एक्सट ऑपरेटर

गणित में, Ext functors मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं के व्युत्पन्न फ़ैक्टर हैं। Tor functor के साथ, Ext समरूप बीजगणित की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसमें बीजगणितीय टोपोलॉजी के विचारों का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं के आक्रमणकारियों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। समूह कोहोलॉजी, लाई बीजगणित कोहोलॉजी और होशचाइल्ड कोहोलॉजी सभी को एक्सट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह नाम इस तथ्य से आता है कि पहला Ext समूह Ext¹ एक मॉड्यूल (गणित) के समूह विस्तार को दूसरे द्वारा वर्गीकृत करता है।

एबेलियन समूहों के विशेष मामले में, रेनहोल्ड बेयर (1934) द्वारा एक्सट पेश किया गया था। इसका नाम सैमुअल एलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैकलेन (1942) द्वारा रखा गया था, और टोपोलॉजी (कोहोलॉजी के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय) पर लागू किया गया था। किसी भी रिंग (गणित) पर मॉड्यूल के लिए, एक्सट को हेनरी कर्तन और ईलेनबर्ग द्वारा उनकी 1956 की पुस्तक होमोलॉजिकल बीजगणित में परिभाषित किया गया था।

परिभाषा

आर को एक रिंग होने दें और आर-मॉड को आर पर मॉड्यूल की श्रेणी (गणित) होने दें। (बी) = होम_R(ए, बी) आर-मॉड में बी के लिए। (यहाँ होम_R(ए, बी) ए से बी तक आर-रैखिक मानचित्रों का एबेलियन समूह है; यह एक आर-मॉड्यूल है यदि आर क्रमविनिमेय अंगूठी है।) यह आर-मॉड से एबेलियन समूह एबी की श्रेणी के लिए बाएं सटीक फ़ैक्टर है, और इसलिए इसमें दाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर आर हैं^{मैंटी. Ext समूह द्वारा परिभाषित एबेलियन समूह हैं}

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),$

एक पूर्णांक i के लिए परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है: कोई भी इंजेक्शन संकल्प लें

$0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,$

बी शब्द को हटा दें, और कोचेन कॉम्प्लेक्स बनाएं:

$0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .$

प्रत्येक पूर्णांक i के लिए, Extⁱ
_R(ए, बी) स्थिति i पर इस कॉम्प्लेक्स का चेन कॉम्प्लेक्स है। यह i ऋणात्मक के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए, एक्सट⁰
_R(ए, बी) होम मैप का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है_R(ए, आई⁰) → होम_R(ए, आई¹), जो कि होम के लिए तुल्याकारी है_R(ए, बी)।

एक वैकल्पिक परिभाषा functor G(A)=Hom का उपयोग करती है_R(ए, बी), एक निश्चित आर-मॉड्यूल बी के लिए। यह फ़ंक्टर फ़ंक्टर का सहप्रसरण और विरोधाभास है, जिसे विपरीत श्रेणी (आर-मॉड) से बाएं सटीक फ़ैक्टर के रूप में देखा जा सकता है।^ऑप से अब तक। Ext समूहों को सही व्युत्पन्न functors R के रूप में परिभाषित किया गया है^मैंजी:

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).$

यानी कोई भी प्रक्षेपी संकल्प चुनें

$\cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,$

शब्द A को हटा दें, और कोचेन कॉम्प्लेक्स बनाएं:

$0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .$

अगलाⁱ
_R(ए, बी) स्थिति i पर इस परिसर का कोहोलॉजी है।

कार्टन और ईलेनबर्ग ने दिखाया कि ये निर्माण प्रक्षेपी या अंतःक्षेपी संकल्प की पसंद से स्वतंत्र हैं, और यह कि दोनों निर्माण एक ही एक्सटी समूह उत्पन्न करते हैं। इसके अलावा, एक निश्चित वलय R के लिए, Ext प्रत्येक चर में एक फ़ंक्टर है (A में contravariant, B में सहसंयोजक)।

एक कम्यूटेटिव रिंग आर और आर-मॉड्यूल ए और बी के लिए, एक्सटⁱ
_R(ए, बी) एक आर-मॉड्यूल है (होम_R(ए, बी) इस मामले में एक आर-मॉड्यूल है)। एक गैर-कम्यूटेटिव रिंग R, Ext के लिएⁱ
_R(ए, बी) सामान्य तौर पर केवल एक एबेलियन समूह है। यदि R एक वलय S पर एक बीजगणित है (जिसका विशेष रूप से अर्थ है कि S क्रमविनिमेय है), तो Extⁱ
_R(ए, बी) कम से कम एक एस-मॉड्यूल है।

