मोनोड्रोमी प्रमेय

एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता का चित्रण (डिस्क की केवल एक सीमित संख्या $U_{t}$ दिखाए जाते हैं)।

प्राकृतिक लघुगणक के वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता (लघुगणक का काल्पनिक भाग केवल दिखाया गया है)।

जटिल विश्लेषण में, मोनोड्रोमी प्रमेय एक बड़े सेट के लिए होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन | जटिल-विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के विश्लेषणात्मक निरंतरता के बारे में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। विचार यह है कि एक जटिल-विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन (यहाँ से केवल 'विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन' कहा जाता है) को फ़ंक्शन के मूल डोमेन में शुरू होने और बड़े सेट में समाप्त होने वाले वक्रों के साथ विस्तारित किया जा सकता है। वक्र रणनीति के साथ इस विश्लेषणात्मक निरंतरता की एक संभावित समस्या यह है कि आमतौर पर कई वक्र होते हैं जो बड़े सेट में एक ही बिंदु पर समाप्त होते हैं। मोनोड्रोमी प्रमेय विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए एक निश्चित बिंदु पर समान मूल्य देने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है, चाहे वहां पहुंचने के लिए उपयोग किए जाने वाले वक्र की परवाह किए बिना, ताकि परिणामी विस्तारित विश्लेषणात्मक कार्य अच्छी तरह से परिभाषित और एकल-मूल्यवान हो।

इस प्रमेय को बताने से पहले एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता को परिभाषित करना और इसके गुणों का अध्ययन करना आवश्यक है।

वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता

एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता की परिभाषा थोड़ी तकनीकी है, लेकिन मूल विचार यह है कि एक बिंदु के चारों ओर परिभाषित एक विश्लेषणात्मक कार्य के साथ शुरू होता है, और उस वक्र को कवर करने वाले छोटे अतिव्यापी डिस्क पर परिभाषित विश्लेषणात्मक कार्यों के माध्यम से एक वक्र के साथ कार्य करता है।

औपचारिक रूप से, एक वक्र (एक सतत कार्य) पर विचार करें $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} .$ होने देना $f$ एक खुली डिस्क पर परिभाषित एक विश्लेषणात्मक कार्य हो $U$ पर केंद्रित है $\gamma (0).$ जोड़ी की एक विश्लेषणात्मक निरंतरता $(f,U)$ साथ में $\gamma$ जोड़ियों का संग्रह है $(f_{t},U_{t})$ के लिए $0\leq t\leq 1$ ऐसा है कि

• $f_{0}=f$ और $U_{0}=U.$
• प्रत्येक के लिए $t\in [0,1],U_{t}$ पर केंद्रित एक खुली डिस्क है $\gamma (t)$ और $f_{t}:U_{t}\to \mathbb {C}$ एक विश्लेषणात्मक कार्य है।

• प्रत्येक के लिए $t\in [0,1]$ वहां मौजूद $\varepsilon >0$ ऐसा कि सभी के लिए $t'\in [0,1]$ साथ $|t-t'|<\varepsilon$ एक के पास है $\gamma (t')\in U_{t}$ (जिसका तात्पर्य है $U_{t}$ और $U_{t'}$ एक गैर-खाली चौराहा (सेट सिद्धांत)) और कार्य हैं $f_{t}$ और $f_{t'}$ चौराहे पर मेल खाता है $U_{t}\cap U_{t'}.$

एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता के गुण

एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता अनिवार्य रूप से अद्वितीय है, इस अर्थ में कि दो विश्लेषणात्मक निरंतरताएं दी गई हैं $(f_{t},U_{t})$ और $(g_{t},V_{t})$ $(0\leq t\leq 1)$ का $(f,U)$ साथ में $\gamma ,$ कार्यों $f_{1}$ और $g_{1}$ मेल खाता है $U_{1}\cap V_{1}.$ अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि किसी भी दो विश्लेषणात्मक निरंतरता $(f,U)$ साथ में $\gamma$ के पड़ोस में समान मूल्यों के साथ समाप्त होगा $\gamma (1).$ यदि वक्र $\gamma$ बंद है (अर्थात, $\gamma (0)=\gamma (1)$), की आवश्यकता नहीं है $f_{0}$ बराबर $f_{1}$ के पड़ोस में $\gamma (0).$ उदाहरण के लिए, यदि कोई एक बिंदु से शुरू करता है $(a,0)$ साथ $a>0$ और इस बिंदु के एक पड़ोस में परिभाषित जटिल लघुगणक, और एक देता है $\gamma$ त्रिज्या का चक्र हो $a$ मूल पर केंद्रित (से वामावर्त यात्रा की $(a,0)$), फिर इस वक्र के साथ एक विश्लेषणात्मक निरंतरता करने से लॉगरिदम के मान के साथ समाप्त हो जाएगा $(a,0)$ जो है $2\pi i$ प्लस मूल मूल्य (दाईं ओर दूसरा चित्रण देखें)।

