सर्किल पैकिंग

This article is about सतहों पर हलकों की पैकिंग. For एक निर्धारित इंटरसेक्शन ग्राफ के साथ सर्कल पैकिंग, see सर्कल पैकिंग प्रमेय.

विभिन्न आकार के मंडलियों को एक साथ पैक करने का सबसे कुशल विधि स्पष्ट नहीं है।

ज्यामिति में, सर्कल पैकिंग एक दी गई सतह पर मंडलियों (समान या अलग-अलग आकार के) की व्यवस्था का अध्ययन है, जैसे कि कोई अतिव्यापी नहीं होता है और जिससे कोई अतिव्यापन बनाए बिना कोई चक्र बढ़ाया जा सकता है। संबंधित पैकिंग घनत्व, η, किसी व्यवस्था का वृत्तों द्वारा ढकी गई सतह का अनुपात है। उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण किया जा सकता है - इसे गोलाकार पैकिंग कहा जाता है, जो सामान्यतः केवल समान क्षेत्रों से संबंधित होता है।

गणित की शाखा जिसे सामान्यतः सर्कल पैकिंग के रूप में जाना जाता है, इच्छानुसार से आकार वाले मंडलियों के पैकिंग के ज्योमेट्री और कॉम्बिनेटरिक्स से संबंधित है: ये अनुरूप मानचित्रण, रीमैन सतहों और इसी तरह के असतत एनालॉग्स को जन्म देते हैं।

घनीभूत पैकिंग

एक हेक्सागोनल पैकिंग व्यवस्था में समान मंडलियां, सबसे घनी पैकिंग संभव है

द्वि-आयामी यूक्लिडियन स्थान में, जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने 1773 में सिद्ध किया कि हलकों की उच्चतम घनत्व वाली जाली पैकिंग षट्भुज पैकिंग व्यवस्था है, जिसमें वृत्तों के केंद्र एक षट्कोणीय जाली में व्यवस्थित होते हैं (एक मधुकोश की तरह कंपित पंक्तियाँ), और प्रत्येक वृत्त छह अन्य वृत्तों से घिरा होता है। व्यास के हलकों के लिए D और साइड की लंबाई के हेक्सागोन्स D, षट्भुज क्षेत्र और वृत्त क्षेत्र क्रमशः हैं:

${\begin{aligned}A_{\mathrm {H} }&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}\\[4pt]A_{\mathrm {C} }&={\frac {\pi }{4}}D^{2}\end{aligned}}$

वृत्तों द्वारा प्रत्येक षट्भुज के अंदर आच्छादित क्षेत्र है:

$A_{\mathrm {HC} }=3A_{\mathrm {C} }={\frac {3\pi }{4}}D^{2}$

अंत में, पैकिंग घनत्व है:

${\begin{aligned}\eta ={\frac {A_{\mathrm {HC} }}{A_{\mathrm {H} }}}&={\frac {{\frac {3\pi }{4}}D^{2}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}}}\\[4pt]&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}\approx 0.9069\end{aligned}}$

1890 में, एक्सल थ्यू ने एक प्रमाण प्रकाशित किया कि यह समान घनत्व सभी पैकिंगों में इष्टतम है, केवल जाली पैकिंग ही नहीं, किंतु उसके प्रमाण को कुछ लोगों ने अधूरा माना पहला कठोर प्रमाण 1942 में लेज़्लो फेजेस टोथ को दिया गया।

जबकि सर्कल में अपेक्षाकृत कम अधिकतम पैकिंग घनत्व होता है, केंद्रीय रूप से सममित केंद्रीय-सममित उत्तल आकृतियों के बीच भी इसका न्यूनतम संभव नहीं होता है: चिकने अष्टकोण में लगभग 0.902414 का पैकिंग घनत्व होता है, जो केंद्रीय-सममित उत्तल आकृतियों के लिए सबसे छोटा ज्ञात है। और सबसे छोटा संभव होने का अनुमान लगाया। (स्टार बहुभुज जैसे अवतल आकृतियों के पैकिंग घनत्व इच्छानुसार से छोटे हो सकते हैं।)

अन्य पैकिंग

दूसरे चरम पर, बोरोज़्स्की ने प्रदर्शित किया कि कठोर रूप से पैक किए गए हलकों की इच्छानुसार से कम घनत्व की व्यवस्था उपस्थित है।

प्लेन के यूक्लिडियन प्लेन की ग्यारह यूनिफ़ॉर्म टाइलिंग या यूनिफ़ॉर्म टाइलिंग पर आधारित ग्यारह सर्कल पैकिंग हैं। इन पैकिंग्स में, प्रत्येक सर्कल को प्रतिबिंब और घुमावों द्वारा हर दूसरे सर्कल में मैप किया जा सकता है। हेक्सागोनल गैप को एक सर्कल से भरा जा सकता है और बारहकोना गैप को सात सर्किलों से भरा जा सकता है, जिससे 3-समान पैकिंग हो सकती है। दोनों प्रकार के अंतराल के साथ काटे गए त्रिहेक्सागोनल टाइलिंग को 4-समान पैकिंग के रूप में भरा जा सकता है। स्नब हेक्सागोनल टाइलिंग में दो दर्पण-छवि रूप हैं।

गोले पर

एक संबंधित समस्या समान रूप से अंतःक्रियात्मक बिंदुओं की निम्नतम-ऊर्जा व्यवस्था को निर्धारित करना है जो किसी दिए गए सतह के अंदर स्थित होने के लिए विवश हैं। थॉमसन समस्या एक गोले की सतह पर समान विद्युत आवेशों के न्यूनतम ऊर्जा वितरण से संबंधित है। टैम्स समस्या इसका एक सामान्यीकरण है, जो गोले पर हलकों के बीच न्यूनतम दूरी को अधिकतम करने से संबंधित है। यह एक गोले पर गैर-बिंदु आवेशों को वितरित करने के समान है।

