केप्लर अनुमान

17वीं शताब्दी के गणितज्ञ और खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर के नाम पर रखा गया केप्लर अनुमान त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में गोले की पैकिंग के बारे में एक गणित प्रमेय है। इसमें कहा गया है कि समान आकार के गोले भरने की किसी भी व्यवस्था में क्यूबिक क्लोज पैकिंग (चेहरा केंद्रित घन ) और हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग व्यवस्था की तुलना में अधिक पैकिंग घनत्व नहीं है। इन व्यवस्थाओं का घनत्व लगभग 74.05% है।

1998 में, थॉमस कॉलिस्टर हेल्स द्वारा सुझाए गए दृष्टिकोण का पालन करते हुए Fejes Tóth (1953) ने घोषणा की कि उनके पास केपलर अनुमान का प्रमाण है। हेल्स का प्रमाण जटिल कंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करके कई अलग-अलग मामलों की जाँच से संबंधित थकावट का प्रमाण है। रेफरी ने कहा कि वे हेल्स के प्रमाण की शुद्धता के बारे में 99% निश्चित थे, और केपलर अनुमान को एक प्रमेय के रूप में स्वीकार किया गया था। 2014 में, हेल्स की अध्यक्षता वाली फ्लाईस्पेक परियोजना टीम ने इसाबेल (प्रमाण सहायक) और एचओएल लाइट प्रूफ सहायकों के संयोजन का उपयोग करके केप्लर अनुमान के औपचारिक प्रमाण को पूरा करने की घोषणा की। 2017 में, फोरम ऑफ मैथेमेटिक्स | फोरम ऑफ मैथमेटिक्स, पाई द्वारा औपचारिक प्रमाण स्वीकार किया गया था।

पृष्ठभूमि

क्यूबिक क्लोज पैकिंग (बाएं) और हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग (दाएं) के आरेख।

छोटे समान आकार के गोलों के साथ एक बड़े कंटेनर को भरने की कल्पना करें: समान मार्बल्स के साथ एक चीनी मिट्टी के बरतन गैलन जग कहें। व्यवस्था का घनत्व जग के आयतन से विभाजित सभी कंचों के कुल आयतन के बराबर है। जग में मार्बल्स की संख्या को अधिकतम करने का मतलब है कि जग के किनारों और तली के बीच में मार्बल्स की एक ऐसी व्यवस्था बनाना, जिसमें सबसे अधिक संभव घनत्व हो, ताकि मार्बल्स को यथासंभव बारीकी से एक साथ पैक किया जा सके।

प्रयोग से पता चलता है कि मार्बल्स को बेतरतीब ढंग से गिराने से, उन्हें कसकर व्यवस्थित करने के प्रयास के बिना, लगभग 65% का घनत्व प्राप्त होगा। हालांकि, मार्बल्स को सावधानीपूर्वक व्यवस्थित करके उच्च घनत्व प्राप्त किया जा सकता है:

1. मार्बल्स की पहली परत के लिए, उन्हें हेक्सागोनल जाली (मधुकोश#मधुकोश पैटर्न लंगर) में व्यवस्थित करें
2. पैटर्न की परवाह किए बिना, पहली परत में मार्बल्स की अगली परत को सबसे निचले गैप में रखें जो आप ऊपर और मार्बल्स के बीच पा सकते हैं
3. तीसरी और शेष परतों के लिए, पिछली परत में सबसे कम अंतराल को भरने की उसी प्रक्रिया को तब तक जारी रखें, जब तक कि कंचे जग के शीर्ष किनारे तक नहीं पहुंच जाते।

प्रत्येक चरण में कम से कम दो विकल्प होते हैं कि अगली परत को कैसे रखा जाए, इसलिए गोले को ढेर करने की यह अन्यथा अनियोजित विधि समान रूप से घने पैकिंग की अनगिनत अनंत संख्या बनाती है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध क्यूबिक क्लोज पैकिंग और हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग कहलाते हैं। इनमें से प्रत्येक व्यवस्था का औसत घनत्व है

${\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0.740480489\ldots$

केप्लर अनुमान कहता है कि यह सबसे अच्छा है जो किया जा सकता है - मार्बल्स की किसी भी अन्य व्यवस्था में उच्च औसत घनत्व नहीं है: आश्चर्यजनक रूप से कई अलग-अलग व्यवस्थाएं संभव होने के बावजूद जो चरण 1-3 के समान प्रक्रिया का पालन करती हैं, कोई पैकिंग नहीं (के अनुसार) प्रक्रिया या नहीं) संभवतः एक ही जग में अधिक कंचे फिट कर सकते हैं।

