ओपन मैपिंग प्रमेय (सम्मिश्र विश्लेषण)

जटिल विश्लेषण में, खुला नक्शा िंग प्रमेय बताता है कि यदि 'यू' जटिल विमान सी और 'एफ' का एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) है: 'यू' → सी एक गैर-निरंतर होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, तब f एक खुला मानचित्र है (अर्थात यह 'U के खुले उपसमुच्चय को C के उपसमुच्चय को खोलने के लिए भेजता है, और हमारे पास डोमेन का आक्रमण है।)।

ओपन मैपिंग प्रमेय होलोमॉर्फी और वास्तविक-भिन्नता के बीच तेज अंतर की ओर इशारा करता है। वास्तविक रेखा पर, उदाहरण के लिए, अवकलनीय फलन f(x) = x² खुला नक्शा नहीं है, क्योंकि खुले अंतराल (-1, 1) की छवि अर्ध-खुला अंतराल [0, 1) है।

उदाहरण के लिए प्रमेय का तात्पर्य है कि एक गैर-निरंतर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन जटिल विमान में एम्बेडेड किसी भी रेखा के हिस्से पर एक खुली डिस्क को मैप नहीं कर सकता। होलोमॉर्फिक कार्यों की छवियां वास्तविक आयाम शून्य (यदि स्थिर) या दो (यदि गैर-स्थिर हैं) हो सकती हैं, लेकिन कभी भी आयाम 1 की नहीं हो सकती हैं।

प्रमाण

ब्लैक डॉट्स जी (जेड) के शून्य का प्रतिनिधित्व करते हैं। काला वलय ध्रुवों का प्रतिनिधित्व करता है। खुले सेट यू की सीमा धराशायी रेखा द्वारा दी गई है। ध्यान दें कि सभी पोल खुले सेट के बाहर हैं। छोटी लाल डिस्क B है, जो z पर केंद्रित है₀.

मान लीजिए f: U → 'C' एक गैर-स्थिर होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है और U जटिल तल का एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) है। हमें यह दिखाना होगा कि f(U) में प्रत्येक बिंदु (ज्यामिति) f(U) का एक आंतरिक बिंदु है, अर्थात f(U) में प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस (ओपन डिस्क) है जो f(U) में भी है।

एक मनमाना डब्ल्यू पर विचार करें₀ एफ (यू) में। तब एक बिंदु z होता है₀ यू में ऐसा है कि डब्ल्यू₀ = एफ (जेड₀). चूँकि U खुला है, हम d> 0 पा सकते हैं जैसे कि z के चारों ओर बंद डिस्क B₀ त्रिज्या डी के साथ पूरी तरह से यू में समाहित है। फ़ंक्शन g(z) = f(z)−w पर विचार करें₀. ध्यान दें कि जेड₀ फलन के फलन का मूल है।

हम जानते हैं कि g(z) अस्थिर और होलोमॉर्फिक है। जी की जड़ों को पहचान प्रमेय द्वारा अलग किया जाता है, और छवि डिस्क डी के त्रिज्या को और कम करके, हम आश्वस्त कर सकते हैं कि जी (जेड) में बी में केवल एक जड़ है (हालांकि इस एकल जड़ में 1 से अधिक बहुलता हो सकती है) .

बी की सीमा एक सर्कल है और इसलिए एक कॉम्पैक्ट सेट है, जिस पर |g(z), इसलिए चरम मूल्य प्रमेय एक सकारात्मक न्यूनतम ई के अस्तित्व की गारंटी देता है, यानी ई न्यूनतम है |g(z)| z के लिए B और e > 0 की सीमा पर।

डी द्वारा डब्ल्यू के चारों ओर खुली डिस्क को निरूपित करें₀ त्रिज्या ई के साथ रूचे के प्रमेय के अनुसार, फलन g(z) = f(z)−w₀ B में h(z):=f(z)−w के रूप में जड़ों की समान संख्या होगी (बहुलता के साथ गिना जाएगा)₁किसी भी डब्ल्यू के लिए₁डी में। ऐसा इसलिए है क्योंकि एच(जेड) = जी(जेड) + (डब्ल्यू₀ - में₁), और बी की सीमा पर z के लिए, |g(z)| ≥ ई > | डब्ल्यू₀ - में₁|। इस प्रकार, प्रत्येक डब्ल्यू के लिए₁ डी में, कम से कम एक जेड मौजूद है₁ बी में ऐसा है कि f(z₁) = डब्ल्यू₁. इसका मतलब है कि डिस्क डी एफ (बी) में समाहित है।

गेंद B, f(B) की छवि U, f(U) की छवि का एक उपसमुच्चय है। इस प्रकार डब्ल्यू₀ f(U) का एक आंतरिक बिंदु है। डब्ल्यू के बाद से₀ f(U) में मनमाना था हम जानते हैं कि f(U) खुला है। चूँकि U मनमाना था, फलन f खुला है।

अनुप्रयोग

• अधिकतम मापांक सिद्धांत
• रूचे की प्रमेय
• काला लेम्मा

यह भी देखें

• ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)

संदर्भ

• Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1