लायपुनोव आयाम

गतिशील प्रणालियों के गणित में लायपुनोव आयाम की अवधारणा कापलान-यॉर्क अनुमान द्वारा सुझाई गई थी आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का अनुमान लगाने के लिए इसके अतिरिक्त इस अवधारणा को विकसित किया गया है और कई पत्रों में वास्तवता से उचित ठहराया गया है और आजकल लाइपुनोव आयाम की परिभाषा के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का उपयोग किया जाता है। टिप्पणी करें कि गैर-पूर्णांक हौसडॉर्फ आयाम वाले आकर्षणकर्ताओं को आकर्षणकर्ता या विचित्र आकर्षणक कहा जाता है। चूंकि आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का प्रत्यक्ष संख्यात्मक विश्लेषण अधिकांशतः उच्च संख्यात्मक जटिलता की समस्या है लायपुनोव आयाम के माध्यम से अनुमान व्यापक रूप से फैल गए। लायपुनोव आयाम का नाम रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर लायपुनोव के नाम पर रखा गया था क्योंकि लायपुनोव के प्रतिपादकों के साथ घनिष्ठ संबंध था। लायपुनोव के प्रतिपादक साथ घनिष्ठ संबंध के कारण रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर लायपुनोव के बाद।

परिभाषाएँ

एक गतिशील प्रणाली पर विचार करें ${\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}$, जहां $\varphi ^{t}$ समाधानों के साथ शिफ्ट ऑपरेटर है: $\varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})$, ओडीई ${\dot {u}}=f({u})$,$t\leq 0$, या अंतर समीकरण ${u}(t+1)=f({u}(t))$, $t=0,1,...$, लगातार अलग-अलग वेक्टर के साथ- कार्य $f$ फिर $D\varphi ^{t}(u)$ रैखिककृत प्रणाली के समाधान का मौलिक मैट्रिक्स (रैखिक अंतर समीकरण) है और $\sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n$ द्वारा निरूपित करता है, उनकी बीजगणितीय बहुलता के संबंध में एकवचन मान, किसी भी $u$ और $t$ के लिए घटते क्रम में है

परिमित-समय लायपुनोव आयाम के माध्यम से परिभाषा

एन कुज़नेत्सोव द्वारा काम में विकसित परिमित-समय ल्यापुनोव आयाम और ल्यापुनोव आयाम की संबंधित परिभाषा, संख्यात्मक प्रयोगों के लिए सुविधाजनक है जहां केवल परिमित समय देखा जा सकता है। परिमित समय ल्यपुनोव एक्सपोनेंट्स के लिए कपलान-यॉर्क सूत्र के एक एनालॉग पर विचार करें:

$d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},$

$j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},$

परिमित समय Lyapunov घातांक के आदेशित सेट के संबंध में $\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}$ बिंदु पर $u$. सम्मान के साथ डायनेमिक सिस्टम का परिमित-समय लायपुनोव आयाम अपरिवर्तनीय कई गुना $K$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है

$\dim _{\rm {L}}(t,K)=\sup \limits _{u\in K}d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}).$

इस दृष्टिकोण में कापलान-यॉर्क सूत्र के अनुरूप का उपयोग डौडी-ओस्टरले प्रमेय द्वारा कड़ाई से उचित है, जो साबित करता है कि किसी भी निश्चित के लिए $t>0$ एक बंद परिबद्ध अपरिवर्तनीय सेट के लिए परिमित-समय लापुनोव आयाम $K$ हौसडॉर्फ आयाम का ऊपरी अनुमान है:

$\dim _{\rm {H}}K\leq \dim _{\rm {L}}(t,K).$

इस तरह के सर्वश्रेष्ठ अनुमान की तलाश है

$\inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)$Lyapunov आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है::$\dim _{\rm {L}}K=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u).$

समय सीमा के क्रम और सेट पर सर्वोच्चता को बदलने की संभावनाओं पर चर्चा की जाती है, उदाहरण के लिए, में। ध्यान दें कि ऊपर परिभाषित लायपुनोव आयाम लिप्सचिट्ज़ डिफियोमॉर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है।

सटीक लायपुनोव आयाम

जैकोबियन मैट्रिक्स दें $Df(u_{\text{eq}})$ संतुलन में से एक में सरल वास्तविक eigenvalues ​​​​होते हैं: $\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}})$, तब

$\dim _{\rm {L}}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}}(\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n}).$

यदि वैश्विक आकर्षणकर्ता पर स्थानीय ल्यपुनोव आयामों का सर्वोच्च, जिसमें सभी संतुलन शामिल हैं, एक संतुलन बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, तो यह वैश्विक आकर्षणकर्ता के सटीक ल्यापुनोव आयाम का विश्लेषणात्मक सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है (इसी ईडन के अनुमान को देखें)।

=== सांख्यिकीय भौतिकी दृष्टिकोण और ergodicity === के माध्यम से परिभाषा सांख्यिकीय भौतिकी दृष्टिकोण का पालन करना और क्षरण को मानना आकर्षित करने वाले के ल्यपुनोव आयाम का अनुमान लगाया गया हैद्वारा स्थानीय लायपुनोव आयाम का सीमा मूल्य $\lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})$ एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र का, जो आकर्षित करने वाले का है। इस मामले में $\{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}$ और $\dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{|{\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0})|}}$. व्यावहारिक दृष्टिकोण से, ओसेलेडेक प्रमेय का कठोर उपयोग, सत्यापन कि माना प्रक्षेपवक्र $u(t,u_{0})$ एक सामान्य प्रक्षेपवक्र है, और इसी कापलान-यॉर्क अनुमान का उपयोग | कापलान-यॉर्क सूत्र एक चुनौतीपूर्ण कार्य है (देखें, उदाहरण के लिए चर्चाएँ). परिमित समय Lyapunov घातांक के सटीक सीमा मान, यदि वे मौजूद हैं और सभी के लिए समान हैं $u_{0}\in U$, निरपेक्ष कहलाते हैं $\{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}$ और कापलान-यॉर्क अनुमान में प्रयोग किया जाता है। कापलान-यॉर्क सूत्र। Lyapunov घातांक और आयाम की गणना के लिए एर्गोडिक सिद्धांत के कठोर उपयोग के उदाहरण में पाया जा सकता है।