उत्पत्ति

केपलर अनुमान को दर्शाते हुए स्ट्रेना सेउ डे निवे सेक्सांगुला के आरेखों में से एक

अनुमान सबसे पहले किसके द्वारा कहा गया था Johannes Kepler (1611) अपने पेपर में 'ऑन द सिक्स-कोर्नर्ड स्नोफ्लेक'। उन्होंने 1606 में अंग्रेजी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री थॉमस हैरियट के साथ अपने पत्राचार के परिणामस्वरूप गोले की व्यवस्था का अध्ययन करना शुरू कर दिया था। हैरियट सर वाल्टर रैले के मित्र और सहायक थे, जिन्होंने हैरियट को तोप के गोले गिनने के लिए सूत्र खोजने के लिए कहा था, एक असाइनमेंट जिसके बदले में रेले के गणितज्ञ परिचित को आश्चर्य हुआ कि तोप के गोले को ढेर करने का सबसे अच्छा तरीका क्या था। हैरियट ने 1591 में विभिन्न स्टैकिंग पैटर्न का एक अध्ययन प्रकाशित किया, और परमाणु सिद्धांत का एक प्रारंभिक संस्करण विकसित किया।

उन्नीसवीं सदी

केप्लर के पास अनुमान का कोई प्रमाण नहीं था, और अगला कदम किसके द्वारा उठाया गया था Carl Friedrich Gauss (1831), जिन्होंने साबित किया कि केपलर अनुमान सही है अगर गोलों को एक नियमित जालक (समूह) में व्यवस्थित करना है।

इसका मतलब यह था कि कोई भी पैकिंग व्यवस्था जो केपलर अनुमान को गलत साबित करती है वह अनियमित होगी। लेकिन सभी संभावित अनियमित व्यवस्थाओं को समाप्त करना बहुत कठिन है, और यही कारण है कि केप्लर अनुमान को साबित करना इतना कठिन हो गया। वास्तव में, ऐसी अनियमित व्यवस्थाएँ हैं जो एक छोटे पर्याप्त आयतन पर क्यूबिक क्लोज पैकिंग व्यवस्था की तुलना में सघन हैं, लेकिन एक बड़ी मात्रा को भरने के लिए इन व्यवस्थाओं को विस्तारित करने का कोई भी प्रयास अब उनके घनत्व को कम करने के लिए जाना जाता है।

गॉस के बाद, उन्नीसवीं शताब्दी में केपलर अनुमान को सिद्ध करने की दिशा में कोई और प्रगति नहीं हुई। 1900 में डेविड हिल्बर्ट ने इसे हिल्बर्ट की समस्याओं की अपनी सूची में शामिल किया- यह हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या का हिस्सा है।

बीसवीं सदी

समाधान की दिशा में अगला कदम लेज़्लो फेजेस टोथ ने उठाया। Fejes Tóth (1953) ने दिखाया कि सभी व्यवस्थाओं (नियमित और अनियमित) के अधिकतम घनत्व को निर्धारित करने की समस्या को परिमित सेट (लेकिन बहुत बड़ी) गणनाओं की संख्या में घटाया जा सकता है। इसका मतलब यह था कि थकावट से सबूत सिद्धांत रूप में संभव था। जैसा कि Fejes Tóth ने महसूस किया, एक तेज़ पर्याप्त कंप्यूटर इस सैद्धांतिक परिणाम को समस्या के व्यावहारिक दृष्टिकोण में बदल सकता है।

इस बीच, गोले की किसी भी संभावित व्यवस्था के अधिकतम घनत्व के लिए एक ऊपरी सीमा खोजने का प्रयास किया गया। अंग्रेजी गणितज्ञ क्लाउड एम्ब्रोस रोजर्स (देखें Rogers (1958)) ने लगभग 78% का ऊपरी बाध्य मान स्थापित किया, और बाद में अन्य गणितज्ञों के प्रयासों ने इस मान को थोड़ा कम कर दिया, लेकिन यह अभी भी लगभग 74% क्यूबिक क्लोज पैकिंग घनत्व से बहुत बड़ा था।

