व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति

व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो बीजगणितीय ज्यामिति को एक ऐसी स्थिति में सामान्यीकृत करती है जहां क्रमविनिमेय छल्ले, जो स्थानीय चार्ट प्रदान करते हैं, को या तो विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित से बदल दिया जाता है। $\mathbb {Q}$), साधारण क्रमविनिमेय वलय या अत्यधिक संरचित वलय स्पेक्ट्रम|$E_{\infty }$बीजगणितीय टोपोलॉजी से रिंग स्पेक्ट्रा, जिनके उच्च होमोटॉपी समूह संरचना शीफ ​​की गैर-विसंगतता (जैसे, टोर) के लिए खाते हैं। ग्रोथेंडिक की योजना सिद्धांत संरचना शीफ ​​को नीलपोटेंट तत्वों को ले जाने की अनुमति देता है। व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति को इस विचार के विस्तार के रूप में माना जा सकता है, और प्रतिच्छेदन सिद्धांत (या प्रेरक होमोटोपी सिद्धांत) के लिए प्राकृतिक सेटिंग्स प्रदान करता है।) अन्य अनुप्रयोगों के बीच विरूपण सिद्धांत (cf. J. फ्रांसिस) में एकवचन बीजगणितीय किस्मों और कोटेंगेंट परिसरों का।

परिचय

क्षेत्र में अध्ययन की मूल वस्तुएँ व्युत्पन्न योजनाएँ और व्युत्पन्न ढेर हैं। अक्सर उद्धृत प्रेरणा सेरे का प्रतिच्छेदन सूत्र है। सामान्य सूत्रीकरण में, सूत्र में टोर काम करता है शामिल होता है और इस प्रकार, जब तक उच्च टोर गायब नहीं हो जाता, तब तक योजना-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन (यानी, विसर्जन के फाइबर उत्पाद) सही प्रतिच्छेदन संख्या नहीं देते हैं। व्युत्पन्न संदर्भ में, कोई व्युत्पन्न टेंसर उत्पाद लेता है $A\otimes ^{L}B$, जिसका उच्च होमोटॉपी उच्चतर टोर है, जिसका ईटेल स्पेक एक योजना नहीं बल्कि एक व्युत्पन्न योजना है। इसलिए, व्युत्पन्न फाइबर उत्पाद सही प्रतिच्छेदन संख्या देता है। (वर्तमान में यह काल्पनिक है; व्युत्पन्न प्रतिच्छेदन सिद्धांत को अभी विकसित किया जाना है।)

व्युत्पन्न शब्द का उपयोग उसी तरह से किया जाता है जैसे कि व्युत्पन्न फंक्टर या व्युत्पन्न श्रेणी, इस अर्थ में कि क्रमविनिमेय रिंगों की श्रेणी को व्युत्पन्न रिंगों की ∞-श्रेणी से प्रतिस्थापित किया जा रहा है। शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में, अर्ध-सुसंगत शीफ की व्युत्पन्न श्रेणी|अर्ध-सुसंगत ढेरों को त्रिकोणीय श्रेणी के रूप में देखा जाता है, लेकिन इसमें एक स्थिर ∞-श्रेणी में प्राकृतिक वृद्धि होती है, जिसे ∞-श्रेणी के रूप में माना जा सकता है|∞- एक एबेलियन श्रेणी का श्रेणीबद्ध एनालॉग।

परिभाषाएँ

व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति मूल रूप से होमोलॉजिकल बीजगणित और होमोटोपी का उपयोग करके ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन है। चूंकि इस क्षेत्र में वस्तुओं को समरूपता और होमोटोपी जानकारी को सांकेतिक शब्दों में बदलना चाहिए, इसलिए व्युत्पन्न रिक्त स्थान के बारे में विभिन्न धारणाएं हैं। व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की मूल वस्तुएँ व्युत्पन्न योजनाएँ हैं, और अधिक सामान्यतः, व्युत्पन्न ढेर हैं। स्वाभाविक रूप से, व्युत्पन्न योजनाओं को व्युत्पन्न रिंगों की कुछ श्रेणी से लेकर सेट की श्रेणी तक फ़ैक्टर होना चाहिए

