मध्य बिंदु

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खंड का मध्यबिंदु (x₁, y₁) प्रति (x₂, y₂)

ज्यामिति में, मध्य बिंदु एक रेखा खंड का मध्य बिंदु (ज्यामिति) होता है। यह दोनों अंतबिंदुओं से दूरी है, और यह खंड और अंतबिंदु दोनों का केंद्रक है। यह खंड को द्विभाजित करता है।

सूत्र

एन-डायमेंशनल स्पेस में एक सेगमेंट का मध्य बिंदु जिसके एंडपॉइंट हैं $A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ तथा $B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ द्वारा दिया गया है

${\frac {A+B}{2}}.$

यानी आई^{मध्यबिंदु (i = 1, 2, ..., n) का वें निर्देशांक है}

${\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}.$

निर्माण

ब्याज के दो बिंदुओं को देखते हुए, उनके द्वारा निर्धारित रेखा खंड के मध्य बिंदु को कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माण द्वारा पूरा किया जा सकता है। एक समतल (ज्यामिति) में सन्निहित एक रेखा खंड का मध्यबिंदु, पहले एक लेंस (ज्यामिति) का निर्माण करके समान (और काफी बड़ी) त्रिज्या के वृत्ताकार चापों का उपयोग करके दो अंत बिंदुओं पर केन्द्रित किया जा सकता है, फिर लेंस के पुच्छों को जोड़ा जा सकता है। (दो बिंदु जहां चाप प्रतिच्छेद करते हैं)। वह बिंदु जहां क्यूप्स को जोड़ने वाली रेखा खंड को काटती है, तब खंड का मध्य बिंदु होता है। केवल कम्पास का उपयोग करके मध्यबिंदु का पता लगाना अधिक चुनौतीपूर्ण है, लेकिन मोहर-माशेरोनी प्रमेय के अनुसार यह अभी भी संभव है।

मिडपॉइंट्स से जुड़े ज्यामितीय गुण

घेरा

वृत्त के किसी भी व्यास का मध्यबिंदु वृत्त का केंद्र होता है।

किसी वृत्त की किसी जीवा (ज्यामिति) के लम्बवत और उसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली कोई भी रेखा भी वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।

तितली प्रमेय में कहा गया है कि, यदि M एक वृत्त की जीवा PQ का मध्यबिंदु है, जिसके माध्यम से दो अन्य जीवाएँ AB और CD खींची जाती हैं, तो AD और BC जीवा PQ को क्रमशः X और Y पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि M, PQ का मध्यबिंदु है। XY।

दीर्घवृत्त

किसी भी खंड का मध्य बिंदु जो एक दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल द्विभाजन या परिधि द्विभाजक है, दीर्घवृत्त का केंद्र है।

दीर्घवृत्त का केंद्र दीर्घवृत्त के दो फोकस (ज्यामिति) को जोड़ने वाले खंड का मध्य बिंदु भी है।

अतिशयोक्ति

हाइपरबोला के शीर्षों को जोड़ने वाले खंड का मध्यबिंदु हाइपरबोला का केंद्र होता है।

त्रिभुज

किसी त्रिभुज का समद्विभाजन#त्रिकोण वह रेखा होती है जो उस भुजा के लम्बवत् होती है और उसके मध्यबिंदु से होकर गुजरती है। एक त्रिभुज की तीन भुजाओं के तीन लंब समद्विभाजक परिकेन्द्र (तीन शीर्षों से होते हुए वृत्त का केंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

एक त्रिभुज की भुजा की माध्यिका (ज्यामिति) दोनों भुजाओं के मध्य बिंदु और त्रिभुज के विपरीत शीर्ष (ज्यामिति) से होकर गुजरती है। एक त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ त्रिभुज के केन्द्रक पर प्रतिच्छेद करती हैं (वह बिंदु जिस पर त्रिभुज संतुलित होगा यदि यह एकसमान-घनत्व वाली धातु की पतली शीट से बना हो)।

