मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत)

For the martingale betting strategy, see martingale (betting system).

संभाव्यता सिद्धांत में, एक मार्टिंगेल यादृच्छिक चर (यानी, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया) का अनुक्रम है, जिसके लिए, किसी विशेष समय पर, अनुक्रम में अगले मूल्य की सशर्त अपेक्षा सभी पूर्व मूल्यों के बावजूद वर्तमान मूल्य के बराबर होती है।

संभाव्यता सिद्धांत में, एक मार्टिंगेल यादृच्छिक चर (यानी, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया) का अनुक्रम है, जिसके लिए, किसी विशेष समय पर, अनुक्रम में अगले मूल्य की सशर्त अपेक्षा सभी पूर्व मूल्यों के बावजूद वर्तमान मूल्य के बराबर होती है।

रुकी हुई प्रक्रिया#ब्राउनियन गति मार्टिंगेल का एक उदाहरण है। यह दिवालिएपन की संभावना के साथ एक समान सिक्का-टॉस सट्टेबाजी का मॉडल कर सकता है।

इतिहास

मूल रूप से, मार्टिंगेल (सट्टेबाजी प्रणाली) सट्टेबाजी की रणनीति के एक वर्ग को संदर्भित करता है जो 18 वीं शताब्दी के फ्रांस में लोकप्रिय था। इन रणनीतियों में से सबसे सरल एक गेम के लिए डिज़ाइन की गई थी जिसमें जुआरी अपनी हिस्सेदारी जीतता है यदि एक सिक्का ऊपर आता है और अगर सिक्का ऊपर आता है तो उसे खो देता है। रणनीति में जुआरी को हर हार के बाद अपनी शर्त को दोगुना करने के लिए कहा गया था ताकि पहली जीत पिछले सभी नुकसानों की भरपाई कर सके और साथ ही मूल हिस्सेदारी के बराबर लाभ जीत सके। जैसे-जैसे जुआरी का धन और उपलब्ध समय संयुक्त रूप से अनंत तक पहुंचता है, अंतत: फ़्लिपिंग हेड्स की उनकी संभावना 1 तक पहुंच जाती है, जिससे मार्टिंगेल सट्टेबाजी की रणनीति लगभग निश्चित प्रतीत होती है। हालाँकि, दांव की घातीय वृद्धि अंततः सीमित बैंकरोल के कारण अपने उपयोगकर्ताओं को दिवालिया कर देती है। रुकी हुई प्रक्रिया#ब्राउनियन गति, जो मार्टिंगेल प्रक्रिया है, का उपयोग ऐसे खेलों के प्रक्षेपवक्र को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है।

संभाव्यता सिद्धांत में मार्टिंगेल की अवधारणा पॉल लेवी (गणितज्ञ) | पॉल लेवी द्वारा 1934 में पेश की गई थी, हालांकि उन्होंने इसका नाम नहीं लिया। मार्टिंगेल शब्द बाद में किसके द्वारा पेश किया गया था Ville (1939), जिन्होंने परिभाषा को निरंतर मार्टिंगेल्स तक विस्तारित किया। सिद्धांत का अधिकांश मूल विकास दूसरों के बीच जोसफ लियो डूब द्वारा किया गया था। उस काम के लिए प्रेरणा का एक हिस्सा मौके के खेल में सफल सट्टेबाजी की रणनीतियों की असंभवता को दिखाना था।

परिभाषाएँ

असतत-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की एक मूल परिभाषा | डिस्क्रीट-टाइम मार्टिंगेल असतत-टाइम स्टोचैस्टिक प्रक्रिया है (अर्थात, यादृच्छिक चर का एक क्रम) X₁, एक्स₂, एक्स₃, ... जो किसी भी समय n के लिए संतुष्ट करता है,

$\mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty$

$\mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.$

अर्थात्, पिछले सभी अवलोकनों को देखते हुए, अगले अवलोकन का सशर्त अपेक्षित मूल्य, सबसे हाल के अवलोकन के बराबर है।

दूसरे अनुक्रम के संबंध में मार्टिंगेल अनुक्रम

अधिक सामान्यतः, एक अनुक्रम वाई₁, और₂, और₃... को अन्य क्रम X के संबंध में मार्टिंगेल कहा जाता है₁, एक्स₂, एक्स₃... अगर सभी के लिए n

$\mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty$

$\mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.$

इसी तरह, एक सतत समय | निरंतर-समय मार्टिंगेल स्टोकास्टिक प्रक्रिया एक्स के संबंध में_tएक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया वाई है_tऐसा कि सभी के लिए टी

$\mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty$

$\mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.$

यह संपत्ति को व्यक्त करता है कि समय टी पर अवलोकन की सशर्त अपेक्षा, सभी अवलोकनों को समय तक दिया जाता है $s$, समय s पर अवलोकन के बराबर है (बेशक, बशर्ते कि s ≤ t)। ध्यान दें कि दूसरी संपत्ति का तात्पर्य है $Y_{n}$ के संबंध में मापने योग्य है $X_{1}\dots X_{n}$.