$F:{\text{DerRings}}\to {\text{Sets}}$

जिसे उच्च समूह के लक्ष्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है (जो कि होमोटोपी प्रकारों द्वारा तैयार किए जाने की उम्मीद है)। ये व्युत्पन्न ढेर फॉर्म के उपयुक्त कारक हैं

$F:{\text{DerRings}}\to {\text{HoT}}$

कई लेखक ऐसे फ़ंक्टरों को सरलीकृत सेटों में मूल्यों के साथ फ़ंक्टर्स के रूप में मॉडल करते हैं, क्योंकि वे होमोटोपी प्रकारों का मॉडल करते हैं और अच्छी तरह से अध्ययन किए जाते हैं। इन व्युत्पन्न स्थानों पर अलग-अलग परिभाषाएँ इस बात पर निर्भर करती हैं कि व्युत्पन्न छल्ले क्या हैं, और होमोटोपी प्रकार क्या दिखना चाहिए। व्युत्पन्न रिंगों के कुछ उदाहरणों में कम्यूटेटिव डिफरेंशियल ग्रेडेड अल्जेब्रा, सिंपलियल रिंग्स और शामिल हैं $E_{\infty }$-छल्ले।

=== विशेषता 0 === पर व्युत्पन्न ज्यामिति विशेषता 0 से अधिक व्युत्पन्न ज्यामिति सहमत हैं क्योंकि व्युत्पन्न वलय समान हैं। $E_{\infty }$ बीजगणित विशिष्ट शून्य पर केवल क्रमविनिमेय अंतर वर्गीकृत बीजगणित हैं। फिर हम व्युत्पन्न योजनाओं को बीजगणितीय ज्यामिति में योजनाओं के समान परिभाषित कर सकते हैं। बीजगणितीय ज्यामिति के समान, हम इन वस्तुओं को एक युग्म के रूप में भी देख सकते हैं $(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\bullet })$ जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस है $X$ कम्यूटेटिव डिफरेंशियल ग्रेडेड अल्जेब्रस के एक समूह के साथ। कभी-कभी लेखक यह मानते हैं कि ये नकारात्मक रूप से वर्गीकृत हैं, इसलिए ${\mathcal {O}}_{X}^{n}=0$ के लिए $n>0$. एक आवरण के लिए शीफ की स्थिति को भी कमजोर किया जा सकता है $U_{i}$ का $X$, शीशों ${\mathcal {O}}_{U_{i}}^{\bullet }$ ओवरलैप्स पर चिपकाएगा $U_{ij}$ केवल अर्ध-समरूपता द्वारा।

दुर्भाग्य से, विशिष्ट पी पर, अंतर वर्गीकृत बीजगणित होमोटोपी सिद्धांत के लिए खराब काम करते हैं, इस तथ्य के कारण $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$[1]। सरल बीजगणित का उपयोग करके इसे दूर किया जा सकता है।

=== मनमाना विशेषता === पर व्युत्पन्न ज्यामिति मनमाना विशेषता पर व्युत्पन्न रिंगों को सरल श्रेणीबद्ध गुणों के कारण साधारण कम्यूटेटिव रिंग के रूप में लिया जाता है। विशेष रूप से, साधारण छल्ले की श्रेणी सरल रूप से समृद्ध होती है, जिसका अर्थ है कि होम-सेट स्वयं सरल सेट होते हैं। इसके अलावा, साधारण सेट से आने वाले साधारण कम्यूटेटिव रिंगों पर एक कैनोनिकल मॉडल संरचना है। वास्तव में, यह क्विलेन का एक प्रमेय है कि सरल सेटों पर मॉडल संरचना को साधारण क्रमविनिमेय रिंगों में स्थानांतरित किया जा सकता है।