मोनोड्रोम प्रमेय

मोनोड्रोमी प्रमेय को धारण करने के लिए निश्चित अंत बिंदु के साथ समरूपता आवश्यक है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक ही वक्र के साथ दो विश्लेषणात्मक निरंतरताएं वक्र के समापन बिंदु पर समान परिणाम देती हैं। हालाँकि, दो अलग-अलग वक्रों को एक ही बिंदु से बाहर निकलते हुए, जिसके चारों ओर एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है, अंत में फिर से जुड़ने वाले घटता के साथ, यह सामान्य रूप से सच नहीं है कि दो वक्रों के साथ उस फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक निरंतरता समान मूल्य प्राप्त करेगी उनके सामान्य समापन बिंदु पर।

दरअसल, पिछले खंड की तरह, एक बिंदु के पड़ोस में परिभाषित जटिल लघुगणक पर विचार किया जा सकता है $(a,0)$ और वृत्त मूल और त्रिज्या पर केंद्रित है $a.$ तभी से यात्रा संभव है $(a,0)$ को $(-a,0)$ दो तरह से, वामावर्त, इस वृत्त के ऊपरी अर्ध-तल चाप पर, और दक्षिणावर्त, निचले अर्ध-तल चाप पर। पर लघुगणक का मान $(-a,0)$ इन दो चापों के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्राप्त किया गया भिन्न होगा $2\pi i.$ यदि, हालांकि, शुरुआती बिंदुओं और अंत बिंदुओं को स्थिर रखते हुए एक वक्र को लगातार दूसरे में विकृत कर सकता है, और प्रत्येक मध्यवर्ती घटता पर विश्लेषणात्मक निरंतरता संभव है, तो दो वक्रों के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता समान परिणाम देगी उनका सामान्य समापन बिंदु। इसे मोनोड्रोमी प्रमेय कहा जाता है और इसका कथन नीचे सटीक रूप से दिया गया है।

होने देना $U$ एक बिंदु पर केंद्रित जटिल विमान में एक खुली डिस्क हो $P$ और $f:U\to \mathbb {C}$ एक जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य हो। होने देना $Q$ जटिल विमान में एक और बिंदु बनें। यदि वक्रों का परिवार मौजूद है $\gamma _{s}:[0,1]\to \mathbb {C}$ साथ $s\in [0,1]$ ऐसा है कि $\gamma _{s}(0)=P$ और $\gamma _{s}(1)=Q$ सभी के लिए $s\in [0,1],$ कार्यक्रम $(s,t)\in [0,1]\times [0,1]\to \gamma _{s}(t)\in \mathbb {C}$ निरंतर है, और प्रत्येक के लिए $s\in [0,1]$ की विश्लेषणात्मक निरंतरता करना संभव है $f$ साथ में $\gamma _{s},$ फिर की विश्लेषणात्मक निरंतरता $f$ साथ में $\gamma _{0}$ और $\gamma _{1}$ पर समान मान देगा $Q.$

मोनोड्रोमी प्रमेय बड़े सेट में बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन के मूल डोमेन में एक बिंदु को जोड़ने वाले घटता के माध्यम से एक बड़े सेट के लिए एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का विस्तार करना संभव बनाता है। नीचे दिए गए प्रमेय में कहा गया है कि इसे मोनोड्रोमी प्रमेय भी कहा जाता है।

होने देना $U$ एक बिंदु पर केंद्रित जटिल विमान में एक खुली डिस्क हो $P$ और $f:U\to \mathbb {C}$ एक जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य हो। अगर $W$ एक खुला सरलता से जुड़ा हुआ सेट है $U,$ और इसकी विश्लेषणात्मक निरंतरता करना संभव है $f$ में निहित किसी भी वक्र पर $W$ जो बजे शुरू होता है $P,$ तब $f$ प्रत्यक्ष विश्लेषणात्मक निरंतरता को स्वीकार करता है $W,$ जिसका अर्थ है कि एक जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य मौजूद है $g:W\to \mathbb {C}$ किस पर प्रतिबंध $U$ है $f.$

यह भी देखें

• विश्लेषणात्मक निरंतरता
• मोनोड्रोमी

संदर्भ

• Krantz, Steven G. (1999). Handbook of complex variables. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4011-8.
• Jones, Gareth A.; Singerman, David (1987). Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31366-X.

• Triebel, Hans (1986). Analysis and mathematical physics, English ed. D. Reidel Pub. Co. ISBN 90-277-2077-0.

बाहरी संबंध

• Monodromy theorem at MathWorld
• Monodromy theorem at PlanetMath.
• Monodromy theorem at the Encyclopaedia of Mathematics