ज़िगज़ैग लेम्मा

गणित में, विशेष रूप से होमोलॉजिकल बीजगणित, ज़िग-ज़ैग लेम्मा कुछ श्रृंखला परिसरों के होमोलॉजी समूहों में एक विशेष लंबे सटीक अनुक्रम के अस्तित्व पर जोर देती है। परिणाम हर एबेलियन श्रेणी में मान्य है।

कथन

एक एबेलियन श्रेणी में (जैसे एबेलियन समूहों की श्रेणी या किसी दिए गए क्षेत्र (बीजगणित) पर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी), मान लीजिए $({\mathcal {A}},\partial _{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial _{\bullet }')$ और $({\mathcal {C}},\partial _{\bullet }'')$ चेन कॉम्प्लेक्स बनें जो निम्नलिखित लघु सटीक अनुक्रम में फिट हों:

$0\longrightarrow {\mathcal {A}}\mathrel {\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }} {\mathcal {B}}\mathrel {\stackrel {\beta }{\longrightarrow }} {\mathcal {C}}\longrightarrow 0$ ऐसा क्रम निम्न क्रमविनिमेय आरेख के लिए आशुलिपि है:

[[image:complex_ses_diagram.png|श्रृंखला परिसरों के एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम का क्रमविनिमेय आरेख प्रतिनिधित्व

जहाँ पंक्तियाँ सटीक क्रम हैं और प्रत्येक स्तंभ एक श्रृंखला परिसर है।

ज़िग-ज़ैग लेम्मा का दावा है कि सीमा मानचित्रों का एक संग्रह है

$\delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),$

जो निम्नलिखित अनुक्रम को सटीक बनाता है:

[[image:complex_les.png|ज़िग-ज़ैग लेम्मा द्वारा दी गई समरूपता में लंबा सटीक अनुक्रम

मानचित्र $\alpha _{*}^{}$ और $\beta _{*}^{}$ समरूपता से प्रेरित सामान्य मानचित्र हैं। सीमा मानचित्र $\delta _{n}^{}$ नीचे समझाया गया है। अनुक्रम में नक्शों के ज़िग-ज़ैग व्यवहार से लेम्मा का नाम उत्पन्न होता है। ज़िग-ज़ैग लेम्मा के एक भिन्न संस्करण को आमतौर पर साँप लेम्मा के रूप में जाना जाता है (यह नीचे दिए गए ज़िग-ज़ैग लेम्मा के प्रमाण का सार निकालता है)।

सीमा मानचित्रों का निर्माण

मानचित्र $\delta _{n}^{}$ तर्क का पीछा करते हुए एक मानक आरेख का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। होने देना $c\in C_{n}$ में एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करते हैं $H_{n}({\mathcal {C}})$, इसलिए $\partial _{n}''(c)=0$. पंक्ति की शुद्धता का तात्पर्य है $\beta _{n}^{}$ विशेषण है, इसलिए कुछ होना चाहिए $b\in B_{n}$ साथ $\beta _{n}^{}(b)=c$. आरेख की क्रमविनिमेयता द्वारा,

$\beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0.$

सटीकता से,

$\partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \;\alpha _{n-1}.$

इस प्रकार, के बाद से $\alpha _{n-1}^{}$ इंजेक्शन है, एक अनूठा तत्व है $a\in A_{n-1}$ ऐसा है कि $\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)$. यह एक चक्र है, चूंकि $\alpha _{n-2}^{}$ इंजेक्शन है और

$\alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0,$

तब से $\partial ^{2}=0$. वह है, $\partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}$. इसका मतलब यह है $a$ एक चक्र है, इसलिए यह एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है $H_{n-1}({\mathcal {A}})$. अब हम परिभाषित कर सकते हैं

$\delta _{}^{}[c]=[a].$

परिभाषित सीमा मानचित्रों के साथ, कोई दिखा सकता है कि वे अच्छी तरह से परिभाषित हैं (अर्थात, सी और बी के विकल्पों से स्वतंत्र)। सबूत उपरोक्त के समान तर्कों का पीछा करते हुए आरेख का उपयोग करता है। इस तरह के तर्कों का उपयोग यह दिखाने के लिए भी किया जाता है कि समरूपता में अनुक्रम प्रत्येक समूह में सटीक है।

यह भी देखें

• मेयर-विटोरिस अनुक्रम

संदर्भ

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Munkres, James R. (1993). Elements of Algebraic Topology. New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0.