बैकवर्ड यूलर विधि

संख्यात्मक विश्लेषण और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में, बैकवर्ड यूलर विधि (या अंतर्निहित यूलर विधि) साधारण अंतर समीकरणों के लिए सबसे बुनियादी संख्यात्मक विधियों में से एक है। यह (मानक) यूलर विधि के समान है, लेकिन इसमें अंतर है कि यह एक स्पष्ट और निहित विधि है। बैकवर्ड यूलर विधि में समय में एक क्रम की त्रुटि है।

विवरण

साधारण अंतर समीकरण पर विचार करें

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$ प्रारंभिक मूल्य के साथ $y(t_{0})=y_{0}.$ यहाँ समारोह $f$ और प्रारंभिक डेटा $t_{0}$ और $y_{0}$ ज्ञात हैं; कार्यक्रम $y$ वास्तविक चर पर निर्भर करता है $t$ और अज्ञात है। एक संख्यात्मक विधि एक अनुक्रम उत्पन्न करती है $y_{0},y_{1},y_{2},\ldots$ ऐसा है कि $y_{k}$ अनुमानित $y(t_{0}+kh)$, कहाँ $h$ चरण आकार कहा जाता है।

पिछड़े यूलर विधि का उपयोग करके सन्निकटन की गणना करता है

$y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).$

यह (आगे) यूलर विधि से अलग है जिसमें आगे की विधि का उपयोग किया जाता है $f(t_{k},y_{k})$ की जगह $f(t_{k+1},y_{k+1})$.

बैकवर्ड यूलर विधि एक अंतर्निहित विधि है: नया सन्निकटन $y_{k+1}$ समीकरण के दोनों ओर प्रकट होता है, और इस प्रकार विधि को अज्ञात के लिए एक बीजगणितीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है $y_{k+1}$. गैर-कठोर समीकरण समस्याओं के लिए, यह निश्चित-बिंदु पुनरावृत्ति के साथ किया जा सकता है:

$y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).$

यदि यह अनुक्रम अभिसरित होता है (दिए गए सहिष्णुता के भीतर), तो विधि अपनी सीमा को नए सन्निकटन के रूप में लेती है $y_{k+1}$. वैकल्पिक रूप से, बीजीय समीकरण को हल करने के लिए न्यूटन की विधि|न्यूटन-रैफसन विधि का (कुछ संशोधन) उपयोग किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

अंतर समीकरण का एकीकरण ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$ से $t_{n}$ को $t_{n+1}=t_{n}+h$ पैदावार

$y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.$

अब दाहिने हाथ की आयत विधि (एक आयत के साथ) द्वारा दाईं ओर अभिन्न अंग का अनुमान लगाएं:

$y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).$

अंत में, इसका इस्तेमाल करें $y_{n}$ अनुमानित माना जाता है $y(t_{n})$ और बैकवर्ड यूलर विधि का सूत्र इस प्रकार है। यदि दाएं हाथ के बजाय बाएं हाथ के आयत नियम का उपयोग किया जाता है तो यही तर्क (मानक) यूलर विधि की ओर ले जाता है।

विश्लेषण

डिस्क के बाहर का गुलाबी क्षेत्र बैकवर्ड यूलर विधि के स्थिरता क्षेत्र को दर्शाता है।

बैकवर्ड यूलर विधि की स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि (एक चरण में की गई त्रुटि के रूप में परिभाषित) है $O(h^{2})$, बिग ओ नोटेशन का उपयोग करना। एक विशिष्ट समय पर त्रुटि $t$ है $O(h^{2})$. इसका अर्थ है कि इस विधि का क्रम एक है। सामान्य तौर पर, एक विधि के साथ $O(h^{k+1})$ LTE (लोकल ट्रंकेशन एरर) को kth ऑर्डर का कहा जाता है।

पिछड़े यूलर विधि के लिए Stiff_equation#Runge%E2%80%93Kutta_methods 1 पर केंद्रित त्रिज्या 1 के साथ डिस्क के जटिल तल में पूरक है, जिसे चित्र में दर्शाया गया है। इसमें जटिल तल का पूरा बायां आधा भाग शामिल है, जो इसे कठोर समीकरणों के समाधान के लिए उपयुक्त बनाता है। वास्तव में, बैकवर्ड यूलर विधि L-stability|L-stable भी है।

बैकवर्ड यूलर विधि द्वारा असतत स्थिर प्रणाली के लिए क्षेत्र त्रिज्या 0.5 वाला एक चक्र है जो जेड-प्लेन में (0.5, 0) पर स्थित है।

एक्सटेंशन और संशोधन

बैकवर्ड यूलर विधि (फॉरवर्ड) यूलर विधि का एक प्रकार है। अन्य संस्करण अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि और घातीय यूलर विधि हैं।

बैकवर्ड यूलर विधि को बुचर झांकी द्वारा वर्णित एक चरण के साथ रनगे-कुट्टा विधि के रूप में देखा जा सकता है:

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

विधि को एक चरण के साथ एक रेखीय मल्टीस्टेप विधि के रूप में भी देखा जा सकता है। यह एडम्स-मौल्टन विधियों के परिवार की पहली विधि है, और पिछड़े भेदभाव के फार्मूले के परिवार की भी है।

यह भी देखें

• क्रैंक-निकोलसन विधि

संदर्भ

• Butcher, John C. (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-96758-3.