सामान्य परिभाषा

पूर्ण सामान्यता में, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $Y:T\times \Omega \to S$ बनच स्थान में मान लेना $S$ आदर्श के साथ $\lVert \cdot \rVert _{S}$ फिल्ट्रेशन के संबंध में मार्टिंगेल है $\Sigma _{*}$ और संभाव्यता माप $\mathbb {P}$अगर

• एस_∗ अंतर्निहित संभाव्यता स्थान (Ω, Σ,$\mathbb {P}$);
• Y निस्पंदन Σ के लिए अनुकूलित प्रक्रिया है_∗, यानी, सूचकांक सेट टी में प्रत्येक टी के लिए, यादृच्छिक चर वाई_tएक Σ है_t-मापने योग्य समारोह;
• प्रत्येक टी के लिए, वाई_tएलपी स्पेस में स्थित है | एल^{पी</सुप> स्पेस एल1(ओह, एस_t, $\mathbb {P}$; सी), यानी}

$\mathbf {E} _{\mathbb {P} }(\lVert Y_{t}\rVert _{S})<+\infty ;$

• सभी s और t के साथ s < t और सभी F ∈ Σ के लिए_s,

$\mathbf {E} _{\mathbb {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,$

जहां χ_Fघटना एफ के सूचक समारोह को दर्शाता है। ग्रिमेट और स्टिर्जेकर की संभाव्यता और यादृच्छिक प्रक्रियाओं में, इस अंतिम स्थिति को इस रूप में दर्शाया गया है

$Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbb {P} }(Y_{t}\mid \Sigma _{s}),$

जो सशर्त अपेक्षा का एक सामान्य रूप है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि मार्टिंगेल होने की संपत्ति में निस्पंदन और संभाव्यता माप दोनों शामिल हैं (जिसके संबंध में अपेक्षाएं ली गई हैं)। यह संभव है कि वाई एक माप के संबंध में मार्टिंगेल हो सकता है लेकिन दूसरा नहीं; गिरसानोव प्रमेय एक उपाय खोजने का एक तरीका प्रदान करता है जिसके संबंध में एक इटो प्रक्रिया मार्टिंगेल है।

बनच स्पेस सेटिंग में सशर्त अपेक्षा को ऑपरेटर नोटेशन में भी दर्शाया गया है $\mathbf {E} ^{\Sigma _{s}}Y_{t}$.

== मार्टिंगेल्स == के उदाहरण

• एक निष्पक्ष यादृच्छिक चलना (किसी भी आयाम में) मार्टिंगेल का एक उदाहरण है।
• एक जुआरी का भाग्य (पूंजी) एक मार्टिंगेल है यदि जुआरी द्वारा खेले जाने वाले सभी सट्टेबाजी के खेल निष्पक्ष हैं। अधिक विशिष्ट होने के लिए: मान लीजिए X_nएक निष्पक्ष सिक्के के उछाल के बाद एक जुआरी का भाग्य है, जहां जुआरी $ 1 जीतता है यदि सिक्का शीर्ष पर आता है और $ 1 खो देता है यदि यह पूंछ में आता है। अगले परीक्षण के बाद जुआरी का सशर्त अपेक्षित भाग्य, इतिहास को देखते हुए, उनके वर्तमान भाग्य के बराबर है। यह क्रम इस प्रकार मार्टिंगेल है।
• माना वाई_n= एक्स_n² − n जहां X_nपिछले उदाहरण से जुआरी का भाग्य है। फिर अनुक्रम {वाई_n: n = 1, 2, 3, ...} मार्टिंगेल है। इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि जुआरी का कुल लाभ या हानि कदमों की संख्या के वर्गमूल के योग या ऋण के बीच मोटे तौर पर भिन्न होता है।
• (अब्राहम डी मोइवरे के मार्टिंगेल) अब मान लीजिए कि सिक्का अनुचित है, यानी, पक्षपाती, शीर्ष आने की संभावना पी और पूंछ की संभावना q=1 − p। होने देना