त्रिभुज का नौ-बिंदु केंद्र परिकेन्द्र और लंबकेन्द्र के बीच के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। ये सभी बिन्दु यूलर रेखा पर हैं।

एक त्रिकोण का मध्य खंड (या मध्य रेखा) एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के दो पक्षों के मध्य बिंदुओं में शामिल होता है। यह तीसरी भुजा के समानांतर है और इसकी लंबाई उस तीसरी भुजा के आधे के बराबर है।

किसी दिए गए त्रिभुज के औसत दर्जे के त्रिभुज में दिए गए त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं पर शीर्ष होते हैं, इसलिए इसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की तीन मध्य रेखाएँ होती हैं। यह दिए गए त्रिकोण के साथ समान केन्द्रक और माध्यिका साझा करता है। औसत दर्जे का त्रिभुज का परिमाप मूल त्रिभुज के अर्धपरिधि (आधी परिधि) के बराबर होता है, और इसका क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का एक चौथाई होता है। औसत दर्जे का त्रिकोण का orthocenter (ऊंचाई का चौराहा) मूल त्रिकोण के परिधि (सर्कल का केंद्र) के साथ मेल खाता है।

प्रत्येक त्रिभुज में एक खुदा हुआ दीर्घवृत्त होता है, जिसे स्टाइनर इनलिप्स कहा जाता है, जो त्रिभुज के सभी पक्षों के मध्य बिंदुओं पर आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा होता है। यह दीर्घवृत्त त्रिभुज के केन्द्रक पर केंद्रित है, और इसमें त्रिभुज में अंकित किसी भी दीर्घवृत्त का सबसे बड़ा क्षेत्र है।

एक समकोण त्रिभुज में, परिकेन्द्र कर्ण का मध्य बिंदु होता है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, माध्यिका, ऊंचाई (त्रिकोण), और आधार (ज्यामिति) पक्ष से लम्ब द्विभाजक और एपेक्स (ज्यामिति) का कोण द्विभाजक यूलर रेखा और समरूपता के अक्ष के साथ मेल खाता है, और ये संयोग रेखाएँ गुजरती हैं आधार पक्ष का मध्य बिंदु।

चतुर्भुज

एक उत्तल बहुभुज चतुर्भुज के दो चतुर्भुज#द्विमध्य रेखा खंड हैं जो विपरीत पक्षों के मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं, इसलिए प्रत्येक दो पक्षों को द्विभाजित करता है। दो द्विमाध्यिकाएँ और विकर्णों के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड एक बिंदु पर समवर्ती रेखाएँ हैं (सभी एक दूसरे को काटती हैं) जिसे वर्टेक्स सेंट्रोइड कहा जाता है, जो इन तीनों खंडों का मध्यबिंदु है। एक उत्तल चतुर्भुज के चार गुण विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से एक तरफ के लंबवत होते हैं, इसलिए बाद वाले पक्ष को द्विभाजित करते हैं। यदि चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज (एक वृत्त में खुदा हुआ) है, तो ये सभी कोण एक सामान्य बिंदु पर मिलते हैं जिसे एंटीसेंटर कहा जाता है।

ब्रह्मगुप्त के प्रमेय में कहा गया है कि यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज है (अर्थात्, लंबवत विकर्ण हैं), तो विकर्णों के चौराहे के बिंदु से एक तरफ लंबवत हमेशा विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से जाता है।

वरिग्नन के प्रमेय में कहा गया है कि एक मनमाना चतुर्भुज के पक्षों के मध्य बिंदु एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष बनाते हैं, और यदि चतुर्भुज स्व-प्रतिच्छेद नहीं करता है तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा है।

न्यूटन रेखा वह रेखा है जो एक उत्तल चतुर्भुज में दो विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ती है जो समांतर चतुर्भुज नहीं है। एक उत्तल चतुर्भुज के विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं जो न्यूटन रेखा पर स्थित है।

