामिल हैं जिनके आयाम अधिक से अधिक d हैं। विशेष रूप से, 1-कंकाल (टोपोलॉजी) को Δ का अंतर्निहित ग्राफ कहा जाता है। Δ के 0-कंकाल को इसके शीर्ष समुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है, हालांकि औपचारिक रूप से यह काफी समान नहीं है (शीर्ष समुच्चय सभी शीर्षों का एक समुच्चय है, जबकि 0-कंकाल एकल-तत्व समुच्चय का एक परिवार है)।

Δ में एक फलक Y का लिंक, जिसे अक्सर Δ/Y या lkΔ(Y) के रूप में निरूपित किया जाता है, Δ का उपसमुच्चय है जिसे परिभाषित किया गया है

\Delta /Y:=\{X\in \Delta \mid X\cap Y=\varnothing ,\,X\cup Y\in \Delta \}

ध्यान दें कि खाली समुच्चय का लिंक Δ ही है।

साधारण नक्शे

दो सार सरल परिसरों को देखते हुए, $Δ$ और $Γ$ , साधारण नक्शा फ़ंक्शन (गणित) है $f$ जो के शिखर को मैप करता है $Δ$ के शिखर तक $Γ$ और उसमें वह गुण है जो किसी भी चेहरे के लिए है $X$ का $Δ$ , छवि (गणित) $f (X)$ का चेहरा है $Γ$ . श्रेणी (गणित) एससीपीएक्स है जिसमें वस्तुओं के रूप में सार सरल परिसरों और आकारिकी के रूप में सरल मानचित्र हैं। यह गैर-अमूर्त साधारण परिसरों का उपयोग करके परिभाषित उपयुक्त श्रेणी के बराबर है।

इसके अलावा, देखने का स्पष्ट बिंदु हमें सार सरल परिसर के अंतर्निहित समुच्चय 'एस' के बीच संबंध को मजबूत करने की अनुमति देता है $Δ$ और वर्टेक्स समुच्चय $V (Δ) \subseteq S$ का $Δ$ : सार सरल परिसरों की श्रेणी को परिभाषित करने के प्रयोजनों के लिए, एस के तत्व झूठ नहीं बोल रहे हैं $V (Δ)$ अप्रासंगिक हैं। अधिक सटीक रूप से, एससीपीएक्स उस श्रेणी के बराबर है जहां:

एक वस्तु समुच्चय 'S' है जो गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय के संग्रह से सुसज्जित है $Δ$ जिसमें सभी सिंगलटन शामिल हैं और ऐसा है कि यदि $X$ में है $Δ$ और $Y \subseteq X$ तब खाली नहीं है $Y$ का भी $Δ$ है।
से रूपवाद $(S, Δ)$ को $(T, Γ)$ कार्य है $f : S \to T$ जैसे कि किसी भी तत्व की छवि $Δ$ का तत्व $Γ$ है।

ज्यामितीय बोध

हम किसी भी एब्सट्रैक्ट सिंपल कॉम्प्लेक्स (एएससी) K को टोपोलॉजिकल स्पेस से जोड़ सकते हैं $|K|$ , इसका ज्यामितीय अहसास कहा जाता है। परिभाषित करने के कई तरीके $|K|$ हैं।

ज्यामितीय परिभाषा

प्रत्येक ज्यामितीय साधारण परिसर (जीएससी) एएससी निर्धारित करता है:^[3]^: 14 एएससी के शीर्ष GSC के शीर्ष हैं, और एएससी के फलक GSC के फलकों के शीर्ष-समूह हैं। उदाहरण के लिए, 4 कोने {1,2,3,4} के साथ जीएससी पर विचार करें, जहां अधिकतम चेहरे {1,2,3} के बीच त्रिकोण और {2,4} और {3,4} के बीच की रेखाएं हैं। फिर, संबंधित एएससी में समुच्चय {1,2,3}, {2,4}, {3,4}, और उनके सभी सबसमुच्चय शामिल हैं। हम कहते हैं कि जीएससी एएससी की ज्यामितीय प्राप्ति है।