उच्च ढेर

यह अनुमान लगाया गया है कि उच्च ढेर का एक अंतिम सिद्धांत है जो होमोटॉपी परिकल्पना का मॉडल है। ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया कि इन्हें गोलाकार समूह, या उनकी परिभाषा के कमजोर रूप से तैयार किया जाएगा। सिम्पसन ग्रोथेंडिक के विचारों की भावना में एक उपयोगी परिभाषा देता है। याद रखें कि एक बीजगणितीय स्टैक (यहां 1-स्टैक) को प्रतिनिधित्व योग्य कहा जाता है यदि किन्हीं दो योजनाओं का फाइबर उत्पाद एक योजना के लिए आइसोमोर्फिक है। यदि हम यह मान लें कि 0-स्टैक केवल एक बीजगणितीय स्थान है और 1-स्टैक केवल एक स्टैक है, तो हम पुनरावर्ती रूप से एक n-स्टैक को एक वस्तु के रूप में परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि किसी भी दो योजनाओं के साथ फाइबर उत्पाद एक (n-) है। 1)-स्टैक। यदि हम बीजगणितीय ढेर की परिभाषा पर वापस जाते हैं, तो यह नई परिभाषा सहमत होती है।

स्पेक्ट्रल योजनाएं

व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति का एक अन्य सिद्धांत वर्णक्रमीय योजनाओं के सिद्धांत द्वारा समझाया गया है। सटीक स्थिति के लिए उनकी परिभाषा के लिए उचित मात्रा में प्रौद्योगिकी की आवश्यकता होती है। लेकिन, संक्षेप में, वर्णक्रमीय योजनाएँ $X=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ एक वर्णक्रमीय रूप से वलय द्वारा दिया जाता है $\infty$-टोपोस ${\mathfrak {X}}$ एक साथ के एक पूले के साथ $\mathbb {E} _{\infty }$-छल्ले ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ इस पर affine योजनाओं की परिभाषा के समान कुछ स्थानीय स्थितियों के अधीन। विशेष रूप से

1. ${\mathfrak {X}}\cong {\text{Shv}}(X_{top})$ के समकक्ष होना चाहिए $\infty$कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस के टॉपोज़
2. एक आवरण मौजूद होना चाहिए $U_{i}$ का $X_{top}$ जैसे कि प्रेरित टोपोस $({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})$ एक वर्णक्रमीय रूप से चक्राकार टोपोस के बराबर है ${\text{Spec}}(A_{i})$ कुछ के लिए $\mathbb {E} _{\infty }$-अँगूठी $A_{i}$

इसके अलावा, वर्णक्रमीय योजना $X$ संयोजी कहा जाता है यदि $\pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0$ के लिए $i<0$.

उदाहरण

स्मरण करो कि एक बिंदु के शीर्ष ${\text{Sh}}(*)$ सेट की श्रेणी के बराबर है। फिर, में $\infty$-टॉपोस सेटिंग, हम इसके बजाय विचार करते हैं $\infty$-शेव $\infty$-ग्रुपोइड्स (जो हैं $\infty$-श्रेणियाँ एक ही वस्तु के साथ), निरूपित ${\text{Shv}}(*)$, बिंदु टोपोस का एक एनालॉग दे रहा है $\infty$-टोपोस सेटिंग। फिर, संलग्न करके एक वर्णक्रमीय रूप से चक्राकार स्थान की संरचना दी जा सकती है $\mathbb {E} _{\infty }$-अँगूठी $A$. ध्यान दें कि इसका मतलब वर्णक्रमीय रूप से चक्राकार रिक्त स्थान सामान्यीकरण है $\mathbb {E} _{\infty }$-हर के बाद से बजता है $\mathbb {E} _{\infty }$-अंगूठी को वर्णक्रमीय रूप से चक्राकार स्थान से संबद्ध किया जा सकता है।

यह वर्णक्रमीय रूप से चक्राकार टोपोस एक वर्णक्रमीय योजना हो सकती है यदि इस वलय का स्पेक्ट्रम एक समतुल्य देता है $\infty$-टॉपोस, इसलिए इसका अंतर्निहित स्थान एक बिंदु है। उदाहरण के लिए, यह रिंग स्पेक्ट्रम द्वारा दिया जा सकता है $H\mathbb {Q}$, ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेक्ट्रम कहा जाता है, जो ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्थान से निर्मित होता है $K(\mathbb {Q} ,n)$.