1990 में, डब्ल्यू यू-वाई मैं हसियांग ने केपलर अनुमान को सिद्ध करने का दावा किया। एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका और विज्ञान द्वारा प्रमाण की प्रशंसा की गई और एएमएस-एमएए की संयुक्त बैठकों में हिसियांग को भी सम्मानित किया गया। Wu-Yi Hsiang (1993, 2001) ने ज्यामितीय विधियों का उपयोग करके केपलर अनुमान को सिद्ध करने का दावा किया। हालाँकि गैबोर फेजेस टूथ (लेज़्लो फेजेस टूथ के बेटे) ने पेपर की अपनी समीक्षा में कहा था जहाँ तक विवरण का सवाल है, मेरी राय है कि कई प्रमुख बयानों में कोई स्वीकार्य प्रमाण नहीं है।

 Hales (1994) ने सियांग के कार्य की विस्तृत आलोचना की, जिसके लिए Hsiang (1995) ने जवाब दिया। वर्तमान आम सहमति यह है कि हिसियांग का प्रमाण अधूरा है।

हेल्स का प्रमाण

द्वारा सुझाए गए तरीके का पालन करें Fejes Tóth (1953), थॉमस कैलिस्टर हेल्स, फिर मिशिगन विश्वविद्यालय में, निर्धारित किया कि सभी व्यवस्थाओं का अधिकतम घनत्व 150 चर के साथ एक फ़ंक्शन को कम करके पाया जा सकता है। 1992 में, अपने स्नातक छात्र सैमुअल फर्ग्यूसन की सहायता से, उन्होंने 5,000 से अधिक अलग-अलग क्षेत्रों के विन्यास के प्रत्येक सेट के लिए इस फ़ंक्शन के मूल्य पर कम सीमा खोजने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग विधियों को व्यवस्थित रूप से लागू करने के लिए एक शोध कार्यक्रम शुरू किया। यदि इनमें से हर एक विन्यास के लिए एक निचली सीमा (फ़ंक्शन मान के लिए) पाई जा सकती है जो क्यूबिक क्लोज पैकिंग व्यवस्था के लिए फ़ंक्शन के मान से अधिक थी, तो केप्लर अनुमान सिद्ध हो जाएगा। लगभग 100,000 रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने वाले सभी मामलों के लिए निचली सीमा खोजने के लिए।

1996 में अपनी परियोजना की प्रगति को प्रस्तुत करते समय, हेल्स ने कहा कि अंत दृष्टि में था, लेकिन इसे पूरा होने में एक या दो साल लग सकते हैं। अगस्त 1998 में हेल्स ने घोषणा की कि सबूत पूरा हो गया था। उस समय, इसमें 250 पृष्ठों के नोट और 3 गीगाबाइट कंप्यूटर प्रोग्राम, डेटा और परिणाम शामिल थे।

सबूत की असामान्य प्रकृति के बावजूद, गणित के इतिहास के संपादक इसे प्रकाशित करने के लिए सहमत हुए, बशर्ते इसे बारह रेफरी के एक पैनल द्वारा स्वीकार किया गया। 2003 में, चार साल के काम के बाद, रेफरी के पैनल के प्रमुख गेबोर फेजेस टोथ ने बताया कि पैनल सबूत की शुद्धता के बारे में 99% निश्चित था, लेकिन वे सभी कंप्यूटर गणनाओं की शुद्धता को प्रमाणित नहीं कर सके।

Hales (2005) ने अपने प्रमाण के गैर-कंप्यूटर भाग का विस्तार से वर्णन करते हुए एक 100-पृष्ठ का पेपर प्रकाशित किया। Hales & Ferguson (2006) और बाद के कई पत्रों ने कम्प्यूटेशनल भागों का वर्णन किया। हेल्स और फर्ग्यूसन ने 2009 के लिए फुलकर्सन पुरस्कार प्राप्त किया।

