क्वैसिकोनफॉर्मल मैपिंग

गणितीय जटिल विश्लेषण में, क्वासिकोनफॉर्मल मैपिंग, द्वारा प्रस्तुत किया गया ग्रोट्ज़स्च (1928) और द्वारा नामित अहलफोरस (1935), समतल (ज्यामिति) डोमेन के बीच होमोमोर्फिज़्म है जो पहले क्रम में छोटे वृत्तों को परिबद्ध दीर्घवृत्त उत्केन्द्रता के छोटे दीर्घवृत्तों में ले जाता है।

सहजता से, माना f : D → D′ अभिविन्यास (गणित) हो - विमान में खुले सेटों के बीच होमियोमोर्फिज्म को संरक्षित करना। यदि f निरंतर अवकलनीय है, तो यह K--क्वैसिकोनफ़ॉर्मल है यदि प्रत्येक बिंदु पर f का व्युत्पन्न K द्वारा परिबद्ध उत्केन्द्रता वाले दीर्घवृत्तों को मानचित्र बनाता है।

परिभाषा

मान लीजिए f : D → D' जहां 'C' में D और D' दो डोमेन हैं। f की आवश्यक चिकनीता के आधार पर विभिन्न प्रकार की समकक्ष परिभाषाएं हैं। यदि f को निरंतर कार्य आंशिक डेरिवेटिव माना जाता है, तो f क्वासिकोनफॉर्मल है, बशर्ते यह बेल्ट्रामी समीकरण को संतुष्ट करता हो

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial f}{\partial z}},$

(1)

कुछ जटिल मूल्यवान लेबेस्ग मापने योग्य μ संतोषजनक समर्थन के लिए |μ| <1 (Bers 1977). यह समीकरण ज्यामितीय व्याख्या को स्वीकार करता है। D को मीट्रिक टेंसर से लैस करें

$ds^{2}=\Omega (z)^{2}\left|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2},$

जहां Ω(z) > 0. फिर f संतुष्ट करता है (1) ठीक है जब यह इस मीट्रिक से लैस d से मानक यूक्लिडियन मीट्रिक से लैस डोमेन d' से अनुरूप परिवर्तन है। तब फलन f को 'μ-कोन्फोर्मल' कहा जाता है। अधिक सामान्यतः, f की निरंतर भिन्नता को असक्त स्थिति से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि एफ सोबोलेव स्पेस W^1,2(D) में हो ^1,2(D) ऐसे फलन जिनके प्रथम-क्रम के वितरणात्मक डेरिवेटिव Lp स्पेस में हैं| L²(D)। इस स्थिति में, f का असक्त समाधान होना आवश्यक है (1). जब μ लगभग हर जगह शून्य होता है, W में कोई होमियोमोर्फिज्म W^1,2(D) है जो कि असक्त समाधान है (1) अनुरूप है।

सहायक मीट्रिक के लिए अपील के बिना, सामान्य यूक्लिडियन मीट्रिक के एफ के अंतर्गत पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के प्रभाव पर विचार करें। परिणामी मीट्रिक तब द्वारा दिया जाता है।

$\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}\left|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2}$

जो पृष्ठभूमि यूक्लिडियन मीट्रिक के सापेक्ष है $dzd{\bar {z}}$, आइजन वैल्यूज हैं

$(1+|\mu |)^{2}\textstyle {\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}},\qquad (1-|\mu |)^{2}\textstyle {\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}}.$

आइजन वैल्यूज, क्रमशः, स्पर्शरेखा तल में इकाई वृत्त के साथ वापस खींचकर प्राप्त दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अक्ष की वर्ग लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं।

तदनुसार, बिंदु z पर f का विस्तार किसके द्वारा परिभाषित किया गया है

$K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.$

K(z) का (अनिवार्य) सर्वोच्च इसके द्वारा दिया गया है।

$K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}$

और इसे f का फैलाव कहा जाता है।

अत्यधिक लंबाई की धारणा पर आधारित परिभाषा इस प्रकार है। यदि कोई परिमित K ऐसा है कि D में वक्रों के प्रत्येक संग्रह 'Γ' के लिए 'Γ' की चरम लंबाई {f o γ : γ ∈ 'Γ'} की चरम लंबाई का अधिक से अधिक K गुना है। फिर f K-क्वैसिकोनफॉर्मल है।

यदि f कुछ परिमित K के लिए K-क्वैसिकोनफॉर्मल है, तो f अर्ध-अनुरूप है।

क्वासिकोनफॉर्मल मैपिंग के बारे में कुछ तथ्य

यदि K > 1 है तो मानचित्र x + iy ↦ Kx + iy और x + iy ↦ x + iKy दोनों क्वासिकोनफॉर्मल हैं और निरंतर फैलाव K हैं।

अगर s > -1 तो नक्शा $z\mapsto z\,|z|^{s}$ क्वैसिकोनफ़ॉर्मल है (यहाँ z सम्मिश्र संख्या है) और इसका लगातार विस्फारण होता है $\max(1+s,{\frac {1}{1+s}})$. जब एस ≠ 0, यह अर्ध-अनुरूप होमियोमोर्फिज्म का उदाहरण है जो चिकना नहीं है। यदि एस = 0, यह केवल पहचान मानचित्र है।

