विशेषण संख्या

विशेषण संख्या या द्विभाजित संख्या कोई भी अंक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक को अंकों की परिमित स्ट्रिंग का उपयोग करके बिल्कुल एक तरह से दर्शाया जा सकता है। नाम उस आक्षेप (अर्थात एक-से-एक पत्राचार) को संदर्भित करता है जो इस स्थिति में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय और प्रतीकों के परिमित समुच्चय ("अंक") का उपयोग करके परिमित तारों के समुच्चय के बीच सम्मिलित है।

अधिकांश सामान्य अंक प्रणाली, जैसे कि सामान्य दशमलव प्रणाली, द्विभाजित नहीं हैं क्योंकि अंकों की एक से अधिक स्ट्रिंग एक ही धनात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं। विशेष रूप से, अग्रणी शून्य जोड़ने से प्रतिनिधित्व मान नहीं बदलता है, इसलिए "1", "01" और "001" सभी नंबर एक का प्रतिनिधित्व करते हैं। भले ही केवल पहला सामान्य है, तथ्य यह है कि अन्य संभव हैं इसका तात्पर्य है कि दशमलव प्रणाली द्विभाजित नहीं है। हालाँकि, केवल एक अंक वाली यूनरी अंक प्रणाली द्विभाजित है।

एक द्विभाजित मूलांक k संख्या एक द्विभाजित स्थितिगत संकेतन है। यह प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को एन्कोड करने के लिए समुच्चय {1, 2, ..., k} (जहाँ k ≥ 1) से अंकों की एक स्ट्रिंग का उपयोग करता है; स्ट्रिंग में एक अंक की स्थिति इसके मान को k की शक्ति के गुणक के रूप में परिभाषित करती है। Smullyan (1961) इस संकेतन को k-adic कहते हैं, लेकिन इसे p-adic संख्याओं के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए: द्विभाजित अंक गैर-शून्य अंकों के परिमित स्ट्रिंग्स द्वारा साधारण पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक प्रणाली है, जबकि p-adic संख्याएँ संख्याओं की एक प्रणाली हैं। गणितीय मान जिनमें पूर्णांक एक उपसमुच्चय के रूप में होते हैं और किसी भी संख्यात्मक प्रतिनिधित्व में अंकों के अनंत अनुक्रम की आवश्यकता हो सकती है।

परिभाषा

बेस-के द्विभाजित संख्या प्रणाली अंक-समुच्चय {1, 2, ..., k} (k ≥ 1) का उपयोग प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए करती है, इस प्रकार है:

• पूर्णांक शून्य को रिक्त स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाता है।
• पूर्णांक गैर-रिक्त अंक-स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया गया है

a_na_n−1 ... a₁a₀

है

a_n kⁿ + a_n−1 kⁿ⁻¹ + ... + a₁ k¹ + a₀ k⁰.

• पूर्णांक m> 0 का प्रतिनिधित्व करने वाला अंक-स्ट्रिंग है

a_na_n−1 ... a₁a₀

कहाँ

${\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}$

और

$f(x)=\lceil x\rceil -1,$

$\lceil x\rceil$ कम से कम पूर्णांक x से कम नहीं होना (छत समारोह)।

इसके विपरीत, मानक स्थितीय संकेतन को एक समान पुनरावर्ती एल्गोरिथम के साथ परिभाषित किया जा सकता है जहां

$f(x)=\lfloor x\rfloor ,$

पूर्णांकों तक विस्तार

आधार के लिए $k>1$, द्विभाजित आधार-$k$ संख्या प्रणाली को ऋणात्मक पूर्णांक रेडिक्स पूरक तक बढ़ाया जा सकता है | उसी तरह मानक आधार के रूप में-$b$ अंकों की अनंत संख्या का उपयोग करके अंक प्रणाली $d_{k-1}$, कहाँ $f(d_{k-1})=k-1$, अंकों के बाएं-अनंत अनुक्रम के रूप में दर्शाया गया है $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$. ऐसा इसलिए है क्योंकि यूलर योग

$g({\overline {d_{k-1}}})=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1$

तात्पर्य है कि

$g({\overline {d_{k-1}}}d_{k})=f(d_{k})\sum _{i=1}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=0$

और हर धनात्मक संख्या के लिए $n$ द्विभाजित अंक अंक प्रतिनिधित्व के साथ $d$ द्वारा दर्शाया गया है ${\overline {d_{k-1}}}d_{k}d$. आधार के लिए $k>2$, ऋणात्मक संख्याएँ $n<-1$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है ${\overline {d_{k-1}}}d_{i}d$ साथ $i<k-1$, जबकि आधार के लिए $k=2$, ऋणात्मक संख्याएँ $n<-1$ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है ${\overline {d_{k}}}d$. यह साइन-डिजिट अभ्यावेदन, सभी पूर्णांकों के समान है $n$ अंकों के प्रतिनिधित्व के साथ $d$ के रूप में दर्शाए गए हैं ${\overline {d_{0}}}d$ कहाँ $f(d_{0})=0$. यह प्रतिनिधित्व अब द्विभाजित नहीं है, क्योंकि अंकों के बाएं-अनंत अनुक्रमों के पूरे समुच्चय का उपयोग पी-एडिक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।$k$-एडिक पूर्णांक, जिनमें से पूर्णांक केवल एक उपसमुच्चय हैं।