एक औपचारिक प्रमाण

जनवरी 2003 में, हेल्स ने केपलर अनुमान का पूर्ण औपचारिक प्रमाण प्रस्तुत करने के लिए एक सहयोगी परियोजना की शुरुआत की घोषणा की। इसका उद्देश्य एक औपचारिक प्रमाण बनाकर प्रमाण की वैधता के बारे में किसी भी शेष अनिश्चितता को दूर करना था जिसे स्वचालित प्रूफ जाँच सॉफ़्टवेयर जैसे HOL लाइट और इसाबेल (प्रूफ सहायक) द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। इस परियोजना को फ्लाईस्पेक कहा जाता था - केप्लर के औपचारिक प्रमाण के लिए एफ, पी और के। सर्वप्रथम, हेल्स ने अनुमान लगाया कि एक पूर्ण औपचारिक प्रमाण तैयार करने में लगभग 20 वर्षों का कार्य लगेगा। हेल्स ने 2012 में औपचारिक प्रमाण के लिए एक खाका प्रकाशित किया; परियोजना के पूरा होने की घोषणा 10 अगस्त 2014 को की गई थी। जनवरी 2015 में हेल्स और 21 सहयोगियों ने arXiv पर केपलर अनुमान का एक औपचारिक प्रमाण शीर्षक से एक पेपर पोस्ट किया, जिसमें अनुमान को साबित करने का दावा किया गया था। 2017 में, गणित के फोरम जर्नल द्वारा औपचारिक प्रमाण स्वीकार किया गया था।

संबंधित समस्याएं

एक्सल थ्यू की प्रमेय: नियमित हेक्सागोनल पैकिंग विमान (1890) में सबसे घनी सर्कल पैकिंग है। घनत्व है π⁄√12.

केप्लर अनुमान का द्वि-आयामी एनालॉग; प्रमाण प्राथमिक है। हेंक और ज़िग्लर ने इस परिणाम का श्रेय 1773 में लाग्रेंज को दिया (संदर्भ देखें, पृष्ठ 770)।

2010 से चाउ और चुंग द्वारा एक सरल सबूत उन बिंदुओं के सेट के लिए डेलाउने त्रिभुज का उपयोग करता है जो एक संतृप्त सर्कल पैकिंग में सर्कल के केंद्र हैं।

हेक्सागोनल मधुकोश अनुमान: समान क्षेत्रों में विमान का सबसे कुशल विभाजन नियमित हेक्सागोनल टाइलिंग है।

थू के प्रमेय से संबंधित।

डोडेकाहेड्रल अनुमान: बराबर गोले के पैकिंग में एक गोले के वोरोनोई आरेख का आयतन कम से कम एक नियमित डोडेकाहेड्रॉन का आयतन होता है जिसमें अंतःत्रिज्या 1. मैकलॉघलिन का प्रमाण, जिसके लिए उन्हें एक स्नातक छात्र द्वारा गणित में उत्कृष्ट शोध के लिए 1999 का फ्रैंक और ब्रेनी मॉर्गन पुरस्कार मिला।

एक संबंधित समस्या, जिसका प्रमाण केप्लर अनुमान के हेल्स के प्रमाण के समान तकनीकों का उपयोग करता है। 1950 के दशक में एल. फेजेस टोथ द्वारा अनुमान।

वीयर-फेलन संरचना # केल्विन अनुमान: 3 आयामों में सबसे कुशल फोम क्या है? इसे केल्विन संरचना द्वारा हल करने का अनुमान लगाया गया था, और यह व्यापक रूप से 100 से अधिक वर्षों तक माना जाता था, जब तक कि 1993 में वीयर-फेलन संरचना की खोज से अस्वीकृत नहीं हो गया। वीयर-फेलन संरचना की आश्चर्यजनक खोज और केल्विन अनुमान का खंडन हेल्स के केप्लर अनुमान के प्रमाण को स्वीकार करने में सावधानी का एक कारण है।

उच्च आयामों में गोलाकार पैकिंग

2016 में, मरीना वियाज़ोव्स्का ने आयाम 8 और 24 में इष्टतम क्षेत्र पैकिंग के प्रमाण की घोषणा की। हालाँकि, 1, 2, 3, 8, और 24 के अलावा अन्य आयामों में इष्टतम क्षेत्र पैकिंग प्रश्न अभी भी खुला है।

उलाम का पैकिंग अनुमान: यह अज्ञात है कि क्या कोई उत्तल ठोस है जिसका इष्टतम पैकिंग घनत्व गोले के घनत्व से कम है।

संदर्भ

प्रकाशन

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बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Kepler Conjecture". MathWorld.
• Front page of 'On the six-cornered snowflake'
• Thomas Hales' home page
• Flyspeck project home page
• Overview of Hales' proof
• Article in American Scientist by Dana Mackenzie
• Flyspeck I: Tame Graphs, verified enumeration of tame plane graphs as defined by Thomas C. Hales in his proof of the Kepler Conjecture