== एक्सट == के गुण यहाँ Ext समूहों के कुछ मूलभूत गुण और संगणनाएँ दी गई हैं।

• एक्स्ट⁰
  _R(ए, बी) ≅ होम_R(ए, बी) किसी भी आर-मॉड्यूल ए और बी के लिए।

• एक्स्टⁱ
  _R(ए, बी) = 0 सभी i> 0 के लिए यदि आर-मॉड्यूल ए प्रक्षेपी मॉड्यूल है (उदाहरण के लिए, मुफ्त मॉड्यूल ) या यदि बी इंजेक्शन मॉड्यूल है।

• बातचीत भी रखती है:
  • यदि एक्सट¹
    _R(A, B) = 0 सभी B के लिए, तो A प्रक्षेपी है (और इसलिए Extⁱ
    _R(ए, बी) = 0 सभी के लिए i> 0)।
  • यदि एक्सट¹
    _R(ए, बी) = 0 सभी ए के लिए, फिर बी अंतःक्षेपी है (और इसलिए एक्सटⁱ
    _R(ए, बी) = 0 सभी के लिए i> 0)।

• $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0$ सभी i ≥ 2 और सभी एबेलियन समूहों A और B के लिए।
• यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और u in R एक शून्य भाजक नहीं है, तो

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}$

किसी भी आर-मॉड्यूल बी के लिए। यहां बी [यू] बी के यू-टोरसन उपसमूह को दर्शाता है, {x ∈ बी: ux = 0}। R को अंगूठी मान लेना $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों की, इस गणना का उपयोग गणना करने के लिए किया जा सकता है $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$ किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह ए के लिए।

• पिछले उदाहरण को सामान्य करते हुए, जब कोई मॉड्यूल जटिल शर्ट का उपयोग करके किसी भी नियमित अनुक्रम द्वारा एक कम्यूटेटिव रिंग का भागफल होता है, तो कोई एक्सट समूह की गणना कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि R बहुपद वलय k[x₁,...,एक्स_n] फ़ील्ड k पर, फिर Ext^*
  _R(k,k) Ext में n जनरेटर पर k के ऊपर बाहरी बीजगणित S है^{1</उप>। इसके अलावा, एक्सट*
  _S(k,k) बहुपद वलय R है; यह कोज़ुल द्वैत का एक उदाहरण है।}

• व्युत्पन्न फ़ैक्टरों के सामान्य गुणों के अनुसार, Ext के लिए दो मूल सटीक अनुक्रम हैं। सबसे पहले, आर-मॉड्यूल का एक छोटा सटीक अनुक्रम 0 → K → L → M → 0 प्रपत्र के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है

$0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,$

किसी भी आर-मॉड्यूल ए के लिए। इसके अलावा, एक छोटा सटीक अनुक्रम 0 → के → एल → एम → 0 फॉर्म के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है

$0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,$

किसी भी आर-मॉड्यूल बी के लिए।

• Ext पहले चर में मॉड्यूल (संभवतः अनंत) का प्रत्यक्ष योग लेता है और प्रत्यक्ष उत्पाद#दूसरा चर में मॉड्यूल का प्रत्यक्ष उत्पाद उत्पादों के लिए। वह है:

${\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}$

• चलो ए एक कम्यूटेटिव नोथेरियन रिंग आर पर एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है। फिर एक्स एक रिंग के स्थानीयकरण के साथ शुरू होता है, इस अर्थ में कि आर में प्रत्येक गुणक रूप से बंद सेट एस के लिए, प्रत्येक आर-मॉड्यूल बी, और प्रत्येक पूर्णांक i,

$S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).$

एक्सट और एक्सटेंशन

एक्सटेंशन की समानता

एक्सट समूह मॉड्यूल के विस्तार से उनके संबंध से अपना नाम प्राप्त करते हैं। दिए गए आर-मॉड्यूल ए और बी, 'बी द्वारा ए का विस्तार' आर-मॉड्यूल का एक छोटा सटीक अनुक्रम है

$0\to B\to E\to A\to 0.$

दो एक्सटेंशन

$0\to B\to E\to A\to 0$

$0\to B\to E'\to A\to 0$

एक कम्यूटेटिव आरेख होने पर समतुल्य कहा जाता है ('ए' द्वारा बी के विस्तार के रूप में):