परिबद्ध क्षेत्रों में

पन्द्रह समान वृत्त वृत्त एक वर्ग में पैकिंग कर रहे हैं। आसन्न वृत्तों से केवल चार समबाहु त्रिभुज बनते हैं।

संकुलन समस्या या सरल परिबद्ध आकृतियों में गोलों की संकुलन मनोरंजक गणित में एक सामान्य प्रकार की समस्या है। कंटेनर दीवारों का प्रभाव महत्वपूर्ण है, और हेक्सागोनल पैकिंग सामान्यतः छोटी संख्या में मंडलियों के लिए इष्टतम नहीं होती है। इस प्रकार की विशिष्ट समस्याओं का अध्ययन किया गया है जिनमें सम्मिलित हैं:

एक सर्कल में सर्कल पैकिंग में

• सर्किल एक वर्ग में पैकिंग
• एक आयत में सर्किल पैकिंग
• एक समबाहु त्रिभुज में वृत्त पैकिंग
• एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में वृत्त पैकिंग

विवरण के लिए लिंक किए गए लेख देखें।

असमान वृत्त

See also: असमान क्षेत्र पैकिंग

सबसे समान आकार के मंडलियों के साथ एक कॉम्पैक्ट बाइनरी सर्कल पैकिंग संभव है।यह इस आकार अनुपात (0.910683 के पैकिंग अंश (क्षेत्र घनत्व) के साथ 0.6375559772 के अनुपात) के साथ डिस्क की सबसे घनी संभव पैकिंग भी है।

ऐसी कई समस्याएं भी हैं जो मंडलियों के आकार को गैर-समान होने की अनुमति देती हैं। ऐसा ही एक विस्तार दो विशिष्ट आकार के वृत्त (एक बाइनरी प्रणाली ) के साथ एक प्रणाली के अधिकतम संभव घनत्व का पता लगाना है। केवल नौ विशेष त्रिज्या अनुपात कॉम्पैक्ट पैकिंग की अनुमति देते हैं, जो तब होता है जब संपर्क में सर्कल की प्रत्येक जोड़ी दो अन्य सर्किलों के साथ पारस्परिक संपर्क में होती है (जब रेखा खंड सर्कल-सेंटर से सर्कल-सेंटर तक संपर्क करते हैं, तो वे सतह को त्रिकोणित करते हैं)। इन सभी त्रिज्या अनुपातों के लिए एक कॉम्पैक्ट पैकिंग ज्ञात है जो उस त्रिज्या अनुपात के साथ डिस्क के मिश्रण के लिए अधिकतम संभव पैकिंग अंश (समान आकार के डिस्क के ऊपर) को प्राप्त करता है। सभी नौ में समान हेक्सागोनल पैकिंग की तुलना में अनुपात-विशिष्ट पैकिंग सघन है, जैसा कि कॉम्पैक्ट पैकिंग के बिना कुछ त्रिज्या अनुपात करते हैं।

यह भी ज्ञात है कि यदि त्रिज्या अनुपात 0.742 से ऊपर है, तो एक बाइनरी मिश्रण समान आकार की डिस्क से बेहतर पैक नहीं कर सकता है। घनत्व के लिए ऊपरी सीमाएं जो ऐसे बाइनरी पैकिंग में छोटे अनुपात में प्राप्त की जा सकती हैं, उन्हें भी प्राप्त किया गया है।

अनुप्रयोग

चतुर्भुज आयाम मॉडुलन एक चरण-आयाम स्थान के अंदर हलकों में मंडलियों को पैक करने पर आधारित है। एक मोडम दो-आयामी चरण-आयाम स्थान में बिंदुओं की एक श्रृंखला के रूप में डेटा प्रसारित करता है। बिंदुओं के बीच की दूरी संचरण की ध्वनि सहनशीलता को निर्धारित करती है, जबकि घेरेदार सर्कल व्यास आवश्यक ट्रांसमीटर शक्ति को निर्धारित करता है। प्रदर्शन अधिकतम होता है जब कोड बिंदुओं के नक्षत्र आरेख एक कुशल सर्कल पैकिंग के केंद्र में होते हैं। संबंध में, डिकोडिंग को आसान बनाने के लिए उप-इष्टतम आयताकार पैकिंग का उपयोग अधिकांशतः किया जाता है।

ओरिगेमी डिज़ाइन में सर्कल पैकिंग एक आवश्यक उपकरण बन गया है, क्योंकि ओरिगेमी आकृति के प्रत्येक उपांग के लिए कागज के एक चक्र की आवश्यकता होती है। रॉबर्ट जे. लैंग ने कंप्यूटर प्रोग्राम विकसित करने के लिए सर्कल पैकिंग के गणित का उपयोग किया है जो जटिल ओरिगेमी आकृतियों के डिजाइन में सहायता करता है।

यह भी देखें

• अपोलोनियन गैसकेट
• एक आयत में सर्किल पैकिंग
• सर्किल एक वर्ग में पैकिंग
• सर्किल पैकिंग एक सर्कल में
• उलटा दूरी
• केप्लर अनुमान
• मालफट्टी हलकों
• पैकिंग की समस्या

ग्रन्थसूची

• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 30–31, 167. ISBN 0-14-011813-6.
• Stephenson, Kenneth (December 2003). "Circle Packing: A Mathematical Tale" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 50 (11).