$X_{n+1}=X_{n}\pm 1$

साथ में + सिर के मामले में और - पूंछ के मामले में। होने देना

$Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.$

तब { वाई_n: n = 1, 2, 3, ...} {X के संबंध में मार्टिंगेल है_n: एन = 1, 2, 3, ...}। इसे दिखाने के लिए

${\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}$

• पोल्या के कलश में कई अलग-अलग रंग के पत्थर होते हैं; प्रत्येक पुनरावृत्त विधि में कलश से एक कंचा यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उसी रंग के कई अन्य मार्बल से प्रतिस्थापित किया जाता है। किसी दिए गए रंग के लिए, उस रंग के कलश में मार्बल का अंश मार्टिंगेल है। उदाहरण के लिए, यदि वर्तमान में 95% मार्बल्स लाल हैं, हालांकि अगले पुनरावृत्ति में दूसरे रंग की तुलना में लाल मार्बल जोड़ने की अधिक संभावना है, यह पूर्वाग्रह इस तथ्य से बिल्कुल संतुलित है कि अधिक लाल मार्बल जोड़ने से अंश बहुत कम बदल जाता है समान संख्या में गैर-लाल कंचे जोड़ने से होगा।
• (सांख्यिकी में संभावना-अनुपात परीक्षण) एक यादृच्छिक चर X को या तो प्रायिकता घनत्व f या किसी भिन्न प्रायिकता घनत्व g के अनुसार वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक नमूना X₁, ..., एक्स_n लिया जाता है। चलो वाई_n संभावना अनुपात हो

$Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}$

यदि X वास्तव में g के बजाय घनत्व f के अनुसार वितरित किया जाता है, तो { Y_n: n = 1, 2, 3, ...} {एक्स के संबंध में मार्टिंगेल है_n: n = 1, 2, 3, ...}।

सॉफ्टवेयर-निर्मित ज़रेबंद श्रृंखला।

* एक पारिस्थितिक समुदाय में (प्रजातियों का एक समूह जो एक विशेष ट्रॉफिक स्तर में हैं, एक स्थानीय क्षेत्र में समान संसाधनों के लिए प्रतिस्पर्धा कर रहे हैं), निश्चित आकार की किसी विशेष प्रजाति के व्यक्तियों की संख्या (असतत) समय का एक कार्य है, और हो सकता है यादृच्छिक चर के अनुक्रम के रूप में देखा जाना चाहिए। यह अनुक्रम जैव विविधता और बायोग्राफी के एकीकृत तटस्थ सिद्धांत के तहत मार्टिंगेल है।

• यदि {एन_t: t ≥ 0} तीव्रता λ के साथ पॉइसन प्रक्रिया है, फिर मुआवजा पोइसन प्रक्रिया { N_t− λt : t ≥ 0 } एक सतत-समय मार्टिंगेल है जिसमें विच्छिन्नता का वर्गीकरण है|दाएं-निरंतर/बाएं-सीमा नमूना पथ

• वाल्ड का मार्टिंगेल

• ए $d$-आयामी प्रक्रिया $M=(M^{(1)},\dots ,M^{(d)})$ किसी जगह में $S^{d}$ में मार्टिंगेल है $S^{d}$ यदि प्रत्येक घटक $T_{i}(M)=M^{(i)}$ में एक आयामी मार्टिंगेल है $S$.

सबमार्टिंगलेस, सुपरमार्टिंगेल्स, और हार्मोनिक कार्यों से संबंध

मार्टिंगेल के दो लोकप्रिय सामान्यीकरण हैं जिनमें ऐसे मामले भी शामिल हैं जब वर्तमान अवलोकन X_nजरूरी नहीं कि भविष्य की सशर्त अपेक्षा ई [एक्स_n+1| एक्स₁,...,एक्स_n] बल्कि इसके बजाय सशर्त अपेक्षा पर एक ऊपरी या निचली सीमा। ये परिभाषाएं मार्टिंगेल सिद्धांत और संभावित सिद्धांत के बीच संबंध को दर्शाती हैं, जो हार्मोनिक कार्यों का अध्ययन है। ठीक वैसे ही जैसे एक सतत-समय मार्टिंगेल E[X_t| {एक्स_τ: τ ≤ s}] - एक्स_s= 0 ∀s ≤ t, एक हार्मोनिक फ़ंक्शन f आंशिक अंतर समीकरण Δf = 0 को संतुष्ट करता है जहां Δ लाप्लास ऑपरेटर है। एक एक प्रकार कि गति प्रक्रिया W को देखते हुए_t और एक हार्मोनिक फ़ंक्शन f, परिणामी प्रक्रिया f(W_t) मार्टिंगेल भी है।

• असतत-समय की सबमार्टिंगेल एक अनुक्रम है $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ इंटीग्रेबल फंक्शन का यादृच्छिक चर संतोषजनक