द्विभाजित आधार-के अंकों के गुण

किसी दिए गए आधार के लिए $k\geq 2$,

• एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n का प्रतिनिधित्व करने वाले द्विभाजित आधार-k अंक में अंकों की संख्या है

  लघुगणक|$\lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor$, फ़्लोर और सीलिंग फ़ंक्शन के विपरीत#अंकों की संख्या|$\lceil \log _{k}(n+1)\rceil$साधारण आधार-k अंकों के लिए;
  अगर k = 1 (अर्थात, यूनरी), तो अंकों की संख्या बस n है;

• सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, लंबाई के एक द्विभाजित आधार-k अंक में प्रतिनिधित्व करने योग्य $\ell \geq 0$, है

  $\mathrm {min} (\ell )={\frac {k^{\ell }-1}{k-1}}$;

• सबसे बड़ा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, लंबाई के एक द्विभाजित आधार-k अंक में प्रतिनिधित्व करने योग्य $\ell \geq 0$, है

  $\mathrm {max} (\ell )={\frac {k^{\ell +1}-k}{k-1}}$, के बराबर $\mathrm {max} (\ell )=k\times \mathrm {min} (\ell )$, या $\mathrm {max} (\ell )=\mathrm {min} (\ell +1)-1$;

• एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए द्विभाजित आधार-k और साधारण आधार-k अंक समान हैं यदि और केवल यदि साधारण अंक में अंक 0 नहीं है (या, समतुल्य रूप से, द्विभाजित अंक न तो खाली स्ट्रिंग है और न ही अंक k है ).

किसी दिए गए आधार के लिए $k\geq 1$,

• बिल्कुल हैं $k^{\ell }$ द्विभाजित आधार-k लंबाई के अंक $\ell \geq 0$;
• द्विभाजित आधार-k अंकों की एक सूची, प्रतिनिधित्व किए गए पूर्णांकों के प्राकृतिक क्रम में, स्वचालित रूप से शॉर्टलेक्स क्रम में होती है (सबसे छोटा पहले, प्रत्येक लंबाई के भीतर लेक्सिकोग्राफ़िक)। इस प्रकार, खाली स्ट्रिंग को निरूपित करने के लिए λ का उपयोग करते हुए, आधार 1, 2, 3, 8, 10, 12, और 16 अंक निम्नानुसार हैं जहां सामान्य प्रतिनिधित्व तुलना के लिए सूचीबद्ध हैं:

द्विभाजित मूल 1:	λ	1	11	111	1111	11111	111111	1111111	11111111	111111111	1111111111	11111111111	111111111111	1111111111111	11111111111111	111111111111111	1111111111111111	...	(unary numeral system)
द्विभाजित मूल 2:	λ	1	2	11	12	21	22	111	112	121	122	211	212	221	222	1111	1112	...
binary:	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	...
द्विभाजित मूल 3:	λ	1	2	3	11	12	13	21	22	23	31	32	33	111	112	113	121	...
ternary:	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101	102	110	111	112	120	121	...
द्विभाजित मूल 8:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	11	12	13	14	15	16	17	18	...
octal:	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20	...
द्विभाजित मूल 10:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	11	12	13	14	15	16	...
डेसीमल:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
द्विभाजित मूल 12:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	11	12	13	14	...
डुओडेसिमल:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10	11	12	13	14	...
द्विभाजित मूल 16:	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	...
हेक्साडेसिमल:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	...

उदाहरण

34152 (द्विभाजित आधार-5 में) = 3×5⁴ + 4×5³ + 1×5² + 5×5¹ + 2×1 = 2427 (दशमलव में)।

119A (द्विभाजित आधार -10 में, A अंक मान दस का प्रतिनिधित्व करता है) = 1×10³ + 1×10² + 9×10¹ + 10×1 = 1200 (दशमलव में)।

A, B, C...X, Y, Z, AA, AB, AC...ZX, ZY, ZZ, AAA, AAB, AAC के क्रम का उपयोग करते हुए, 26 से अधिक तत्वों वाली एक विशिष्ट वर्णमाला सूची द्विभाजित है। ...

