केंद्रक और सामान्यक

"Normalizer" redirects here. For the process of increasing audio amplitude, see Audio normalization.

"Centralizer" redirects here. For centralizers of Banach spaces, see Multipliers and centralizers (Banach spaces).

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत, केंद्रक (जिसे कम्यूटेंट भी कहा जाता है) समूह (गणित) में एक उपसमुच्चय S का समुच्चय है $\operatorname {C} _{G}(S)$ जी के तत्वों की कि एस के हर तत्व के साथ क्रमविनिमेयता, या समकक्ष, जैसे कि संयुग्मन (समूह सिद्धांत) द्वारा $g$ S के प्रत्येक तत्व को नियत छोड़ देता है। जी में एस का 'नॉर्मलाइज़र' तत्वों का सेट (गणित) है $\mathrm {N} _{G}(S)$ जी का जो सेट छोड़ने की कमजोर स्थिति को पूरा करता है $S\subseteq G$ संयुग्मन के तहत तय किया गया। S का केंद्रक और सामान्यक G के उपसमूह हैं। समूह सिद्धांत में कई तकनीकें उपयुक्त उपसमूहों के केंद्रक और सामान्यीकरण का अध्ययन करने पर आधारित हैं।

उपयुक्त रूप से तैयार की गई, परिभाषाएँ semigroup पर भी लागू होती हैं।

अंगूठी सिद्धांत में, 'सबरिंग (गणित) के एक सबसेट के केंद्रीकरण को रिंग के सेमीग्रुप (गुणन) ऑपरेशन के संबंध में परिभाषित किया गया है। रिंग R के एक उपसमुच्चय का केंद्रक, R का एक उपसमूह है। यह लेख झूठ बीजगणित में केंद्रक और सामान्यीकरण से भी संबंधित है।

सेमीग्रुप या रिंग में आदर्शवादी एक अन्य निर्माण है जो सेंट्रलाइज़र और नॉर्मलाइज़र के समान ही है।

परिभाषाएँ

समूह और अर्धसमूह

समूह (या सेमीग्रुप) G के एक सबसेट S के केंद्रक को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$\mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},$

जहाँ केवल पहली परिभाषा सेमीग्रुप्स पर लागू होती है। यदि प्रश्न में समूह के बारे में कोई अस्पष्टता नहीं है, तो G को संकेतन से दबाया जा सकता है। जब S = {a} एक सिंगलटन (गणित) सेट होता है, तो हम C लिखते हैं_G(ए) सी के बजाय_G({ए})। केंद्रक के लिए एक और कम सामान्य अंकन जेड (ए) है, जो केंद्र (समूह सिद्धांत) के लिए अंकन के समानांतर है। इस बाद के अंकन के साथ, समूह जी, जेड (जी) के 'केंद्र' और जी, जेड (जी) में एक तत्व जी के केंद्र के बीच भ्रम से बचने के लिए सावधान रहना चाहिए।

समूह (या सेमीग्रुप) जी में एस के 'नॉर्मलाइज़र' को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$\mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},$

जहां फिर से केवल पहली परिभाषा सेमिग्रुप्स पर लागू होती है। परिभाषाएँ समान हैं लेकिन समान नहीं हैं। यदि जी एस के केंद्र में है और एस एस में है, तो यह होना चाहिए gs = sg, लेकिन अगर जी नॉर्मलाइज़र में है, तो gs = tg एस में कुछ टी के लिए, टी संभवतः एस से अलग है। यही है, एस के केंद्रक के तत्वों को एस के साथ बिंदुवार बदलना चाहिए, लेकिन एस के सामान्यीकरण के तत्वों को केवल एक सेट के रूप में एस के साथ यात्रा करने की आवश्यकता है। सेंट्रलाइजर्स के लिए ऊपर वर्णित वही सांकेतिक परंपराएं नॉर्मलाइजर्स पर भी लागू होती हैं। नॉर्मलाइज़र को संयुग्मी बंद होना के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

स्पष्ट रूप से $C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)$ और दोनों के उपसमूह हैं $G$.

अंगूठी, एक क्षेत्र पर बीजगणित, झूठ अंगूठी, और झूठ बीजगणित

यदि R एक क्षेत्र पर एक वलय या बीजगणित है, और S, R का एक उपसमुच्चय है, तो S का केंद्रक बिल्कुल वैसा ही है जैसा कि G के स्थान पर R के साथ समूहों के लिए परिभाषित किया गया है।

अगर ${\mathfrak {L}}$ लाई उत्पाद [x, y] के साथ एक लाइ बीजगणित (या झूठ की अंगूठी) है, फिर एक सबसेट S का केंद्रक ${\mathfrak {L}}$ होना परिभाषित किया गया है

$\mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.$

लाइ रिंग्स के लिए सेंट्रलाइजर्स की परिभाषा निम्नलिखित तरीके से रिंग्स की परिभाषा से जुड़ी हुई है। यदि R एक साहचर्य वलय है, तो R को कम्यूटेटर # (रिंग सिद्धांत) दिया जा सकता है [x, y] = xy − yx. बेशक तब xy = yx अगर और केवल अगर [x, y] = 0. यदि हम सेट आर को ब्रैकेट उत्पाद के साथ एल के रूप में निरूपित करते हैं_R, तो स्पष्ट रूप से R में S का रिंग सेंट्रलाइज़र L में S के लाई रिंग सेंट्रलाइज़र के बराबर है_R.