प्रत्येक एएससी का ज्यामितीय अहसास होता है। परिमित एएससी के लिए यह देखना आसान है।^[3]^: 14 होने देना $N:=|V(K)|$ . में शीर्षों को पहचानें $V(K)$ (N-1)-आयामी सिम्प्लेक्स के शीर्षों के साथ $\mathbb {R} ^{N}$ . GSC {conv(F): F, K में चेहरा है} की रचना करें। स्पष्ट रूप से, इस GSC से जुड़ा एएससी K के समान है, इसलिए हमने वास्तव में K की ज्यामितीय प्राप्ति का निर्माण किया है। वास्तव में, एएससी को बहुत कम आयामों का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है। यदि एएससी डी-आयामी है (यानी, इसमें सिंप्लेक्स की अधिकतम कार्डिनैलिटी डी + 1 है), तो इसमें ज्यामितीय अहसास है $\mathbb {R} ^{2d+1}$ , लेकिन इसमें ज्यामितीय अहसास नहीं हो सकता है $\mathbb {R} ^{2d}$ ^[3]^: 16 विशेष मामला d=1 सुप्रसिद्ध तथ्य से मेल खाता है, कि किसी भी ग्राफ (असतत गणित) को इसमें प्लॉट किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{3}$ जहाँ किनारे सीधी रेखाएँ हैं जो सामान्य शीर्षों को छोड़कर एक-दूसरे को नहीं काटती हैं, लेकिन किसी भी ग्राफ़ (असतत गणित) में प्लॉट नहीं किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{2}$ इस प्रकार से।

यदि K मानक कॉम्बीनेटरियल n-सिम्प्लेक्स है, तो $|K|$ से स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है $Δ n$ .

एक ही एएससी के हर दो ज्यामितीय अहसास, यहां तक कि विभिन्न आयामों के यूक्लिडियन स्थानों में भी, होमोमोर्फिज्म हैं।^[3]^: 14 इसलिए, एएससी के दिए जाने पर, कोई के के ज्यामितीय प्राप्ति के बारे में बात कर सकता है।

सामयिक परिभाषा

निर्माण निम्नानुसार होता है। सबसे पहले, परिभाषित करें $|K|$ के उपसमुच्चय के रूप में $[0,1]^{S}$ कार्यों से मिलकर $t\colon S\to [0,1]$ दो शर्तों को पूरा करना:

\{s\in S:t_{s}>0\}\in K

\sum _{s\in S}t_{s}=1

अब के तत्वों के समुच्चय के बारे में सोचें $[0,1]^{S}$ की प्रत्यक्ष सीमा के रूप में परिमित समर्थन के साथ $[0,1]^{A}$ जहाँ A, S के परिमित उपसमुच्चय पर स्थित है, और उस प्रत्यक्ष सीमा को अंतिम टोपोलॉजी देता है। अब दे दो $|K|$ उप-अंतरिक्ष टोपोलॉजी।

श्रेणीबद्ध परिभाषा

वैकल्पिक रूप से, चलो ${\mathcal {K}}$ उस श्रेणी को निरूपित करें जिसकी वस्तुएं चेहरे हैं $K$ और जिनके morphisms समावेशन हैं। इसके बाद के वर्टेक्स समुच्चय पर कुल ऑर्डर चुनें $K$ और functor F को परिभाषित करें ${\mathcal {K}}$ स्थलाकृतिक रिक्त स्थान की श्रेणी के रूप में इस प्रकार है। आयाम n के K में किसी फलक X के लिए, मान लीजिए $F (X) = Δ n$ मानक एन-सिंप्लेक्स बनें। वर्टेक्स समुच्चय पर क्रम तब के तत्वों के बीच अद्वितीय आक्षेप को निर्दिष्ट करता है $X$ और के शिखर $Δ n$ , सामान्य तरीके से आदेश दिया $e 0 < e 1 < ... < e n$ . अगर $Y \subseteq X$ आयाम का चेहरा है $m < n$ , तो यह आक्षेप अद्वितीय एम-आयामी चेहरे को निर्दिष्ट करता है $Δ n$ . परिभाषित करना $F (Y) \to F (X)$ की अनूठी affine परिवर्तन रैखिक एम्बेडिंग होना $Δ m$ उस प्रतिष्ठित चेहरे के रूप में $Δ n$ , जैसे कि कोने पर नक्शा क्रम-संरक्षित है।