द्विभाजित आधार 10 प्रणाली

द्विभाजित आधार-10 प्रणाली एक आधार दस स्थितीय अंक प्रणाली है जो शून्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंक का उपयोग नहीं करती है। इसके बजाय इसमें ए जैसे दस का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अंक है।

परंपरागत दशमलव के साथ, प्रत्येक अंक की स्थिति दस की शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए उदाहरण के लिए 123 "एक सौ, प्लस टू दहाई, प्लस थ्री यूनिट्स" है। पारंपरिक दशमलव (जैसे 123) में गैर-शून्य अंकों के साथ पूरी तरह से प्रदर्शित होने वाले सभी धनात्मक पूर्णांक शून्य के बिना दशमलव में समान प्रतिनिधित्व करते हैं। जो शून्य का उपयोग करते हैं उन्हें फिर से लिखा जाना चाहिए, इसलिए उदाहरण के लिए 10 A बन जाता है, पारंपरिक 20 1A बन जाता है, पारंपरिक 100 9A बन जाता है, पारंपरिक 101 A1 बन जाता है, पारंपरिक 302 2A2 बन जाता है, पारंपरिक 1000 99A बन जाता है, पारंपरिक 1110 AAA बन जाता है, पारंपरिक 2010 19AA बन जाता है , और इसी तरह।

शून्य के बिना दशमलव में जोड़ और गुणा अनिवार्य रूप से परंपरागत दशमलव के समान ही होते हैं, सिवाय इसके कि वह तब होता है जब कोई स्थिति दस से अधिक हो जाती है, बजाय इसके कि वह नौ से अधिक हो। तो 643 + 759 की गणना करने के लिए, बारह इकाइयाँ हैं (दाईं ओर 2 लिखें और 1 को दहाई तक ले जाएँ), दस दहाई (लिखें A को सैकड़ों तक ले जाने की आवश्यकता नहीं है), तेरह सौ (3 लिखें और 1 को दहाई तक ले जाएँ) हजारों), और एक हजार (1 लिखें), पारंपरिक 1402 के बजाय परिणाम 13A2 देने के लिए।

द्विभाजित आधार -26 प्रणाली

द्विभाजित आधार-26 प्रणाली में 26 अंकों के मान 1 (संख्या) से 26 (संख्या) |छब्बीस का प्रतिनिधित्व करने के लिए लैटिन वर्णमाला के अक्षर A से Z तक का उपयोग किया जा सकता है। (ए=1, बी=2, सी=3, ..., जेड=26)

अंकन के इस विकल्प के साथ संख्या क्रम (1 से प्रारम्भ) A, B, C, ..., X, Y, Z, AA, AB, AC, ..., AX, AY, AZ, BA, BB, प्रारम्भ होता है। ईसा पूर्व, ...

प्रत्येक अंक की स्थिति छब्बीस की शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए उदाहरण के लिए, अंक एबीसी मान 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731 को आधार 10 में दर्शाता है।

Microsoft Excel सहित कई स्प्रैडशीट A, B, C, ..., Z, AA, AB, ..., AZ, BA, ..., ZZ, AAA, प्रारम्भ करते हुए स्प्रेडशीट के कॉलम में लेबल असाइन करने के लिए इस प्रणाली का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक्सेल 2013 में, ए से एक्सएफडी तक लेबल किए गए 16384 कॉलम (बाइनरी कोड में 214) तक हो सकते हैं। इस प्रणाली के एक प्रकार का उपयोग चर सितारों के नाम के लिए किया जाता है। इसे किसी भी समस्या पर प्रयुक्त किया जा सकता है जहां कम से कम संभव तारों का उपयोग करते हुए अक्षरों का व्यवस्थित नामकरण वांछित है।

ऐतिहासिक नोट्स

तथ्य यह है कि प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का द्विभाजित बेस-के (के ≥ 1) में एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है, यह एक "लोक प्रमेय" है जिसे कई बार फिर से खोजा गया है। केस k = 10 के लिए Foster (1947)), और सभी k ≥ 1 के लिए Smullyan (1961) और Böhm (1964) के प्रारम्भिक उदाहरण हैं। Smullyan इस प्रणाली का उपयोग एक तार्किक प्रणाली में प्रतीकों के तारों की गोडेल संख्या प्रदान करने के लिए करता है; बॉम प्रोग्रामिंग भाषा P'' में संगणना करने के लिए इन अभ्यावेदन का उपयोग करता है। Knuth (1969) k = 10 के विशेष स्थिति का उल्लेख करता है, और Salomaa (1973) मामलों k ≥ 2 पर चर्चा करता है। Forslund (1995) एक और पुनर्वितरण प्रतीत होता है, और परिकल्पना करता है कि यदि प्राचीन संख्या प्रणाली द्विभाजित आधार-k का उपयोग करती है, तो वे हो सकता है इस प्रणाली से सामान्य अपरिचितता के कारण, पुरातात्विक दस्तावेजों में इस रूप में मान्यता प्राप्त नहीं है।

संदर्भ

• Böhm, C. (July 1964), "On a family of Turing machines and the related programming language", ICC Bulletin, 3: 191.
• Forslund, Robert R. (1995), "A logical alternative to the existing positional number system", Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664.
• Foster, J. E. (1947), "A number system without a zero symbol", Mathematics Magazine, 21 (1): 39–41, doi:10.2307/3029479, JSTOR 3029479.
• Knuth, D. E. (1969), The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms (1st ed.), Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195. (Discusses द्विभाजित मूल-10.)
• Salomaa, A. (1973), Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91. (Discusses द्विभाजित मूल-k for all k ≥ 2.)
• Smullyan, R. (1961), "9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers", Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 47, Princeton University Press, pp. 34–36.