लाई बीजगणित (या लाई रिंग) के उपसमुच्चय S का सामान्यक ${\mathfrak {L}}$ द्वारा दिया गया है

$\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.$

जबकि यह ले बीजगणित में नॉर्मलाइज़र शब्द का मानक उपयोग है, यह निर्माण वास्तव में सेट एस का आदर्श है ${\mathfrak {L}}$. यदि S का योगात्मक उपसमूह है ${\mathfrak {L}}$, तब $\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)$ सबसे बड़ा लाइ सबरिंग (या लाइ सबलजेब्रा, जैसा भी मामला हो) है जिसमें S एक लाइ आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) है।

गुण

अर्धसमूह

होने देना $S'$ के केंद्रक को निरूपित करें $S$ अर्धसमूह में $A$; अर्थात। $S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.$ तब $S'$ एक उपसमूह बनाता है और $S'=S'''=S'''''$; यानी एक कम्यूटेंट अपना स्वयं का द्विकम्यूटेंट है।

समूह

स्रोत:

• S का केंद्रक और सामान्यक दोनों G के उपसमूह हैं।
• स्पष्ट रूप से, C_G(S) ⊆ N_G(S). वास्तव में, सी_G(एस) हमेशा एन का सामान्य उपसमूह होता है_G(एस), होमोमोर्फिज्म का कर्नेल होने के नाते N_G(S) → Bij(S) और समूह एन_G(अनुसूचित जाति_G(S) S पर द्विभाजनों के समूह के रूप में संयुग्मन द्वारा कार्य करता है। एक टोरस टी के साथ एक कॉम्पैक्ट लाइ समूह जी के वेइल समूह को परिभाषित किया गया है W(G,T) = N_G(T)/C_G(T), और विशेष रूप से अगर टोरस अधिक से अधिक है (यानी C_G(T) = T) यह झूठ समूहों के सिद्धांत में एक केंद्रीय उपकरण है।
• सी_G(सी_G(एस)) में एस होता है, लेकिन सी_G(एस) में एस शामिल करने की आवश्यकता नहीं है। रोकथाम बिल्कुल तब होती है जब एस एबेलियन होता है।
• यदि H, G का एक उपसमूह है, तो N_G(एच) में एच शामिल है।
• यदि H, G का एक उपसमूह है, तो G का सबसे बड़ा उपसमूह जिसमें H सामान्य है, उपसमूह N है_G(एच)।
• यदि S, G का एक उपसमुच्चय है जैसे कि S के सभी तत्व एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं, तो G का सबसे बड़ा उपसमूह जिसके केंद्र में S है उपसमूह C है_G(एस)।
• समूह G के एक उपसमूह H को 'कहा जाता है।{{visible anchor|self-normalizing subgroup}जी का } अगर N_G(H) = H.
• G का केंद्र ठीक C है_G(जी) और जी एक एबेलियन समूह है अगर और केवल अगर C_G(G) = Z(G) = G.
• सिंगलटन सेट के लिए, C_G(a) = N_G(a).
• सममिति के अनुसार, यदि S और T, G के दो उपसमुच्चय हैं, T ⊆ C_G(S) अगर और केवल अगर S ⊆ C_G(T).
• समूह G के एक उपसमूह H के लिए, 'N/C प्रमेय' कहता है कि कारक समूह N_G(एच) / सी_G(एच) ऑट (एच) के उपसमूह के लिए समूह समरूपता है, एच के automorphism का समूह। चूंकि N_G(G) = G और C_G(G) = Z(G), N/C प्रमेय का अर्थ यह भी है कि G/Z(G) Inn(G) के लिए आइसोमॉर्फिक है, Aut(G) के उपसमूह में G के सभी आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म शामिल हैं।
• यदि हम एक समूह समरूपता को परिभाषित करते हैं T : G → Inn(G) द्वारा T(x)(g) = T_x(g) = xgx⁻¹, तो हम N का वर्णन कर सकते हैं_G(एस) और सी_G(एस) जी पर इन (जी) की समूह कार्रवाई (गणित) के संदर्भ में: इन (जी) में एस का स्टेबलाइजर टी (एन) है_G(एस)), और इन (जी) का उपसमूह एस बिंदुवार फिक्सिंग टी (सी) है_G(एस))।
• समूह जी के एक उपसमूह एच को 'सी-बंद' या 'स्वयं-बायकोमुटेंट' कहा जाता है यदि H = C_G(S) कुछ सबसेट के लिए S ⊆ G. यदि ऐसा है, तो वास्तव में, H = C_G(C_G(H)).

एक क्षेत्र पर छल्ले और बीजगणित

स्रोत:

• एक क्षेत्र में छल्ले और बीजगणित में केंद्रक एक क्षेत्र के ऊपर क्रमशः सबरिंग और सबलजेब्रस होते हैं; लाई रिंग्स और लाई एल्जेब्रा में सेंट्रलाइज़र क्रमशः लाई सबरिंग्स और लाई सबलजेब्रस हैं।
• लाइ रिंग में S के नॉर्मलाइज़र में S का सेंट्रलाइज़र होता है।
• सी_R(सी_R(एस)) में एस शामिल है लेकिन जरूरी नहीं कि बराबर हो। डबल केंद्रीकरण प्रमेय उन स्थितियों से संबंधित है जहाँ समानता होती है।
• यदि S एक लाई रिंग A का योगात्मक उपसमूह है, तो N_A(S) A का सबसे बड़ा झूठ उपसमूह है जिसमें S झूठ आदर्श है।
• अगर S, लाइ रिंग A का लाइ सबरिंग है, तो S ⊆ N_A(S).

यह भी देखें

• कम्यूटेटर
• डबल केंद्रक प्रमेय
• आदर्शवादी
• मल्टीप्लायर और सेंट्रलाइज़र (बैनाच स्पेस)
• स्टेबलाइजर उपसमूह

संदर्भ

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, vol. 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, vol. 1 (2 ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
• Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (republication of the 1962 original ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927