अनुप्रयोग

• व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति का प्रयोग किसके द्वारा किया गया था Kerz, Strunk & Tamme (2018) नेगेटिव बीजगणितीय के-थ्योरी|के-थ्योरी के लुप्त होने पर वीबेल के अनुमान को साबित करने के लिए।
• अरिंकिन और डेनिस गैट्सगोरी द्वारा ज्यामितीय लैंगलैंड्स पत्राचार का सूत्रीकरण व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करता है।

यह भी देखें

• व्युत्पन्न योजना
• स्टैक का पीछा करना
• नॉनकम्यूटेटिव बीजगणितीय ज्यामिति
• सिंपल कम्यूटेटिव रिंग
• व्युत्पन्न
• एक ओपेरा पर बीजगणित
• एक अंगूठी
• उच्च टोपोस थ्योरी
• ∞-टोपोस
• एटेल स्पेक्ट्रम

संदर्भ

सादा दिन

• Toën, Bertrand (2014-01-06). "व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति". arXiv:1401.1044 [math.AG].
• Toën, Bertrand; Vezzosi, Gabriele (2004). "From HAG to DAG: derived moduli stacks". In Greenlees, J. P. C. (ed.). स्वयंसिद्ध, समृद्ध और प्रेरक समरूपता सिद्धांत। नाटो उन्नत अध्ययन संस्थान की कार्यवाही, कैम्ब्रिज, यूके, 9-20 सितंबर, 2002. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Vol. 131. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 173–216. ISBN 1-4020-1833-9. Zbl 1076.14002.
• Vezzosi, Gabriele (2011). "एक व्युत्पन्न ढेर क्या है?" (PDF). Notices Am. Math. Soc. 58 (7): 955–958. Zbl 1228.14004.

डिफरेंशियल ग्रेडेड डीएजी

• Eugster, J.; Pridham, J.P. (2021-10-25). "व्युत्पन्न (बीजीय) ज्यामिति का परिचय". arXiv:2109.14594 [math.AG].

और_n और ई_∞ -अंगूठियां

• स्पेक्ट्रल बीजगणितीय ज्यामिति - Rezk
• ऑपरेड्स एंड शीफ कोहोलॉजी - जेपी मई - $E_{\infty }$विशेषता 0 और पर -रिंग्स $E_{\infty }$शेफ कोहोलॉजी के लिए संरचना
• ई की स्पर्शरेखा जटिल और होशचाइल्ड कोहोलॉजी_n-रिंग्स https://arxiv.org/abs/1104.0181
• फ्रांसिस, जॉन; व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति ओवर ${\mathcal {E}}_{n}$-रिंग्स

अनुप्रयोग

• लोरे, पार्कर; शुर्ग, टिमो। (2018)। arxiv:1208.6325|व्युत्पन्न योजनाओं के लिए Grothendieck-Riemann-Roch
• सियोकान-फोंटेनाइन, आई., कापरानोव, एम. (2007)। arxiv:math/0703214|dg-manifolds के माध्यम से वर्चुअल फंडामेंटल क्लासेस
• मान, ई., रोबालो एम. (2018)। arxiv:1803.09476|ग्रोमोव-विटन सिद्धांत व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति के साथ
• डेविड बेन-ज़वी|बेन-ज़्वी, डी., फ्रांसिस, जे., और डी. नाडलर। व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति में इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म्स और ड्रिनफेल्ड केंद्र .
• Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018), "Algebraic K-theory and descent for blow-ups", Invent. Math., 211 (2): 523–577, arXiv:1611.08466, Bibcode:2018InMat.211..523K, doi:10.1007/s00222-017-0752-2, MR 3748313, S2CID 119165673

क्वांटम फील्ड सिद्धांत

• आर्क्सिव: 1111.4234

बाहरी संबंध

• Jacob Lurie's Home Page
• Overview of Spectral Algebraic Geometry
• DAG reading group (Fall 2011) at Harvard
• http://ncatlab.org/nlab/show/derived+algebraic+geometry
• Michigan Derived Algebraic Geometry RTG Learning Workshop, 2012
• Derived algebraic geometry: how to reach research level math?
• Derived Algebraic Geometry and Chow Rings/Chow Motives
• Gabriele Vezzosi, An overview of derived algebraic geometry, October 2013