हम तब ज्यामितीय प्राप्ति को परिभाषित कर सकते हैं $|K|$ फ़ैक्टर F के कोलिमिट के रूप में। अधिक विशेष रूप से $|K|$ असंयुक्त संघ का भागफल स्थान (टोपोलॉजी) है

\coprod _{X\in K}{F(X)}

तुल्यता संबंध द्वारा जो बिंदु की पहचान करता है $y \in F (Y)$ मानचित्र के नीचे अपनी छवि के साथ $F (Y) \to F (X)$ , प्रत्येक समावेशन के लिए $Y \subseteq X$ .

उदाहरण

1. वी को प्रमुखता का परिमित समुच्चय होने दें $n + 1$ . वर्टेक्स-समुच्चय V वाला कॉम्बिनेटरियल n-simplex एएससी है जिसके चेहरे V के सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय हैं (अर्थात, यह V का सत्ता स्थापित है)। अगर $V = S = {0, 1, ..., n},$ तो इस एएससी को मानक संयोजन n-simplex कहा जाता है।

2. 'जी' को अप्रत्यक्ष ग्राफ होने दें। जी का क्लिक कॉम्प्लेक्स एएससी है जिसके चेहरे जी के सभी क्लिक (ग्राफ सिद्धांत) (पूर्ण सबग्राफ) हैं। 'जी' का स्वतंत्रता परिसर एएससी है, जिसके चेहरे 'जी' के सभी स्वतंत्र समुच्चय (ग्राफ सिद्धांत) हैं (यह जी के पूरक ग्राफ का क्लिक कॉम्प्लेक्स है)। क्लिक कॉम्प्लेक्स ध्वज परिसरों का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण हैं। ध्वज परिसर संपत्ति के साथ जटिल के है, जो कि तत्वों का हर समुच्चय है जो के के चेहरे से जुड़ा हुआ है, वह स्वयं के का चेहरा है।

3. 'एच' को hypergraph होने दें। H में हाइपरग्राफ में मिलान H के किनारों का समुच्चय है, जिसमें हर दो किनारे विसंधित समुच्चय हैं। H का मैचिंग कॉम्प्लेक्स एएससी है जिसके सभी चेहरे H के हाइपरग्राफ में मैच कर रहे हैं। यह H के हाइपरग्राफ के लाइन ग्राफ का इंडिपेंडेंस कॉम्प्लेक्स है।

4. चलो 'पी' आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय (पॉसमुच्चय) बनें। P का ऑर्डर कॉम्प्लेक्स एएससी है जिसके चेहरे 'P' में सभी परिमित कुल आदेश#चेन हैं। इसके होमोलॉजी (गणित) समूह और अन्य टोपोलॉजिकल संपत्ति में पॉसमुच्चय 'पी' के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी होती है।

5. मान लें कि M मीट्रिक स्थान है और δ वास्तविक संख्या है। विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स एएससी है जिसके चेहरे अधिकतम δ व्यास वाले एम के परिमित उपसमुच्चय हैं। इसमें समरूपता सिद्धांत , अतिशयोक्तिपूर्ण समूह, मूर्ति प्रोद्योगिकी और मोबाइल तदर्थ नेटवर्क िंग में एप्लिकेशन हैं। यह ध्वज परिसर का और उदाहरण है।

6. चलो $I$ बहुपद वलय में वर्ग-मुक्त एकपदी आदर्श हो $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ (अर्थात, चरों के सबसमुच्चय के गुणनफल द्वारा उत्पन्न आदर्श)। फिर उन वर्ग-मुक्त मोनोमियल के घातांक सदिश $S$ जो अंदर नहीं हैं $I$ मानचित्र के माध्यम से सार सरल परिसर का निर्धारण करें $\mathbf {a} \in \{0,1\}^{n}\mapsto \{i\in [n]:a_{i}=1\}$ . वास्तव में, पर (गैर-खाली) अमूर्त सरलीकृत परिसरों के बीच आक्षेप है $n$ शीर्ष और वर्ग-मुक्त एकपदीय आदर्शों में $S$ . अगर $I_{\Delta }$ सरल परिसर के अनुरूप वर्ग-मुक्त आदर्श है $\Delta$ फिर भागफल की अंगूठी $S/I_{\Delta }$ की स्टेनली-रीस्नर रिंग के रूप में जाना जाता है ${\Delta }$ .

