बहुपद द्विपाशी

$|z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+$ $z^{2}+z+1|=1$

गणित में, एक बहुपद लेम्निस्केट या बहुपद स्तर वक्र डिग्री 2n का एक बीजगणितीय वक्र है, जो डिग्री n के जटिल गुणांक वाले बहुपद p से निर्मित होता है।

ऐसे किसी बहुपद पी और धनात्मक वास्तविक संख्या सी के लिए, हम सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं $|p(z)|=c.$ संख्याओं के इस सेट को वास्तविक कार्तीय समतल में बिंदुओं के बराबर किया जा सकता है, जिससे एक बीजगणितीय वक्र ƒ(x, y) =c होता है^{2 2n डिग्री का 2, जो बाहर विस्तार का परिणाम है $p(z){\bar {p}}({\bar {z}})$ z = x + iy के संदर्भ में।}

जब p डिग्री 1 का बहुपद होता है तो परिणामी वक्र केवल एक वृत्त होता है जिसका केंद्र p का शून्य होता है। जब p डिग्री 2 का बहुपद होता है तो वक्र कैसिनी अंडाकार होता है।

वन लेम्निस्केट

डिग्री दस और जीनस छह का वन नींबू

पॉल एर्डोस|एर्दोस का एक अनुमान जिसने काफी रुचि आकर्षित की है, एक बहुपद लेमनिस्केट की अधिकतम लंबाई ƒ(x, y) = 1 डिग्री 2n जब p मोनिक बहुपद है, जिसे Erdős अनुमान प्राप्त किया गया था जब p(z) =zⁿ − 1.

यह अभी भी सिद्ध नहीं हुआ है लेकिन फ्रायंटोव और फेडर नाज़रोव ने साबित किया है कि p a देता है स्थानीय अधिकतम। मामले में जब n = 2, एर्दोस लेम्निस्केट या बर्नौली लेम्निस्केट है

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2(x^{2}-y^{2})\,$

और यह सिद्ध हो चुका है कि यह वास्तव में डिग्री चार में अधिकतम लंबाई है। एर्डोस लेम्निस्केट में तीन सामान्य एन-गुना बिंदु हैं, जिनमें से एक मूल में है, और (n − 1)(n − 2)/2 का एक ज्यामितीय जीनस है। व्युत्क्रम ज्यामिति द्वारा यूनिट सर्कल में एर्डोस लेम्निस्केट, डिग्री n का एक गैर-एकवचन वक्र प्राप्त करता है।

सामान्य बहुपद लेमनसेट

सामान्य तौर पर, एक बहुपद लेम्निस्केट मूल को स्पर्श नहीं करेगा, और केवल दो सामान्य n-गुना विलक्षणताएं होंगी, और इसलिए (n − 1) का एक जीनस होगा^{2</उप>। वास्तविक वक्र के रूप में, इसमें कई असंबद्ध घटक हो सकते हैं। इसलिए, यह एक limniscate की तरह नहीं लगेगा, जिससे नाम एक मिथ्या नाम बन जाएगा।}

इस तरह के बहुपद लेम्निस्केट्स का एक दिलचस्प उदाहरण मैंडलब्रॉट वक्र हैं। अगर हम पी सेट करते हैं₀ = जेड, और पी_n = पी_n−1² + z, तो संगत बहुपद M को ले जाता है_n द्वारा परिभाषित | पी_n(जेड) | = 2 मैंडेलब्रॉट सेट की सीमा पर अभिसरण करता है। मैंडेलब्रॉट वक्र 2 डिग्री के हैं^एन+1.

संदर्भ

• Alexandre Eremenko and Walter Hayman, On the length of lemniscates, Michigan Math. J., (1999), 46, no. 2, 409–415 [1]
• O. S. Kusnetzova and V. G. Tkachev, Length functions of lemniscates, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538 [2]