$\operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.$

इसी तरह, एक सतत समय सबमार्टिंगेल संतुष्ट करता है

$\operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.$

संभावित सिद्धांत में, एक सबहार्मोनिक फ़ंक्शन f संतुष्ट करता है Δf ≥ 0। कोई भी सबहार्मोनिक फ़ंक्शन जो एक गेंद की सीमा पर सभी बिंदुओं के लिए एक हार्मोनिक फ़ंक्शन द्वारा ऊपर से घिरा होता है, गेंद के अंदर सभी बिंदुओं के लिए हार्मोनिक फ़ंक्शन द्वारा ऊपर से घिरा होता है। इसी तरह, यदि एक सबमार्टिंगेल और एक मार्टिंगेल की एक निश्चित समय के लिए समान अपेक्षाएं हैं, तो सबमार्टिंगेल का इतिहास मार्टिंगेल के इतिहास से ऊपर की ओर बंधा हुआ है। मोटे तौर पर, उपसर्ग उप- सुसंगत है क्योंकि वर्तमान अवलोकन X_nसप्रतिबंध अपेक्षा E[X] से कम (या उसके बराबर) है_n+1| एक्स₁,...,एक्स_n]। नतीजतन, वर्तमान अवलोकन भविष्य की सशर्त अपेक्षा से नीचे समर्थन प्रदान करता है, और प्रक्रिया भविष्य के समय में बढ़ने लगती है।

• समान रूप से, एक असतत-समय 'सुपरमार्टिंगेल' संतुष्ट करता है

$\operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.$

इसी तरह, एक सतत समय सुपरमार्टिंगेल संतुष्ट करता है

$\operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.$

संभावित सिद्धांत में, एक सुपरहार्मोनिक समारोह एफ संतुष्ट करता है Δf ≤ 0। कोई भी सुपरहार्मोनिक फ़ंक्शन जो गेंद की सीमा पर सभी बिंदुओं के लिए हार्मोनिक फ़ंक्शन द्वारा नीचे घिरा हुआ है, गेंद के अंदर सभी बिंदुओं के लिए हार्मोनिक फ़ंक्शन से नीचे घिरा हुआ है। इसी तरह, अगर एक सुपरमार्टिंगेल और एक मार्टिंगेल के पास एक निश्चित समय के लिए समान अपेक्षाएं हैं, तो सुपरमार्टिंगेल का इतिहास मार्टिंगेल के इतिहास से नीचे बंधा हुआ है। मोटे तौर पर, उपसर्ग सुपर- सुसंगत है क्योंकि वर्तमान अवलोकन X_nसप्रतिबंध अपेक्षा E[X] से अधिक (या बराबर) है_n+1| एक्स₁,...,एक्स_n]। नतीजतन, वर्तमान अवलोकन भविष्य की सशर्त अपेक्षा से ऊपर से समर्थन प्रदान करता है, और प्रक्रिया भविष्य के समय में कम हो जाती है।

=== सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगल्स === के उदाहरण

• प्रत्येक मार्टिंगेल एक सबमार्टिंगेल और एक सुपरमार्टिंगेल भी है। इसके विपरीत, कोई भी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया जो सबमार्टिंगेल और सुपरमार्टिंगेल दोनों है, मार्टिंगेल है।
• फिर से उस जुआरी पर विचार करें जो सिक्का ऊपर आने पर $ 1 जीतता है और सिक्का आने पर $ 1 खो देता है। अब मान लीजिए कि सिक्का पक्षपाती हो सकता है, जिससे कि यह संभाव्यता पी के साथ शीर्ष पर आ जाए।
  • यदि p 1/2 के बराबर है, तो जुआरी औसतन न तो पैसे जीतता है और न ही हारता है, और समय के साथ जुआरी का भाग्य मार्टिंगेल होता है।
  • यदि पी 1/2 से कम है, तो जुआरी औसतन पैसा खोता है, और समय के साथ जुआरी का भाग्य एक सुपरमार्टिंगेल है।
  • यदि पी 1/2 से अधिक है, तो जुआरी औसतन पैसा जीतता है, और समय के साथ जुआरी का भाग्य एक सबमार्टिंगेल है।
• जेन्सेन की असमानता द्वारा मार्टिंगेल का एक उत्तल कार्य एक सबमार्टिंगेल है। उदाहरण के लिए, फेयर कॉइन गेम में जुआरी के भाग्य का वर्ग एक सबमार्टिंगेल है (जो इस तथ्य से भी अनुसरण करता है कि X_n² − n मार्टिंगेल है)। इसी तरह, मार्टिंगेल का एक अवतल कार्य एक सुपरमार्टिंगेल है।