7. टोपोलॉजिकल स्पेस के किसी भी खुला आवरण सी के लिए, सी का 'तंत्रिका जटिल ' सार सिंपलियल कॉम्प्लेक्स है, जिसमें गैर-खाली चौराहे के साथ सी के उप-परिवार होते हैं।

गणना

n लेबल वाले तत्वों तक (जो कि आकार n के समुच्चय S पर है) अमूर्त सरलीकृत परिसरों की संख्या nth Dedekind संख्या से कम है। ये संख्या बहुत तेजी से बढ़ती है, और केवल के लिए जानी जाती है $n \leq 8$ ; Dedekind संख्याएँ हैं (n = 0 से शुरू):

1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787 (sequence A014466 in the OEIS). यह के उपसमुच्चय के गैर-खाली antichain की संख्या से मेल खाती है

n

तय करना।

अमूर्त साधारण परिसरों की संख्या जिनके कोने बिल्कुल n लेबल वाले तत्व हैं, अनुक्रम 1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209370320359966 द्वारा दिए गए हैं (sequence A006126 in the OEIS), n = 1 से शुरू होता है। यह लेबल वाले n-समुच्चय के एंटीचैन कवर की संख्या से मेल खाता है; उनके अधिकतम चेहरों के संदर्भ में वर्णित एन तत्वों पर एन-समुच्चय और साधारण परिसरों के एंटीचैन कवर के बीच स्पष्ट आपत्ति है।

वास्तव में n गैर-लेबल वाले तत्वों पर अमूर्त साधारण परिसरों की संख्या अनुक्रम 1, 2, 5, 20, 180, 16143 द्वारा दी गई है (sequence A006602 in the OEIS), n = 1 से शुरू।

कम्प्यूटेशनल समस्याएं

साधारण जटिल मान्यता समस्या है: परिमित एएससी दिया गया है, यह तय करें कि क्या ज्यामितीय प्राप्ति किसी दिए गए ज्यामितीय वस्तु के लिए होमोमोर्फिक है। यह समस्या डी ≥ 5 के लिए किसी भी डी-आयामी मैनिफोल्ड के लिए अनिर्णीत समस्या है।

अन्य अवधारणाओं से संबंध

एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ सार सरल परिसर जिसे वृद्धि संपत्ति या विनिमय संपत्ति कहा जाता है, मैट्रॉइड पैदा करता है। निम्नलिखित अभिव्यक्ति शर्तों के बीच संबंधों को दर्शाती है:

हाइपरग्राफ = समुच्चय-परिवार ⊃ स्वतंत्रता-प्रणाली = सार-सरल-परिसर ⊃ मैट्रोइड्स।

यह भी देखें

क्रुस्कल-काटोना प्रमेय
सरल समुच्चय

संदर्भ

↑ Lee, John M., Introduction to Topological Manifolds, Springer 2011, ISBN 1-4419-7939-5, p153
↑ Korte, Bernhard; Lovász, László; Schrader, Rainer (1991). लालची. Springer-Verlag. p. 9. ISBN 3-540-18190-3.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 Matoušek, Jiří (2007). Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler , Section 4.3

[Lee-1] Lee, John M., Introduction to Topological Manifolds, Springer 2011, ISBN 1-4419-7939-5, p153

[2] Korte, Bernhard; Lovász, László; Schrader, Rainer (1991). लालची. Springer-Verlag. p. 9. ISBN 3-540-18190-3.

[:0-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 Matoušek, Jiří (2007). Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler , Section 4.3

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