सामान्य बहुभुज

एक नियमित बहुभुज में एक खुदा हुआ चक्र होता है जो बहुभुज के प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु पर स्पर्शरेखा होता है।

भुजाओं की सम संख्या वाले नियमित बहुभुज में, विपरीत शीर्षों के बीच के विकर्ण का मध्य बिंदु बहुभुज का केंद्र होता है।

चक्रीय बहुभुज का मध्यबिंदु-खींचने वाला बहुभुज P (एक बहुभुज जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) एक ही वृत्त में खुदा हुआ एक अन्य चक्रीय बहुभुज है, बहुभुज जिसके शीर्ष वृत्त के शीर्षों के बीच वृत्ताकार चाप के मध्य बिंदु हैं P. एक मनमाना प्रारंभिक बहुभुज पर मध्यबिंदु-खिंचाव ऑपरेशन को पुनरावर्तित करने से बहुभुजों का एक क्रम होता है, जिनके आकार एक नियमित बहुभुज के रूप में अभिसरण करते हैं।

सामान्यीकरण

किसी खंड के मध्यबिंदु के लिए #Formulas सूत्र स्पष्ट रूप से खंडों की लंबाई का उपयोग करते हैं। हालाँकि, सामान्यीकरण में ज्यामिति को परिभाषित करने के लिए, जहाँ खंड की लंबाई परिभाषित नहीं है, मध्यबिंदु को अभी भी परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि यह एक परिशोधित अपरिवर्तनीय (गणित) है। सिंथेटिक ज्यामिति मध्यबिंदु की परिभाषा को परिभाषित करती है M एक खंड का AB अनंत पर बिंदु का प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म है, P, रेखा का AB. मुद्दा यह है M ऐसा है कि H[A,B; P,M]. जब निर्देशांकों को affine ज्यामिति में पेश किया जा सकता है, तो मध्यबिंदु की दो परिभाषाएँ मेल खाएँगी। मध्य बिंदु स्वाभाविक रूप से प्रोजेक्टिव ज्यामिति में परिभाषित नहीं है क्योंकि अनंत पर बिंदु की भूमिका निभाने के लिए कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है (प्रक्षेप्य सीमा में किसी भी बिंदु को प्रोजेक्टिव रेंज में (समान या कुछ अन्य) प्रोजेक्टिव रेंज में किसी अन्य बिंदु पर मैप किया जा सकता है) . हालांकि, अनंत पर एक बिंदु तय करने से प्रक्षेपण रेखा पर एक एफ़िन संरचना को परिभाषित किया जाता है और उपरोक्त परिभाषा लागू की जा सकती है।

एक खंड के मध्य बिंदु की परिभाषा को रीमैनियन कई गुना पर geodesic आर्क (ज्यामिति) तक बढ़ाया जा सकता है। ध्यान दें कि, affine मामले के विपरीत, दो बिंदुओं के बीच का मध्य बिंदु विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

• Center (geometry) § Projective conics
• मध्यबिंदु बहुभुज
• Bisection § Line segment bisector
• Numerical integration § Quadrature rules based on interpolating functions

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• केन्द्रक
• द्विविभाजितता
• समतल ज्यामिति)
• कम्पास और सीधा निर्माण
• सीधा
• राग (ज्यामिति)
• अंडाकार
• परिमाप
• अंकित आंकड़ा
• समरूपता की धुरी
• अर्द्धपरिधि
• समद्विबाहु त्रिकोण
• सही त्रिकोण
• शिखर (ज्यामिति)
• circumcenter
• मध्य त्रिकोण
• यूलर लाइन
• चतुष्कोष
• समानांतर चतुर्भुज
• ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज
• अंकित घेरा
• गोलाकार चाप
• affine ज्यामिति
• चाप (ज्यामिति)
• प्रक्षेपी ज्यामिति

बाहरी संबंध

• Animation – showing the characteristics of the midpoint of a line segment