मार्टिंगलेस और रुकने का समय

Main article: Stopping time

यादृच्छिक चर X के अनुक्रम के संबंध में रुकने का समय₁, एक्स₂, एक्स₃, ... संपत्ति के साथ एक यादृच्छिक चर τ है जो प्रत्येक t के लिए, घटना τ = t की घटना या गैर-घटना केवल X के मूल्यों पर निर्भर करती है₁, एक्स₂, एक्स₃, ..., एक्स_t. परिभाषा के पीछे अंतर्ज्ञान यह है कि किसी विशेष समय t पर, आप अब तक के अनुक्रम को देख सकते हैं और बता सकते हैं कि क्या यह रुकने का समय है। वास्तविक जीवन में एक उदाहरण वह समय हो सकता है जब एक जुआरी जुआ टेबल छोड़ देता है, जो उनकी पिछली जीत का एक कार्य हो सकता है (उदाहरण के लिए, वह केवल तभी जा सकता है जब वह टूट जाता है), लेकिन वह जाना नहीं चुन सकता है या उन खेलों के परिणाम पर आधारित रहें जो अभी तक नहीं खेले गए हैं।

कुछ संदर्भों में रुकने के समय की अवधारणा को केवल यह आवश्यक करके परिभाषित किया जाता है कि घटना τ = t का होना या न होना X की सांख्यिकीय स्वतंत्रता है_t + 1, एक्स_t + 2, ... लेकिन ऐसा नहीं है कि यह समय-समय पर प्रक्रिया के इतिहास द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किया जाता है। यह ऊपर के पैराग्राफ में दिखाई देने वाली स्थिति की तुलना में एक कमजोर स्थिति है, लेकिन कुछ सबूतों में काम करने के लिए पर्याप्त मजबूत है जिसमें रुकने के समय का उपयोग किया जाता है।

मार्टिंगेल्स के मूल गुणों में से एक यह है कि, यदि $(X_{t})_{t>0}$ एक (उप-/सुपर-) ज़रेबंद है और $\tau$ एक रुकने का समय है, फिर इसी रुकी हुई प्रक्रिया $(X_{t}^{\tau })_{t>0}$ द्वारा परिभाषित $X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}$ एक (उप-/सुपर-) मार्टिंगेल भी है।

स्टॉप मार्टिंगेल की अवधारणा महत्वपूर्ण प्रमेयों की एक श्रृंखला की ओर ले जाती है, उदाहरण के लिए, वैकल्पिक स्टॉपिंग प्रमेय जिसमें कहा गया है कि, कुछ शर्तों के तहत, स्टॉपिंग समय पर मार्टिंगेल का अपेक्षित मूल्य इसके प्रारंभिक मूल्य के बराबर है।

यह भी देखें

• अज़ुमा की असमानता
• एक प्रकार कि गति
• संदेह मेर्टिंगेल
• दूब के ज़रेबंद अभिसरण प्रमेय
• दूब की ज़रेबंद असमानता
• दूब-मेयर अपघटन प्रमेय
• स्थानीय मार्टिंगेल
• मार्कोव श्रृंखला
• मार्कोव संपत्ति
• मार्टिंगेल (सट्टेबाजी प्रणाली)
• मार्टिंगेल केंद्रीय सीमा प्रमेय
• मार्टिंगेल अंतर अनुक्रम
• मार्टिंगेल प्रतिनिधित्व प्रमेय
• सामान्य संख्या
• सेमीमार्टिंगेल्स

संदर्भ

• "Martingale", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "The Splendors and Miseries of Martingales". Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). June 2009. Entire issue dedicated to Martingale probability theory (Laurent Mazliak and Glenn Shafer, Editors).
• Baldi, Paolo; Mazliak, Laurent; Priouret, Pierre (1991). Martingales and Markov Chains. Chapman and Hall. ISBN 978-1-584-88329-6.
• Williams, David (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
• Kleinert, Hagen (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (4th ed.). Singapore: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.
• Siminelakis, Paris (2010). "Martingales and Stopping Times: Use of martingales in obtaining bounds and analyzing algorithms" (PDF). University of Athens. Archived from the original (PDF) on 2018-02-19. Retrieved 2010-06-18.
• Ville, Jean (1939). "Étude critique de la notion de collectif". Bulletin of the American Mathematical Society. Monographies des Probabilités (in français). Paris. 3 (11): 824–825. doi:10.1090/S0002-9904-1939-07089-4. Zbl 0021.14601. Review by Doob.