होमोमोर्फिज्म 1-क्वैसिकोनफॉर्मल है अगर और केवल अगर यह अनुरूप है। इसलिए पहचान मानचित्र हमेशा 1-अर्ध-अनुरूप होता है। अगर f : D → D' K-क्वैसिकोनफॉर्मलहै और g : D' → D K'-क्वैसिकोनफॉर्मलहै, तो g o f KK'-क्वैसिकोनफॉर्मलहै। K-क्वैसिकोनफॉर्मलहोमोमोर्फिज्म का व्युत्क्रम K-क्वैसिकोनफॉर्मलहै। 1-क्वैसिकोनफॉर्मल मैप्स का सेट रचना के अंतर्गत समूह बनाता है।

जटिल तल से K-क्वैसिकोनफॉर्मलमैपिंग का स्थान तीन अलग-अलग बिंदुओं को तीन दिए गए बिंदुओं पर मैप करने के लिए कॉम्पैक्ट है।

मापने योग्य रीमैन मैपिंग प्रमेय

दो आयामों में क्वैसिकोनफॉर्मल मैपिंग के सिद्धांत में केंद्रीय महत्व मापने योग्य रीमैन मैपिंग प्रमेय है, जिसे लार्स अहलफ़ोर्स और लिपमैन बेर्स द्वारा सिद्ध किया गया है। प्रमेय रीमैन मैपिंग प्रमेय को अनुरूप से क्वैसिकोनफॉर्मल होमोमोर्फिम्स तक सामान्यीकृत करता है, और इसे निम्नानुसार कहा गया है। मान लीजिए कि D 'C' में सरल रूप से जुड़ा हुआ डोमेन है जो 'C' के बराबर नहीं है, और मान लीजिए कि μ : D → 'C' लेबेस्ग मापने योग्य है और संतुष्ट करता है $\|\mu \|_{\infty }<1$. फिर डी से यूनिट डिस्क तक क्वासिकोनफॉर्मल होमोमोर्फिज्म एफ है जो सोबोलेव स्पेस डब्ल्यू में है^1,2(डी) और संबंधित बेल्ट्रामी समीकरण को संतुष्ट करता है (1) असक्त समाधान में। रीमैन के मानचित्रण प्रमेय के समान, यह f 3 वास्तविक पैरामीटरों तक अद्वितीय है।

कम्प्यूटेशनल अर्ध-अनुरूप ज्यामिति

हाल ही में, अर्ध-अनुरूप ज्यामिति ने विभिन्न क्षेत्रों से ध्यान आकर्षित किया है, जैसे अनुप्रयुक्त गणित, कंप्यूटर दृष्टि और चिकित्सा इमेजिंग। कम्प्यूटेशनल अर्ध-अनुरूप ज्यामिति विकसित की गई है, जो अर्ध-अनुरूप सिद्धांत को असतत सेटिंग में विस्तारित करती है। इसने चिकित्सा छवि विश्लेषण, कंप्यूटर दृष्टि और ग्राफिक्स में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाए हैं।

यह भी देखें

• इज़ोटेर्मल निर्देशांक
• अर्ध-नियमित नक्शा
• छद्मविश्लेषणात्मक समारोह
• टीचमुलर स्पेस
• टिसॉट का संकेतक

संदर्भ

• Ahlfors, Lars (1935), "Zur Theorie der Überlagerungsflächen", Acta Mathematica (in Deutsch), 65 (1): 157–194, doi:10.1007/BF02420945, ISSN 0001-5962, JFM 61.0365.03, Zbl 0012.17204.
• Ahlfors, Lars V. (2006) [1966], Lectures on quasiconformal mappings, University Lecture Series, vol. 38 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3644-6, MR 2241787, Zbl 1103.30001, (reviews of the first edition: MR0200442, Zbl 1103.30001).
• Bers, Lipman (1977), "Quasiconformal mappings, with applications to differential equations, function theory and topology", Bull. Amer. Math. Soc., 83 (6): 1083–1100, doi:10.1090/S0002-9904-1977-14390-5, MR 0463433.
• Caraman, Petru (1974) [1968], n–Dimensional Quasiconformal (QCf) Mappings (revised ed.), București / Tunbridge Wells, Kent: Editura Academiei / Abacus Press, p. 553, ISBN 0-85626-005-3, MR 0357782, Zbl 0342.30015.
• Grötzsch, Herbert (1928), "Über einige Extremalprobleme der konformen Abbildung. I, II.", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe (in Deutsch), 80: 367–376, 497–502, JFM 54.0378.01.
• Heinonen, Juha (December 2006), "What Is ... a Quasiconformal Mapping?" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 53 (11): 1334–1335, MR 2268390, Zbl 1142.30322.
• Jones, Gareth Wyn; Mahadevan, L. (2013-05-08). "Planar morphometry, shear and optimal quasi-conformal mappings". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences (in English). 469 (2153): 20120653. Bibcode:2013RSPSA.46920653J. doi:10.1098/rspa.2012.0653. ISSN 1364-5021. S2CID 123826235.
• Lehto, O.; Virtanen, K.I. (1973), Quasiconformal mappings in the plane, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (2nd ed.), Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, pp. VIII+258, ISBN 3-540-03303-3, MR 0344463, Zbl 0267.30016 (also available as ISBN 0-387-03303-3).
• Morrey, Charles B. Jr. (1938), "On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations", Transactions of the American Mathematical Society, 43 (1): 126–166, doi:10.2307/1989904, JFM 62.0565.02, JSTOR 1989904, MR 1501936, Zbl 0018.40501.
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826.
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085.
• Zorich, V. A. (2001) [1994], "Quasi-conformal mapping", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.