ध्यान दें कि पाँच लेम्मा का तात्पर्य है कि मध्य तीर एक समरूपता है। ए द्वारा बी के विस्तार को 'विभाजन' कहा जाता है यदि यह 'तुच्छ विस्तार' के बराबर है

$0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.$

ए बटा बी के एक्सटेंशन के समतुल्य वर्गों और एक्सट के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार है¹
_R(ए, बी)। तुच्छ विस्तार Ext के शून्य तत्व से मेल खाता है¹
_R(ए, बी)।

एक्सटेंशन का बायर योग

बेयर योग Ext पर एबेलियन समूह संरचना का एक स्पष्ट विवरण है¹
_R(ए, बी), बी द्वारा ए के एक्सटेंशन के समतुल्य वर्गों के सेट के रूप में देखा जाता है। अर्थात्, दो एक्सटेंशन दिए गए

$0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0$

और

$0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,$

पहले पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) तैयार करें $A$,

$\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.$

फिर भागफल मॉड्यूल बनाएं

$Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.$

E और E' का बेयर योग विस्तार है

$0\to B\to Y\to A\to 0,$

जहां पहला नक्शा है $b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ और दूसरा है $(e,e')\mapsto g(e)=g'(e')$.

एक्सटेंशन की समतुल्यता तक, बायर राशि क्रमविनिमेय है और पहचान तत्व के रूप में तुच्छ विस्तार है। एक विस्तार 0 → बी → ई → ए → 0 का नकारात्मक एक ही मॉड्यूल ई को शामिल करने वाला विस्तार है, लेकिन होमोमोर्फिज्म बी → ई के साथ इसके नकारात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

एबेलियन श्रेणियों में एक्सट का निर्माण

नोबुओ योनेदा ने एबेलियन समूहों को परिभाषित कियाⁿ
_C(ए, बी) किसी एबेलियन श्रेणी 'सी' में वस्तुओं ए और बी के लिए; यह संकल्पों के संदर्भ में परिभाषा से सहमत है यदि 'सी' में प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट # पर्याप्त प्रोजेक्टिव्स या इंजेक्शन ऑब्जेक्ट # पर्याप्त इंजेक्शन और इंजेक्शन हल्स हैं। सबसे पहले, एक्सट⁰
_C(ए, बी) = आदमी_C(ए, बी)। अगला, एक्सट¹
_C(ए, बी) बी द्वारा ए के विस्तार के समतुल्य वर्गों का सेट है, जो बायर योग के तहत एक एबेलियन समूह बनाता है। अंत में, उच्च Ext समूह Extⁿ
_C(ए, बी) को एन-एक्सटेंशन के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो सटीक अनुक्रम हैं

$0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,$

दो एक्सटेंशन की पहचान करने वाले संबंध से उत्पन्न तुल्यता संबंध के तहत

${\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}$

अगर नक्शे हैं $X_{m}\to X'_{m}$ {1, 2, ..., n} में सभी m के लिए ताकि प्रत्येक परिणामी क्रमविनिमेय आरेख, अर्थात, यदि कोई श्रृंखला मानचित्र ξ → ξ' है जो A और B पर पहचान है।

उपर्युक्त दो n-विस्तारों का बायर योग देने से बनता है $X''_{1}$ का पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) हो $X_{1}$ और $X'_{1}$ ए से अधिक, और $X''_{n}$ का पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) हो $X_{n}$ और $X'_{n}$ बी के तहत फिर एक्सटेंशन का बायर योग है

$0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.$

व्युत्पन्न श्रेणी और योनेदा उत्पाद

एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एबेलियन श्रेणी सी में एक्सट समूहों को सी से संबंधित श्रेणी में आकारिकी के सेट के रूप में देखा जा सकता है, व्युत्पन्न श्रेणी डी(सी)। व्युत्पन्न श्रेणी की वस्तुएं सी में वस्तुओं के परिसर हैं। विशेष रूप से, किसी के पास है

$\operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),$

जहां C की एक वस्तु को डिग्री शून्य में केंद्रित एक जटिल के रूप में देखा जाता है, और [i] का अर्थ है एक जटिल i चरणों को बाईं ओर स्थानांतरित करना। इस व्याख्या से, एक द्विरेखीय नक्शा है, जिसे कभी-कभी योनेदा उत्पाद कहा जाता है:

$\operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),$

जो केवल व्युत्पन्न श्रेणी में morphisms की रचना है।

Yoneda उत्पाद को अधिक प्राथमिक शब्दों में भी वर्णित किया जा सकता है। i = j = 0 के लिए, गुणनफल 'C' श्रेणी के मानचित्रों का संघटन है। सामान्य तौर पर, उत्पाद को दो Yoneda एक्सटेंशन को एक साथ जोड़कर परिभाषित किया जा सकता है।

वैकल्पिक रूप से, Yoneda उत्पाद को संकल्पों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। (यह व्युत्पन्न श्रेणी की परिभाषा के करीब है।) उदाहरण के लिए, आर-मॉड्यूल ए, बी, सी के साथ आर को रिंग होने दें, और पी, क्यू और टी को ए, बी, सी के अनुमानित संकल्प होने दें। अगलाⁱ
_R(ए, बी) को चेन मैप्स पी → क्यू [i] के चेन होमोटॉपी क्लास के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। योनेदा उत्पाद श्रृंखला मानचित्र बनाकर दिया गया है:

$P\to Q[i]\to T[i+j].$

इनमें से किसी भी व्याख्या से, योनेदा उत्पाद साहचर्य है। नतीजतन, $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)$ किसी भी आर-मॉड्यूल ए के लिए एक वर्गीकृत अंगूठी है। उदाहरण के लिए, यह समूह कोहोलॉजी पर रिंग संरचना देता है $H^{*}(G,\mathbb {Z} ),$ चूंकि इसे देखा जा सकता है $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )$. योनेडा उत्पाद की सहचारिता द्वारा भी: किसी भी आर-मॉड्यूल ए और बी के लिए, $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)$ एक मॉड्यूल ओवर है $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)$.

महत्वपूर्ण विशेष मामले

• समूह कोहोलॉजी द्वारा परिभाषित किया गया है $H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)$, जहाँ G एक समूह है, M पूर्णांकों पर G का एक समूह प्रतिनिधित्व है, और $\mathbb {Z} [G]$ G का समूह की अंगूठी है।

• क्षेत्र A पर क्षेत्र k और A-bimodule M पर बीजगणित के लिए, Hochschild cohomology को निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है

$HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).$

• लाई बीजगणित कोहोलॉजी द्वारा परिभाषित किया गया है $H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)$, कहाँ ${\mathfrak {g}}$ क्रमविनिमेय वलय k पर एक झूठा बीजगणित है, M एक है ${\mathfrak {g}}$-मॉड्यूल, और $U{\mathfrak {g}}$ सार्वभौमिक घेरने वाला बीजगणित है।

• एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए, शेफ कोहोलॉजी को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है $H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).$ यहाँ Ext को X पर एबेलियन समूहों के शीफ (गणित) की एबेलियन श्रेणी में लिया गया है, और $\mathbb {Z} _{X}$ स्थानीय स्थिरांक का शीफ ​​है $\mathbb {Z}$-मूल्यवान कार्य।

• अवशेष क्षेत्र k के साथ क्रमविनिमेय नोथेरियन स्थानीय वलय R के लिए, $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)$ एक ग्रेडेड लाई बीजगणित π*(R) ओवर k का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित है, जिसे R के 'होमोटोपी लाई बीजगणित' के रूप में जाना जाता है। (सटीक होने के लिए, जब k में फ़ील्ड 2 की विशेषता है, π*(R) को एक समायोजित झूठ बीजगणित के रूप में देखा जा सकता है।) एंड्रे-क्विलन कोहोलॉजी डी*(के/आर,के) से π*(आर) तक ग्रेडेड ले बीजगणित का एक प्राकृतिक समरूपता है, जो एक आइसोमोर्फिज्म है यदि के में विशेषता शून्य है।

यह भी देखें

• वैश्विक आयाम
• बार संकल्प
• ग्रोथेंडिक ग्रुप#ग्रोथेंडिक ग्रुप और एक्सटेंशन
• ग्रोथेंडिक स्थानीय द्वैत

संदर्भ

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• Baer, Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift, 38 (1): 375–416, doi:10.1007/BF01170643, Zbl 0009.01101
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homological algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-04991-2, MR 0077480
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1942), "Group extensions and homology", Annals of Mathematics, 43 (4): 757–931, doi:10.2307/1968966, JSTOR 1968966, MR 0007108
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